03-5 计算固有频率的近似法

y x, t 1 L y x, t Y x cos t T t 0 x A x dx 2 t t
2
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U max RX * T
2

L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
2 2 n n
2

L 0
x A x X
Tmax U max
对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满 足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势 能，就可对基频进行估算。
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★如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函
★求连续系统固有频率常用的近似方法： 瑞利法；瑞利—里兹法； 假定振型法
3.7.1 瑞利法
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瑞利法 ( 能量法 ) 就是根据机械能守恒定律得到的计 算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适 用于连续系统。 根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常 数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即
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(2)采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲 线作为试探振型函数 悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为
X x B 3Lx x ,
2 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X L 2 BL
对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系 数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！
★在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续 系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计 算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。 ★无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的 振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频 率作简谐运动。
n n
2
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★在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例 如，有一试探振型函数 X(x)，满足边界条件，同时具有 各阶导数。 ★若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的 瑞利商
问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大 或 小？
★由于用假设的试探函数代替精确的第一阶振型函数， 相当于给系统施加了约束，增加了系统刚度，因此将使 固有频率值提高，也就是说R(X)给出了系统固有频率的 上限。
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2
x
dx 2M 2 BL
3 2
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计算积分，并代入M=mL，则求得
EJ 1.1584 4 mL
EJ 精确解 1 1.1582 mL4
可见，估计值仅比精确解高0.02%。 从本例两种方案的计算结果可以看出，虽然两种 情况与精解都比较接近，但第二种要比第一种好，原因 是本题中集中质量比分布质量影响大，其挠度曲线更接 近于实际的第一阶振型。若当悬臂梁质量大于端部集中 质量时，则取受分布力作用的悬臂梁的静挠度曲线是较 合适的。
L 2 2 * ★ 在静平 衡位置 ， T x A x Y x d x T max 2 0 梁具有最大动能 1 L * T x A x Y 2 x dx —称为参考动能。 2 0 2 2 d Y x 1 L ★在偏离平衡位置最 U EJ x dx max 2 0 2 远距离处，梁具有最 dx 2 2 大弹性势能 L d Y x
4 2
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计算积分，并代入M=mL，则求得
EJ 1.1908 mL4
精确解
EJ 1 1.1582 4 mL
可见估计值与精确值的误差为2.8%。
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例1 长为L，弯曲刚度为EJ，单位长度分布质量为m的 悬臂梁，在其自由端有集中质量2M (M=mL)。试用瑞利 法求梁弯曲振动的基频。 解： (1) 采用分布载荷作用下 梁的静挠度曲线为试探振型
X x A x 4 4 Lx 3 6 L2 x 2
式中
X L 3 AL4
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R X

L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
3
mgL 式中 B 3EJ
验算表明，该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的 几何边界条件。选择该函数为试探振型函数，其二次导 数为 d2 X x 代入式瑞利商计算式，固有频率为
dx
2
6 B L x
2 L
2
36 EJB mB
2
3Lx
L 0
2 L x dx 0 3 2
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★当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的
动能。若在xi(i=1,2,…,n)处有集中质量mi (i=1,2,…,n) ，则 梁的最大动能为
2 0 2 i1 ★当梁上xi(i=1,2,…,n)处有刚度ki(i=1,2,…,n)和扭转刚度 ki(i=1,2,…,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为 Tmax
★另外，前面所讲的弦的横向振动，杆的纵向振动和轴
的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。
★对于不同的连续系统，只是T*和Umax的具体表达式不
同而已。为了表示一般情况，以R表示瑞利商，即
U max R * T
2
此为瑞利商的一般表达式。
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U max d Y x 1 L EJ x dx 2 0 2 d x
2 2
2
L
x A x Y 2 x dx
2
2 m Y i xi
n
dY xi 1 1 2 kiY xi k i 2 i 1 2 i 1 dx
mg A 24 EJ
选择为试探振型函数
可以验算该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几 何边界条件，即 dX 0 X 0 0, 4 A x3 3Lx 2 3L2 x 0 x 0 dx
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4 3 2 2 X x A x 4 Lx 6 L x 将试探振型以及试探振型 4 的二次导数代入瑞利商计 X L 3 AL 算式，并注意到梁上没有 d 2 X x 12 A x 2 2 Lx L2 弹性支承 2 dx
2 2 n n
2

L 0
x A x X 2 x dx mi X 2 xi
i 1
n

2
144 EJA mA
2 L 0
2
x
x
L 0 3
2
2 Lx L
2 2 2
4
4 Lx 6 L x
dx dx 2M 3 AL
2 2
2
★根据机械能守恒定 律 Tmax U max 得
2
U max * T

0

0
EJ x dx 2 dx L x A x Y 2 x dx
上式表明，当所假设振型函数 Y(x)恰好是某一阶实际振型函数 时，即可计算出该阶固有频率的精确解。 事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地 给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。
该试探振型函数满足全部边界条件
x 0 X 0 0,
dX 0 0 dx
xL
d2 X L 0, EJ L 2 dx
d2 X L d EJ L 0 2 dx dx
将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得 L 1 3 2 2 E h 1 x L 2 a L d x U max 0 2 12 * L 2 2 2 T h1 x L ax L dx
☆静挠度曲线是最低阶振型函数 的一种很有效的近似形状。
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例2 图示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A(x)=h(1x/L)= A0(1-x/L)，A0为根部截面积，设单位体积质量为 常数。试求弯曲振动基频的近似值。 解：由给定的条件，知截面 积对中心主轴的惯性矩为
3.7
计算固有频率的近似方法
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d 2Y ( x) 例如：梁横向振动的 d 2 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx 振型函数方程为
2
x dx mi X 2 xi
i 1
n
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★瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。 ★由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠 度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频 的近似值。 ★可以证明，如果试探函数 X(x) 与系统振型函数 Y(x) 相 差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二 阶小量。
1 x J x h1 12 L
3
为简化计算，设幂函数为试探 振型函数
ax X x 2 , L
2
d X x 2a 2 2 dx L
2
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数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一 瞬时的位移、速度为
y x, t Y x sin t y x, t Y x cos t t
★不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为
2 y x, t 1 L T t x A x dx 0 2 t 2 2 y x, t 1 L dx U t 0 EJ x 2 2 x