2第2章 拉伸、压缩与剪切(应力,变形,性能)
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4F 4 20103 N 145.5 MPa (D2 d 2 ) (0.022 0.0152 ) m2
因为 156 MPa 所以满足强度校核。
湖南大学力 学系:肖万伸
例：结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为d=20mm. BC为 Q235钢杆，其许用应力[]1=160MPa; AC为木杆，其许用应力 []2=7MPa。求：该结构的许可载荷。
l1：杆件变形后长度； l：伸长量；
b：杆件原宽；
b ：形后杆件宽度。 1
湖南大学力 学系:肖万伸
拉压杆件在轴向变形的同时，横向也会发生变化。
试验结果表明，当拉压杆件的应力不超过材料比例极 限时，与的比值的绝对值为一常数，即
结论：每条纵向纤维的力学性能相同，其受力也应 相同，因此横截面上的正应力是均匀分布的 .
3.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
式中， FN 为轴力，A 为杆的横截面面积,
湖南大学力 学系:肖万伸
的符号与轴力FN 的符号相同。
当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应 力 ;当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压 应力 。 该公式的适应范围：
F qA
q
杆端作用集中力，横截面应力均匀分布吗？ 圣维南原理：如将作用于构
q
件上某一小区域内的外力系
q
（外力大小不超过一定值）
q
用一静力等效力系来代替，
则这种代替对构件内应力与
F
max 应变的影响只限于离原受力
小区域很近的范围内。对于
F
杆件，此范围相当于横向尺
F
F 寸的1～1.5倍。
湖南大学力 学系:肖万伸
湖南大学力 学系:肖万伸
切应变
构件产生变形时，不仅线段的长度会发生改变，正
交线段的夹角也会发生改变，如图所示，变形前BA与 BC的夹角为直角，变形后和的夹角变为，当A与C趋近 于B时，上述角度变化的极限值
lim
BA0
2
ABC
BC 0
定义为B点的切应变或角应变。
线应变和切应变均为度量一点变形程度的量，且均为无 量纲量。
m
u x
湖南大学力 学系:肖万伸
C
D
一般来说，边AB上各点处的变
形量不一定相等，平均正应变的大
小会因边长的改变而改变。为了更
准确地表示点沿边长方向的变形情
A
Δx B Δu
况，应选取微元体，由此得出平均
正应变的极限值，即
lim u
x0 x
称之为点沿边方向的正应变。此外还可以确定点 在其它方向上的正应变。
讨论
p
cos
cos2
p
sin
2
sin2
(1)当 = 00 时， max F
(2) = 450 时，
max
Байду номын сангаас
2
n
k
x
k
湖南大学力 学系:肖万伸
(四) 强度计算
拉压杆正常工作时的强度条件可表示为：
max [ ]
其中：max—拉(压)杆的最大工作应力，[]—材料拉伸(压
缩)时的许用应力。
三、轴向拉压杆的应力 (一) 拉（压）杆横截面上的应力
FN
dA
A
dA A
A
变形均匀ï应力均布
1.变形现象
dA dA
(1) 横向线a‘b’和c‘d’仍为直线，且仍然垂直于轴线； (2) ab和cd分别平行移至a‘b’和c‘d’ , 且伸长量相等。
湖南大学力 学系:肖万伸
2. 平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面， 仅仅沿轴线方向平行移动了一个距离。
4 0.5175
4 0.5175
所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：
F 4.25 kN
A
B
450 300 C
y
FNAC
450 300
FNBC
C
x
F
F
湖南大学力
学系:肖万伸
§2.2 拉压杆件的变形
一、变形与应变的概念
1.变形
当力作用在物体上时，将引起物体形状及体积的 变化，这种变化被称之为变形。
例：已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所 示，F=10kN， F=20kN ， F=20kN 。试求直杆各段的正应力。
解：(1) 作轴力图
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A=500mm2
(2) 应力计算：
AB
FN1 A
10 103 500 106
N m2
20
MPa
BC
FN2 A
(compressive force) 轴力指向截面FN=-F
F
F
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３．轴力图(Axial force diagram) 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线
的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画 在x轴下侧.
（2）取：取左部分部分作为研究对象，画出分离体图。 m
（3）代替
F
F
弃去部分对研究对象的作用以截
开面上的内力代替,合力为FN .
m
（3）平衡
m
F
FN
对研究对象列平衡方程
m FN = F
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.
方向与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心的内力, 称为轴力(axial force).
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m
2.轴力正、负号的规定
F
(Sign convention for axial force) （1）若轴力的指向背离截面，
F 则规定为正的, 称为 拉力
(tensile force) 轴力背离截面FN=+F
m m
FN
m
m
（2）若轴力的指向指向截面，
FN
则规定为负的, 称为压力 m
A
B
450 300 C
F 解： （1）分析受力，受力图如图所示。
湖南大学力 学系:肖万伸
A
B
450 300
y
FNAC
450 300
FNBC
C
C
x
F
F
Fx 0, FNAC sin 45 FNBC sin 30 0
Fy 0, FNAC cos 45 FNBC cos 30 F 0
解得： FNBC 0.732F FNAC 0.5175F
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2.应变
• 构件的形状是用它各部分的长度和角度来表 示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变 和角度的改变，即线变形和角变形。构件整体 的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为 了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概 念：应变。
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正应变
设一正方形物体（如图）边AB的原长为Δx，受力变 形后长度为Δx+Δu ，长度改变量为Δu，则Δu与Δx的比值 称为边AB的平均正应变或平均线应变，记为εm，即
F
F
轴向拉伸 (axial tension)
F
F
轴向压缩 (axial compression)
湖南大学力 学系:肖万伸
二、轴向拉压杆的内力——轴力
截面法概念：用假想的平面将物体截开，将内力显示出来，
然后考虑其中任意一部分的平衡，从而确定该截面内力的
方法，称为截面法。
m F1
F3
截面法四个步骤：
F1
FN
O
x
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F
F
(c) (f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
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例2-3试作此杆的轴力图。
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解：
1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN FR
A1
B2 C 3
D4
E
为求轴力方便，先求出约束力
实际构件的变形一般都是非常微小的，需使用相 关仪器做精确测量才能观察到，其变形远小于构件 的原始尺寸。由于变形极其微小，因此在计算构件 的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算， 从而使问题的计算简化。
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研究变形的目的有两个： 1. 为了分析构件的刚度问题。即为了保证构件正常工 作，构件的变形应限制在允许的范围之内； 2. 为了求解静不定问题。对于静不定问题，未知量的 个数多于独立的静力平衡方程的个数，因此除了静力 平衡方程外，还需要寻求补充方程，而补充方程的建 立与构件的变形有关。
∑X=0 -FR-F1+F2-F3+F4=0
FR=10kN
为方便，取横截面1－1左边为分
离体，假设轴力为拉力，得
FN1=FR=10 kN(拉力)
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1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
A1
B 2C
3
D4E
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为分 离体，假设轴力为拉力。
cos
F F
p
F A
F cos
A
cos
p F
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将应力 pα分解为两个分量：
沿截面法线方向的正应力
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力
p
sin
2
sin2
2、符号的规定
α p
pα
从x轴逆时针转到a截面的外法线n时,a为正值，
反之为负值。
湖南大学力 学系:肖万伸
湖南大学力 学系:肖万伸
二、轴向拉伸与压缩时杆件的变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化， 如图。
纵向变形：杆件沿轴线方向的变形。 l l1 l
(a)
纵向线应变： Δl
(b)
l
横向变形：与轴线垂直方向的变形。 Δb b1 b (c)
横向线应变： Δb
(d)
b
l：杆件原长；
第2章 拉伸、压缩与剪切
湖南大学力 学系:肖万伸
§2.1 轴向拉压内力·截面法和应力
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于 杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力 情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
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一、受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
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例2-4已知：F=10kN, 均布 F
q
轴向载荷q =30kN/m,
杆长 l =1m。
Ax
B
F
求：杆的轴力图。
x FNx
解：建立坐标如图，取x处截面, 取左边, 受力如图
X 0 : FN x qx F 0
FN x 10 30 x
FN (kN)
轴力图
10
x
20 湖南大学力 学系:肖万伸
① 适用于等截面直杆，对于横截面平缓变化的拉、 压杆可近似使用，但对横截面聚然变化的拉、压杆不 能用；
② 要遵循以下的圣维南原理。即只在杆上离外力作
用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近，由于杆
端连接方式的不同，其应力情况比较复杂。
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*(二) 圣维南原理
• 思考：杆端作用均布力，横截面应力均匀分布；
m
(1)切开，(2)取,
F2
(3)代力，(4)平衡。
m
F4
F2
m
例2-1 设一等直杆在两端轴向
m
拉力 F 的作用下处于平衡, 欲 求杆件 横截面 m-m 上的内力.
F
F
1.截面法(Method of sections)
m
（1）截开
m
在求内力的截面m-m 处, F
F
假想地将杆截为两部分.
m
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FN3=-5 kN （压力） 同理，FN4=20 kN (拉力)
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1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN FR
A1
B2 C 3
D4
E
N
(kN)
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
1.工程实例 (Engineering examples)
（未考虑端部连接情况）
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2.受力特点(Character of external force) 外力的合力作用线与杆的轴线重合
3.变形特点(Character of deformation) 沿轴向伸长或缩短
4.计算简图 (Simple diagram for calculating)
根据强度条件可以解决工程中的三类强度问题
☆ 强度校核 ☆ 设计截面 ☆ 确定许可载荷
FN
A
A
FN
FN A
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例： 一空心圆截面杆, 外径D=20mm,内径d=15mm,承受轴向载荷 F=20kN作用，材料的许用应力[]=156MPa，试校杆的强度。
解：杆件横截面上的正应力为:
（2）计算各杆的许可载荷。 对BC杆，根据强度条件
BC
FNBC A
1
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解得：
F
d 2 1
160 106 400 106
68.67 kN
4 0.732
4 0.732
对AC杆，根据强度条件
AC
FNAC A
2
解得：F
d 2 2
7 106 400 106 4.25 kN
10103 N 500 106 m2
20
MPa
CD
FN3 A
30 103 N 500 106 m2
60
MPa
式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。
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(三) 拉（压）杆斜截面上的应力
1、斜截面上的应力
k
F
F
α
k
以 pα表示斜截面 k - k上的应力，于是有:
p
F A
A
A
因为 156 MPa 所以满足强度校核。
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例：结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为d=20mm. BC为 Q235钢杆，其许用应力[]1=160MPa; AC为木杆，其许用应力 []2=7MPa。求：该结构的许可载荷。
l1：杆件变形后长度； l：伸长量；
b：杆件原宽；
b ：形后杆件宽度。 1
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拉压杆件在轴向变形的同时，横向也会发生变化。
试验结果表明，当拉压杆件的应力不超过材料比例极 限时，与的比值的绝对值为一常数，即
结论：每条纵向纤维的力学性能相同，其受力也应 相同，因此横截面上的正应力是均匀分布的 .
3.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
式中， FN 为轴力，A 为杆的横截面面积,
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的符号与轴力FN 的符号相同。
当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应 力 ;当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压 应力 。 该公式的适应范围：
F qA
q
杆端作用集中力，横截面应力均匀分布吗？ 圣维南原理：如将作用于构
q
件上某一小区域内的外力系
q
（外力大小不超过一定值）
q
用一静力等效力系来代替，
则这种代替对构件内应力与
F
max 应变的影响只限于离原受力
小区域很近的范围内。对于
F
杆件，此范围相当于横向尺
F
F 寸的1～1.5倍。
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切应变
构件产生变形时，不仅线段的长度会发生改变，正
交线段的夹角也会发生改变，如图所示，变形前BA与 BC的夹角为直角，变形后和的夹角变为，当A与C趋近 于B时，上述角度变化的极限值
lim
BA0
2
ABC
BC 0
定义为B点的切应变或角应变。
线应变和切应变均为度量一点变形程度的量，且均为无 量纲量。
m
u x
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C
D
一般来说，边AB上各点处的变
形量不一定相等，平均正应变的大
小会因边长的改变而改变。为了更
准确地表示点沿边长方向的变形情
A
Δx B Δu
况，应选取微元体，由此得出平均
正应变的极限值，即
lim u
x0 x
称之为点沿边方向的正应变。此外还可以确定点 在其它方向上的正应变。
讨论
p
cos
cos2
p
sin
2
sin2
(1)当 = 00 时， max F
(2) = 450 时，
max
Байду номын сангаас
2
n
k
x
k
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(四) 强度计算
拉压杆正常工作时的强度条件可表示为：
max [ ]
其中：max—拉(压)杆的最大工作应力，[]—材料拉伸(压
缩)时的许用应力。
三、轴向拉压杆的应力 (一) 拉（压）杆横截面上的应力
FN
dA
A
dA A
A
变形均匀ï应力均布
1.变形现象
dA dA
(1) 横向线a‘b’和c‘d’仍为直线，且仍然垂直于轴线； (2) ab和cd分别平行移至a‘b’和c‘d’ , 且伸长量相等。
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2. 平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面， 仅仅沿轴线方向平行移动了一个距离。
4 0.5175
4 0.5175
所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：
F 4.25 kN
A
B
450 300 C
y
FNAC
450 300
FNBC
C
x
F
F
湖南大学力
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§2.2 拉压杆件的变形
一、变形与应变的概念
1.变形
当力作用在物体上时，将引起物体形状及体积的 变化，这种变化被称之为变形。
例：已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所 示，F=10kN， F=20kN ， F=20kN 。试求直杆各段的正应力。
解：(1) 作轴力图
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A=500mm2
(2) 应力计算：
AB
FN1 A
10 103 500 106
N m2
20
MPa
BC
FN2 A
(compressive force) 轴力指向截面FN=-F
F
F
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３．轴力图(Axial force diagram) 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线
的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画 在x轴下侧.
（2）取：取左部分部分作为研究对象，画出分离体图。 m
（3）代替
F
F
弃去部分对研究对象的作用以截
开面上的内力代替,合力为FN .
m
（3）平衡
m
F
FN
对研究对象列平衡方程
m FN = F
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.
方向与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心的内力, 称为轴力(axial force).
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m
2.轴力正、负号的规定
F
(Sign convention for axial force) （1）若轴力的指向背离截面，
F 则规定为正的, 称为 拉力
(tensile force) 轴力背离截面FN=+F
m m
FN
m
m
（2）若轴力的指向指向截面，
FN
则规定为负的, 称为压力 m
A
B
450 300 C
F 解： （1）分析受力，受力图如图所示。
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A
B
450 300
y
FNAC
450 300
FNBC
C
C
x
F
F
Fx 0, FNAC sin 45 FNBC sin 30 0
Fy 0, FNAC cos 45 FNBC cos 30 F 0
解得： FNBC 0.732F FNAC 0.5175F
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2.应变
• 构件的形状是用它各部分的长度和角度来表 示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变 和角度的改变，即线变形和角变形。构件整体 的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为 了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概 念：应变。
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正应变
设一正方形物体（如图）边AB的原长为Δx，受力变 形后长度为Δx+Δu ，长度改变量为Δu，则Δu与Δx的比值 称为边AB的平均正应变或平均线应变，记为εm，即
F
F
轴向拉伸 (axial tension)
F
F
轴向压缩 (axial compression)
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二、轴向拉压杆的内力——轴力
截面法概念：用假想的平面将物体截开，将内力显示出来，
然后考虑其中任意一部分的平衡，从而确定该截面内力的
方法，称为截面法。
m F1
F3
截面法四个步骤：
F1
FN
O
x
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F
F
(c) (f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
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例2-3试作此杆的轴力图。
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解：
1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN FR
A1
B2 C 3
D4
E
为求轴力方便，先求出约束力
实际构件的变形一般都是非常微小的，需使用相 关仪器做精确测量才能观察到，其变形远小于构件 的原始尺寸。由于变形极其微小，因此在计算构件 的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算， 从而使问题的计算简化。
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研究变形的目的有两个： 1. 为了分析构件的刚度问题。即为了保证构件正常工 作，构件的变形应限制在允许的范围之内； 2. 为了求解静不定问题。对于静不定问题，未知量的 个数多于独立的静力平衡方程的个数，因此除了静力 平衡方程外，还需要寻求补充方程，而补充方程的建 立与构件的变形有关。
∑X=0 -FR-F1+F2-F3+F4=0
FR=10kN
为方便，取横截面1－1左边为分
离体，假设轴力为拉力，得
FN1=FR=10 kN(拉力)
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1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
A1
B 2C
3
D4E
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为分 离体，假设轴力为拉力。
cos
F F
p
F A
F cos
A
cos
p F
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将应力 pα分解为两个分量：
沿截面法线方向的正应力
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力
p
sin
2
sin2
2、符号的规定
α p
pα
从x轴逆时针转到a截面的外法线n时,a为正值，
反之为负值。
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二、轴向拉伸与压缩时杆件的变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化， 如图。
纵向变形：杆件沿轴线方向的变形。 l l1 l
(a)
纵向线应变： Δl
(b)
l
横向变形：与轴线垂直方向的变形。 Δb b1 b (c)
横向线应变： Δb
(d)
b
l：杆件原长；
第2章 拉伸、压缩与剪切
湖南大学力 学系:肖万伸
§2.1 轴向拉压内力·截面法和应力
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于 杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力 情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
湖南大学力 学系:肖万伸
一、受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
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例2-4已知：F=10kN, 均布 F
q
轴向载荷q =30kN/m,
杆长 l =1m。
Ax
B
F
求：杆的轴力图。
x FNx
解：建立坐标如图，取x处截面, 取左边, 受力如图
X 0 : FN x qx F 0
FN x 10 30 x
FN (kN)
轴力图
10
x
20 湖南大学力 学系:肖万伸
① 适用于等截面直杆，对于横截面平缓变化的拉、 压杆可近似使用，但对横截面聚然变化的拉、压杆不 能用；
② 要遵循以下的圣维南原理。即只在杆上离外力作
用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近，由于杆
端连接方式的不同，其应力情况比较复杂。
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*(二) 圣维南原理
• 思考：杆端作用均布力，横截面应力均匀分布；
m
(1)切开，(2)取,
F2
(3)代力，(4)平衡。
m
F4
F2
m
例2-1 设一等直杆在两端轴向
m
拉力 F 的作用下处于平衡, 欲 求杆件 横截面 m-m 上的内力.
F
F
1.截面法(Method of sections)
m
（1）截开
m
在求内力的截面m-m 处, F
F
假想地将杆截为两部分.
m
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FN3=-5 kN （压力） 同理，FN4=20 kN (拉力)
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1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN FR
A1
B2 C 3
D4
E
N
(kN)
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
1.工程实例 (Engineering examples)
（未考虑端部连接情况）
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2.受力特点(Character of external force) 外力的合力作用线与杆的轴线重合
3.变形特点(Character of deformation) 沿轴向伸长或缩短
4.计算简图 (Simple diagram for calculating)
根据强度条件可以解决工程中的三类强度问题
☆ 强度校核 ☆ 设计截面 ☆ 确定许可载荷
FN
A
A
FN
FN A
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例： 一空心圆截面杆, 外径D=20mm,内径d=15mm,承受轴向载荷 F=20kN作用，材料的许用应力[]=156MPa，试校杆的强度。
解：杆件横截面上的正应力为:
（2）计算各杆的许可载荷。 对BC杆，根据强度条件
BC
FNBC A
1
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解得：
F
d 2 1
160 106 400 106
68.67 kN
4 0.732
4 0.732
对AC杆，根据强度条件
AC
FNAC A
2
解得：F
d 2 2
7 106 400 106 4.25 kN
10103 N 500 106 m2
20
MPa
CD
FN3 A
30 103 N 500 106 m2
60
MPa
式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。
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(三) 拉（压）杆斜截面上的应力
1、斜截面上的应力
k
F
F
α
k
以 pα表示斜截面 k - k上的应力，于是有:
p
F A
A
A