解析几何专题汇编7抛物线的切线问题

第七部分、抛物线的切线问题

1．(08广东) 设0b >，椭圆方程为22

222x y b b

+=1，抛物线方程为)(82b y x -=．如图6所

示，过点F （0,b+2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在G 点的切线经过椭圆的右焦点1F ，

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设,A B 分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ,使ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由 （不必具体求出这些点的坐标）．

解：（1）由28()x y b =-得2

18

y x b =

+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，

1

'4

y x =

，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，

令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，

2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-；

（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2

1(,

1)8

x x +，A 、B

两点的坐标分别为(

和， 22242

1152(1)108644

PA PB x x x x =-++=

+-=。 关于2

x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形。

2．已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；

（II ）若A B 是轨迹C 的动弦，且A B 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.

解：（I ）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上

因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是2

8x y =

（II ）

,AB x 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y

22,1.8y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩

由可得28160x kx --=， 128x x k +=，1621-=x x

抛物线方程为.4

1

,812x y x y ='=

求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 1114k x =，2214k x = ，121212111

14416

k k x x x x ⋅=⋅=⋅=-

所以，AQ BQ ⊥

3．（08陕西）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

证明：（Ⅰ）如图，设22

1122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入

2y =2220x kx --=．由韦达定理得121212

k

x x x x +==-，．

∴1224N M x x k

x x +==

=，∴N 点的坐标为2

48k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，．22y x =，∴∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44

k

k ⨯

=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．

由（Ⅰ）知2222

1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则

22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪

⎪⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤

⎡⎤

=-++++++⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦⎣⎦

22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪

⎢⎥⎝⎭⎣

⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫

=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=， 2

1016

k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．

即存在2k =±，使0NA NB =．

4．(07江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于

A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直

线:l y c =-交于点P Q ，．

（1）若2OA OB =，求c 的值；

（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得2

0x kx c --=． 令2()A a a ，，2

()B b b ，，则ab c =-．

因为22

2

2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．

（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫

- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222

AQ a c a ab k a a b a b a +-=

==+--． 又2

y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQ

a c a a

b k a x a x +-==--，所以20

2a ab

a a x -=-，

得2

02ax a ab =+，因0a ≠，有02

a b

x +=

．