理想流体动力学基本方程

动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
f x dxdydz
12
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
流体微团受到 x 轴方向的质量力：
f x dxdydz
根据牛顿第二定理：
ma x Fx
dxdydz dux
dt
p x
dxdydz
f x dxdydz
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
( v)d
t
A
v vndA
F fd p ndA
A
在恒定流动时，动量方程为： v vndA fd p ndA
A
A
单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。
单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。
控制体——任取一段总流1-1、 2-2之间的流体。
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
uz x
uy
uz y
uz
uz z
写成矢量的形式：
f
1
p
du dt
u t
u
u
i
j
k
——哈密顿算子
x y z
u
uxi uy j uzk
x
i
y
j
z
k
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（1）达朗伯原理：单位质量流体的质量力、表面力
及惯性力三力组成平衡力系。
f
1
p
d
u
dt
f
1
p d u
0
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dt
单位质量流 体的表面力
质点系的动量定理：
系统的动量对时间的变化率等于作
用于该系统上所有的外力之合。
dK dt
F
n
K
mi
vi
vd
i 1
d
vd
F
dt
6
d
vd
F
dt
把动量代入输运方程的随体导数公式
v
d dt
d
d
t
vn dA
A
d
dt
vd
( v)d
t
A
v vndA
d
vd
F
dt
( v)d
t
A
v vndA
F
控制体τ（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体
表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。 7
( v)d
t
A
v vndA
F
质量力
F 作用于控制体上的外力：
表面力
表面力：对于理想流体表面力只有压力，
粘性剪应力为零。
p ndA —— n指外法线方向，负号表示压力 A
（2）动量定理：单位质量流体的动量对时间的导数等于单
位质量流体所受的质量力与表面力之和。
1
du
f p
dt
动量：mu。当m=1时，动量 ：u
16
（3）欧拉运动微分方程与欧拉平衡微分方程的转化 当 ux uy u时z ，流0 体的速度为零，即流体静止不动。
fx
1
p x
dux dt
0
fx
1
p x
一、动量方程——流体的运动方程 二、能量方程——伯努利方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
第四章 理想流体动力学基本方程
粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
18
分析其中任一元流：dt 时段内元流由 1-2 运动至1’-2’
从而动量发生变化，动量的增量为：
dK
K 12
K 12
K22
K12
K12
K11
Ku22u22d2dAA2d2Kdt1utu122dum11ud21uAd21Ad1tdudt1um11u1
对于不可压流体：
1 2
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恒定总流：总流可以看作是由无数元流组成，将元流
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dux dt
fx
1
p x
du y dt
fy
1
p y
duz dt
fz
1
p z
根据欧拉法求导：
fx
1
p x
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
fy
1
p y
du y dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
fz
1
p z
duz dt
uz t
ux
dux dt
fx
1
p x
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根据牛顿第二定理： m a F
max Fx may Fy maz Fz
（1） ma x Fx （2） ma y Fy
dux dt
fx
1
p x
du y dt
fy
1
p y
微分形式的动量方程 或欧拉运动微分方程
（3） ma z Fz
duz dt
fz
1
p z
（1）定常流动：动量不随时间变化
( v)d
t
0
v vndA fd p ndA
A
A
单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和
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2、微分形式的动量方程——欧拉运动微分方程
理想流体 ，0 无粘性切应力，只有法向压应力
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取六面体的流体微团为控制体，其边长分别为：dx、dy、dz
fy
1
p y
du y dt
0
fy
1
p y
fz
1
p z
duz dt
0
fz
1
p z
欧拉平衡微分方程
（4）欧拉运动微分方程的求解
欧拉运动微分方程中有四个未知数p、ux、uy、uz，
但只有三个运动方程，所以必须在特殊情况下才能求解。
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3、恒定总流的动量方程及其应用
恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
t
A
v vndA
F fd p ndA
A
——积分形式的动量方程 8
( v)d
t
v vndA
A
fd
A
p ndA
——积分形式的动量方程
控制体τ（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体 表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。