浅析换元法的应用

浅析换元法的应用作者：郑洁

来源：《读与写·教师版》2018年第08期

摘要：在高中数学中，换元法是一种比较常见却非常实用的方法，正确又灵活的运用换元法，不仅可以将数学的各个方面充分的联系到一起对数学问题进行转化，还可以发掘学生的创造思维能力，培养学生对数学的兴趣，因此，本文就换元法在三角、方程、函数、不等式等方面的应用进行简单的分析与研究。

关键词：高中数学；换元法；应用；数学思维

中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）08-0236-01

1.引言

有一些数学问题，由于条件和结论中的变量关系在形式上的隐蔽性，它们之间实质性的逻

辑联系不易从表面形势上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接

求解。但当我们进行适量的变量代换时，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们内在的联系，把问题化难为易，化繁为简。因此换元被认为是中学数学中最常用的一种思想方法，掌握了换元思想，不但可以比较顺利的解决一些较难的问题，还可以用多种方法解答同一个问题，提高我们的思维能力。

2.换元法的概念

在解数学题时，我们把一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就是换元法，换元法的实质就是转化，关键是构造变量和设变量；换元的理论依据是等量代换；换元的目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，从而使问题易于求解。

3.换元法的方法与特点

换元法的方法有三角换元、局部换元、均值换元等，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究三角、方程、函数、数列、不等式等问题中有重要的作用。

4.常见的换元方法与技巧

4.1 整体换元在三角函数求值中的妙用

由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值是三角函数求值中的一个常见题型，解决这类问题的关键在于寻找未知角与已知角之间的关系，但对于一些复杂的问题，部分学生直接寻找关系较为困难，即使找到在解题过程中还是会碰壁，但使用换元的思想方法却可以避免这些问题的困扰。

4.2 三角换元的其他应用

高中数学好多问题如果能联系上三角变换，常常能出奇制胜，使问题顺利获得解决，是用三角变换关键要注意相关的数学问题结构类型及三角换元的方法。

4.3 换元法在方程中的应用

换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。

4.4 换元法在线性规划中的妙用

在二元规划问题中的两种基本类型斜率型和截距型的问题中，若能充分的把握住目标函数的结构特征，运用还元的思想，将间题转化为二元规划问题的一般形式，传统的解法就可大展身手，其解题过程不仅显得清晰明了，而且更具有可操作性，让人赏心悦目，值得尝试。

评注图解法是解决规划问题的根本，其关键在于正确作出可行域，正确理解目标函数所表示的几何意义，只要把握住这两个方面，也就能掌握解决规划问题的方法。

5.结语

在高中数学中，换元法的重要地位的确是不容忽視的。正确又灵活的运用换元法，不仅仅可以将数学的各个方面充分的联系在一起，而且还可以不断地发掘学生的创新思维能力，培养他们的学习数学的兴趣，享受解题的乐趣。换元法的应用非常广泛，因为培养学生的思维扩散能力是数学教学的根本目的所在，善于运用方法解题是掌握数学的基础，而命题的连续简单转换是数学的解题的最好的方法。数学思想方法是数学基础知识的更高级别的范畴。善于应用数学思想方法去思考数学问题，让数学思维更具有创造力及想象力，灵活的运用换元法能将数学问题进行有效的转化以及化归，这样的解法更加简单、更加直观，是数学发展上的重要的研究方向。

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