电子教案-电路及磁路(第4版_朱晓萍 霍龙)电子教案、参考答案38248-第04章

T
2 2 f
T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位
①相位：正弦波的(ωt ψ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。
③规定：初相位的绝对值不超过π。
三 相位差
第四章 正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位
◆ 幅值：交流电的最大瞬时值称为幅值或最大值，如Im。
幅值必须大写,
下标加 m。
Im i
T
t
◆ 决定正弦量变化快慢的三种描述：
①周期 T：变化一周所需的时间。 单位：秒(s)
②频率 f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第四章 正弦电流电路
三者间的关系： f 1
相量图：把相量表示在复平面的图形。
第四章 正弦电流电路
注意
① 相量与正弦量是对应关系，而并不是等于正弦量。
i Imsin(ωt ψ) I& Iψ
② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量 表示。 ③ 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
④ 相量（有效值相量）的表示形式
I& Iψ Iejψ I cos ψ jI sinψ
例：一个0.8H的电感元件接到电压为
u(t) 220 2 sin(314 t 120 )V
的电源上，（1）求电感中的电流和无功功率；（2）电源 频率改为150HZ，电压有效值不变，电感电流和无功功率 各为多少？
解：（1）电压相量，感抗分别为
第四章 正弦电流电路
U 220 120V
X L ωL (314 0.8)Ω 251Ω
同理
注意
U
Um 2
0.707U m
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值
②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
第四章 正弦电流电路
4.2 正弦量的相量表示法
一 正弦量的表示方法
必须小写
解析式：i Im sin(ωt ψ)
i
波形图：
OFra Baidu bibliotek
ωt
重点
相量： I Iψ
由于前两种不便于运算，故引出相量表示法。
0
i2R dt
I 2RT
周期电流 直流
则有 I
有效值必须大写
1 T i 2dt
T0
第四章 正弦电流电路 正弦量的有效值与最大值关系
当 i Im sin(ωt ψ) 时，则
I
1 T i 2dt T0
1 T
T 0
I
2 m
sin 2 (ωt
ψ)dt
Im 2
即
I
Im 2
0.707 I m
故电流为 I
U
220 120 A
0.876150A 及
◆ 平均功率
P 1
T p(t)dt 1
T
UI sin(2ωt)dt 0
T0
T0
◆ 分析：瞬时功率
L是非耗 能元件
设：i 2I sin(ωt)
u 2U sin(ωt 90)
则：p(t) u(t)i(t) UI sin(2ωt)
第四章
正弦电流电路
u,i, p
p
u
i
0
t
T
4
i i ii
i
+
电流通过一匝线圈产生 Φ (磁通)
u
电流通过N 匝线圈产生 ψ NΦ(磁链) -
线圈电感： L ψ NΦ
ii
磁链单位：韦伯（Wb） 电流单位：安培（A） 电感单位：亨利（H）
第四章 正弦电流电路
线性电感： L为常数；非线性电感：L不为常数
二 电感元件的电压电流关系
根据电磁感应定律，感应 i
②磁场能量只与最终电流值有关，与电流建立过程无关。
③ i 绝对值增加时，电感元件吸收为磁场能量。 i 绝对值减小时，电感元件释放磁场能量。
第四章 正弦电流电路
四 电压和电流的相量关系
关联参考方向下，电感元件电压电流关系为
u L di dt
设电感元件的正弦电流为：i(t) 2Isin(ωt ψi )
I&1 =50
π 6
A
U 1
I
31
0
6
2 3
U&1 =100
π 3
V
U 2
相量图
U&2
=100-
2π 3
V
第四章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
例：设有正弦电流： i1(t) 70.7 2 sin(ωt 45)A
i2 (t) 42.4 2 sin(ωt 30)A
试求：两电流的和及差。 解：用相量表示两正弦电流为
第四章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。 相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、 辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im（或 I）
j Im (I&)
ψ
1
模用最大值表示时，为最
大值相量，即 Im I mψ
模用有效值表示时，为有
效值相量，即 I& Iψ
⑤ “j” 的数学意义和物理意义
90 旋转因子：e j90o
ej90 cos90 jsin 90 j
第四章 正弦电流电路
例 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。
解：
i1
u1
50 2sin(100t
100 2sin(100t
)A
6
π
)V
3
u2 =100
2sin(100t 2π )V 3
在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收功率为
p ui Li di dt
当电流由0增大到 i时，电感元件储存的磁场能量为
W i Li didt 1 Li2 0 dt 2 ◆结论：
能量单位：焦耳（J） 电流单位：安培（A） 电感单位：亨利（H）
①电感元件是一种储能元件，同时又是一种无源元件。
第四章 正弦电流电路
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
4.1 正弦量
一 时变的电压和电流
◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第四章 正弦电流电路
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 u(t) 和 i(t) 表示。 ◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
电动势的量值等于磁链的变化 ++
率，即
ue
e dψ L di
--
dt dt
ue i
L
由感应电动势得电压，当取电压参考方向与磁链参
考方向符合右螺旋法则时，即 u、e 和 i 参考方向均相
同，如图所示，则有
u L di dt
电感两端的电压与通过该电 感中电流的变化率成正比。
第四章 正弦电流电路
三 电感元件的磁场能量
i i1
i2
O
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。 ③ 相位差的绝对值规定不超过π。
第四章 正弦电流电路
四 周期量和正弦量的有效值
有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R , 在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电 阻 R 消耗的能量 , 则I 定义为 i 的有效值。
T
I&2
I
2
1
0
I& I&1 I&2
0
两相量相加
两相量相减
第四章 正弦电流电路
4.3 基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL）
瞬时值形式： i 0
相量形式（同频率的正弦量） ：I 0
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式： u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U& 0
第四章 正弦电流电路
++
--
+
u
u
u
+
u
-
-
p >0
p <0
p p >0 <0
储能 放能 储能 放能
结论：
纯电感不消耗 能量，只和电源 进行能量交换（ 能量的吞吐)。
电感元件是储 能元件。
可逆的能量 转换过程
第四章 正弦电流电路
◆ 无功功率 Q ：瞬时功率的最大值，即
Q
UI
I2XL
U2 XL
SI单位：乏（var）
无功功率反映了电感元件与外部交换能量的规模。
第四章 正弦电流电路
二 旋转矢量与正弦量
设正弦量: i Im sin(ωt ψ)
j
i
Im
B
ω
b
0
ωt1
A
I m
a 0
+1
ωt1
ωt
若：有向线段长度 = 电流最大值 Im
有向线段与横轴夹角 = 初相位
有向线段以速度 ω 按逆时针方向旋转
则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
则电感元件的电压为：
I Iψi
u(t) L d dt
2I sin(ωt ψi )
2ωLI sin(ωt ψi 90)
2U sin(ωt ψu )
U ωLI(ψi 90 )
比较上述式子，可得： U ωLI ,ψu ψi 90o
U& U ψu
第四章 正弦电流电路 于是可写成相量形式：
可得：
U RI ,ψu ψi
U& U ψu
第四章 正弦电流电路
于是可写成相量形式：
U RI或 Uψu RIψi 及 I& GU&
波形及相量如图所示
i
u
ui u
i
0
I&
U&
电压、电流关联参考方向
T
T
2
2
波形图
t I
U
相量图
第四章 正弦电流电路
◆ 结论
① 相位频率相同；
② 大小关系：U RI ； ③ 相位关系： u、i 同相位。
U& jωLI& jX LI& 或 U ψu X L I (ψi 90o)
电压超前电流90°
感抗：X L ωL 2fL U I
SI单位：欧姆（ ）
X L 2fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路。
交流：f
XL
电感L 具有通直阻交的作用
第四章 正弦电流电路
波形及相量如图所示
iL
u
I& jωL
U&
电压、电流关联参考方向
ui
u
i
0
T
4T
T
2
2
波形图
五 功率 设：i 2I sin(ωt) u 2U sin(ωt 90)
U
t
I
相量图
第四章 正弦电流电路
◆ 瞬时功率
p(t) u(t)i(t) 2U sin(ωt 90o) 2I sin(ωt)
UI sin(2ωt)
U& RI&
二 功率（平均功率、有功功率）
◆ 瞬时功率：p(t) u(t)i(t) 2U sin(ωt ) 2I sin(ωt ) UI(1 cos2ωt)
◆ 平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值。
第四章 正弦电流电路
平均功率：P 1
T p(t)dt 1
T
UI(1 cos2ωt)dt
I& I&1 I&2
I1 70.745A I2 42.430A
其相量图如图所示 将两相量相加，得
I 1
I& I&1 I&2
I&2
45º
0
-30º
I
2
I I1 I2 (70.745 42.430 )A 91.4 18.4A
第四章 正弦电流电路
其瞬时值表达式：i(t) i1 (t) i2 (t) 91.4 2 sin(ωt 18.4)A
i
o
t
o
t
第四章 正弦电流电路
两个正弦量的相位关系
若 u i 0, 若 u i 180 , 称 u 与 i 同相； 称 u 与 i 反相；
若
u
i
2
，
称 u 与 i 正交。
u,i
u i
o
u,i u i
t
o
t
u,i u
i
o
t
第四章 正弦电流电路
注意:
① 两个同频率正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
之差。
i
u
t
u i
如： u Um sin t u i Im sin t i
则相位差为：
t u t i u i
第四章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
若 u i 0,
称 u 超前 i 角；
若 u i 0,
称 u 滞后 i 角；
u u,i
u,i i u
T0
T0
大写
UI RI 2 U 2 R
GU 2
单位:瓦（W）
p u, i p
P
u
P = UI
0
i
t
T
T
2
2
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指平均功率。
第四章 正弦电流电路
4.5 电感元件 正弦电流电路中的电感
一 线性电感元件 ◆电感元件：描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场
能量的性质。 物理意义：
4.4 正弦电流电路中的电阻
在正弦电流电路中，无源元件除电阻外，还有电感和 电容。从这里开始分别介绍它们在正弦电路中的情况。
一 电压和电流的关系 关联参考方向下，电阻元件VCR为
u Ri
i
u
设电阻元件的正弦电流为：i(t) 2Isin(ωt ψi )
则电阻元件的电压为：
I Iψi
u(t) Ri(t)= 2RIsin(ωt ψi )= 2Usin(ωt ψu )
将两相量相减，得
I I1 I2 (70.745 42.430 )A 72.479.4A
其瞬时值表达式：i(t) i1(t) i2 (t) 72.4 2 sin(ωt 79.4)A
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上，
可采用三角形法则作图。如下图所示。
I
1
I
I& I&1 I&2
u
i
i
O
tO
tO
t
时变电压
周期量
交流量
第四章 正弦电流电路
二 正弦量的三要素
i
正弦量：按正弦规
Im
律变化的交流量。
O
2
t
设正弦电流
T
i I m sin(ωt ψ)
初相位 角频率
决定正弦量起始位置 决定正弦量变化快慢
幅值 决定正弦量的大小 幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。
第四章 正弦电流电路