导数与微分的概念

导数与微分的概念
一、导数的概念
二、微分的概念 三、可导、可微和连续的关系
一、导数的概念
1. 两个实例
（1）曲线的切线斜率 切线——割线的极限位置 如图, 如果割线 MN 绕 y 点 M 旋转而趋向极限位
y f ( x)
N T
置MT , 直线MT 就称为
曲线 C 在点 M 处的切线.
o
C

M

x0
证 (1) 必要性
f ( x )在点x0可微,
y o( x ) y A x o( x ), A , x x y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
x x0
或 df ( x )
x x0
, 即dy
x x0
A x .
微分dy叫做函数增量y的线性主部(微分的实质) .
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由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数 ;
(2) y dy o(x )是比x高阶无穷小 ;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
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(2) 充分性
函数f ( x )在点x0可导, y y f ( x0 ) , lim f ( x 0 ), 即 x 0 x x 从而 y f ( x0 ) x ( x ), 0 ( x 0),
f ( x 0 ) x o( x ),
1 即 (log a x ) . x ln a
1 (ln x ) . x
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练习1 用定义求函数 y x 3 在x 1处的导数. 解 (1) 求增量
y f (1 x ) f (1) (1 x ) 1
3
3
( x )3 3(x )2 3x
f ( x ) ln x ,
x0 1, x 0.01,
f (1) (ln x ) x 1
f ( 0 h) f ( 0 ) h 解 , h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
y
y x
o
x
即 f (0) f (0),

2.右导数:
f ( x0 ) lim
x x0

f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x

★ 函数 f ( x )在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
sin( x h) sin x (sin x ) lim h 0 h h sin h 2 cos x . lim cos( x ) h 0 h 2 2
x

4
.
即
(sin x ) cos x .
x 4
(sin x )
cos x
x
4

2 . 2
当 x 很小时, 在 点 M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段MN . 即
o
y f ( x)
）
y
T N P M
o( x )
dy y
x

x0
x0 x
x
f ( x ) f ( x0 ) dy
x x0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
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例8 求 ln 1.01的近似值 . 解
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二、微分的概念
1. 微分的定义
实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 0变到x0 x , x
正方形面积A x0 ,
2
x0
x
( x ) 2
x
x 0 x
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微.
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
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例7 求函数 y ln x 当 x 1, x 0.02时的微分 . 1 解 dy (ln x )x x . x 1 dy x 1 x x 1 0.02 x x 0.02 x 0.02
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
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例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
故所求切线方程为 y x 1.
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练习2 求曲线 y
1 1 在点( ,2)处的切线方程 x 2 和法线方程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
x
x
2
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ). MN 0, NMT 0.
割线MN 的斜率为
y y0 f ( x ) f ( x0 ) tan , x x0 x x0
当N 沿曲线C M时,
切线MT 的斜率为
x x0 ,
f ( x ) f ( x0 ) k tan lim . x x0 x x0
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例6 求曲线 y ln x上平行于直线y x 1的切线. 解 设点( x0 , y0 )处的切线平行于直线 x 1， y
已知直线的斜率为1， 由导数的几何意义,有
(ln x )
x x0
1 1 , 即 x0 1 , x0
代入y ln x中得 y0 0 ,
( 2) 算比值 y ( x ) 3( x ) 3x x x
3 2
( 3) 求极限
( x )2 3x 3
y 2 (1) lim f lim [( x ) 3x 3] 3. x 0 x x 0
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例4 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性 .
4
2. 函数 y = f（x）在点 x0 处的导数
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内有定义 ,
当自变量 x在 x0处取得增量x ( 点x0 x 仍在该邻域 内) 时, 相应地函数 y取得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与x之比当x 0 时的极限存在 则称函数 , y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函数y f ( x ) 在点 x0处的导数, 记为 f ( x0 ) , 或 y
函数y f ( x )在x 0点不可导 .
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5. 导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率即 , f ( x0 ) tan , (为倾角 )
M

y
y f ( x)
T
o
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
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3. 导函数
定义
如果函数 y f ( x )在区间I 上的每一点都
可导, 则称函数 f ( x )在区间I 上可导.
对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值, 这个函数叫做原来函数 ( x ) 的导函数 f . dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . 即 dx dx
f ( x x ) f ( x ) y lim x 0 x
注意: f ( x 0 ) f ( x ) x x
0
7
4. 用定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
类似可求得 (cos x ) sin x.
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例3 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数. 解
y lim log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 1 lim log a (1 ) log a e . h 0 x x x x ln a
y o( x ) 1 1 ( x 0). dy A x
(4) A是与x无关的常数但与f ( x )和x0有关; ,
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部 ).
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定理1 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
(1) : x的线性函数 且为A的主要部分 , ; ( 2) : x的高阶无穷小当 x 很小时可忽略 , .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
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定义
设函数 y f ( x )在某区间内有定义 ,
x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x )在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy
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（2）变速直线运动的瞬时速度
取一邻近于t 0 的时刻 t , 运动时间t ,
则平均速度
s s( t ) s( t 0 ) v . t t t0
当 t t 0时, 取极限, 得瞬时速度
s( t ) s(t 0 ) v ( t 0 ) lim . t t 0 t t0
x x0
dy , 或 dx
,
x x0
即
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y y x x0 lim lim x 0 x x 0 x
5
单侧导数
1.左导数:
f ( x0 ) lim
x x0

f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
dy f ( x )dx .
dy f ( x ). dx
即函数的微分 与自变量的微分 之商等于 dy dx 该函数的导数 导数也叫“微商” . .
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2. 微分的几何意义
当 y是 曲 线 的 纵 坐 标 增 量 时 dy , 就是切线纵坐标 对应的增量 .
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
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例5 求曲线 y x 2在点(1, 1)处的切线方程
和法线方程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
( x 2 ) x 1
x 来自百度文库1
2x
x 1
2.
所求切线方程为 y 1 2( x 1), 即 y 2 x 1. 1 法线方程为 y 1 ( x 1), 即 x 2 y 3 0. 2