第五章 抽样分布与参数估计

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2、抽样估计的特点
（1）用样本指标值推断总体的指标值 （2）样本的抽取要遵循随机原则
（3）抽样推断在方法上运用不确定的概率估计法
（4）抽样误差不可避免，但可以计算，并可以控 制。
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抽样估计在方法上运用的是不确定的概率估计法， 而不是确定的数学分析法。 抽样估计虽然也是利用样本数据来推断总体数据， 但是 因为样本数据和总体数据之间并不存在严格对 应的自变量和因变量的关系，因此不可能运用数学 函数关系建立一定的数学模型，用样本指标做自变 量，来推算因变量 — 总体指标。 抽样估计在实际中是先抽取一个样本，计算其相应 的指标值，然后要解决的问题是用样本指标来代替 相应的总体指标，其可靠程度（即概率）有多大， 这就是概率估计。
2
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29
二、抽样平均误差的涵义
是所有实际离差的平均数， 或：抽样平均数(样本指标)的标准差。 公式：

x
k i 1
i
X k
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2
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某总体有三个数据：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2、3、4，现从中按
放回抽样方法抽出两
个单位组成样本，结
果如下:
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二、有关抽样的基本概念
（一）全及总体和样本总体 （二）总体参数和样本统计量 （三）样本容量和样本个数 （四）放回抽样和不放回抽样
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（一）全及总体和抽样总体

1、全及总体（总体）
（1）定义：研究对象的全体。用 N 表示。
（2）分类：两种
变量总体：按数量标志分组而成。
15.3%
第5章 抽样分布 45
灯泡使用寿命资料
从10000件产中 随机抽取200件进 行质量检查： 假如耐用时数在 1000小时以下为 不合格。
使用时间 ( 小时 ) 抽查灯泡个数 (个 ) 900 以下 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200 以上 合计 2 4 11 71 84 18 7 3 200
求抽样平均误差。
样本变量 ⑴ ⑵ 2 2 2 3 3 3 4 4
2 3 4 2 3 4 2 3
9
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4
4
第一步：先求 出各个样本的 平均数 x
i
序号 样本变量 样本 ⑴ ⑵ 平均数 1 2 2 2 2 2 3 2.5 3 2 4 3 4 3 2 2.5 5 3 3 3 6 3 4 3.5 7 4 2 3 8 4 3 3.5



DA、DB、DC、DD
不放回抽样： AB、AC、AD BA、BC、BD CA、CB、CD DA、DB、DC
（样本个数为42个）
（样本个数位4×3个）
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第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 二、抽样平均误差的涵义 三、抽样平均误差的具体计算方法 四、影响抽样平均误差的因素
㈠变量总体：抽样平均数的抽样平均误差
1、在重复抽样下：
x

2
n


n
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在σ未知，可用样本 标准差 s 代替。
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2、在不重复抽样下:

x


n 1 n N
2
σ未知时也可用样本的标准差 s 代替.
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说明：
公式中的系数
n 1 N
第五章
抽样分布与参数估计(抽样推断）
本章内容
第一节 抽样估计的基本概念
第二节 抽样误差
第三节 总体指标推断（抽样估计）
第四节 抽样设计（抽样组织方式）
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第一节
抽样估计的基本概念
一、抽样估计的意义
二、有关抽样的基本概念
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一、抽样估计的意义
1、定义: 按照随机原则从总体中抽取一部分单位作 为样本，根据样本指标值对总体指标值做 出具有一定可靠程度的估计与推断。
抽样误差是随机误差。

C、抽样误差又分为：
实际误差和抽样平均误差。
第5章 抽样分布
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26
实际误差：
是指每一个样本平均数（ x i ）和总体 平均数（ X ）之间的离差，有 k 个， 如：
x X ， x
1
2
X ..... xk X
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求：样本平均数（灯泡的平均耐用时数）和样 本成数（灯泡的合格率）的抽样平均误差。
1、首先根据样本资料求出灯泡平均使用时间的 标准差和灯泡合格率
样本的

x x f
2
f
53.63 小时
样本的
183 p 91.5% 200 上一页 下一页
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2 、求灯泡平均使用时间（抽样平均数） 抽样平均误差：
x xf x n f
2 2 2
x x x x s n f
f
变量样本的标准差
第5章 抽样分布
s
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16
（2）属性样本 第一，属性样本的平均数：
n1 p xp n
n0 q n
又称样本成数 不拥有某种属性的单位数在 样本中占的比重
属性总体：按品质标志分组，且只有两种表现。
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属性总体举例

产品按是否合格分： 分类 数量（件）


合格
不合格
990
10

合计
1000
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2、样本总体（简称样本）
（1）定义：从总体中按照随机原则抽取的部 分单位。用 n 表示。 有大样本和小样本之分， n 超过30为大样本， n 小于30为小样本 （2）分类：变量样本和属性样本
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第5章 抽样分布
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11
（1）变量总体
第一，总体平均数：
X XF X N F
第二，总体方差或标准差
标准差：

X X
N
2

X X F F
2
标准差的平方即为方差
第5章 抽样分布

2
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12
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（2）属性总体 第一，属性总体的平均数 P
第5章 抽样分布
39

重复抽样：
x


200 9.18（元） n 475
2
2
不重复抽样：
x
第5章 抽样分布

n 200 475 (1 ) (1 ) 8.94（元） n N 475 9500
40
2
2
（二）属性总体：抽样成数的抽样平均误差

重复抽样：
μ

p

pq n
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第二，属性样本的方差和标准差
方差： 标准差：
s pq p(1 p)
2 p
s
p
pq
p(1 p)
也可以用 σ 表示
第5章 抽样分布
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18
注意：在有些书上，样本标准差用s表示
s
x x
2
n 1
在计算器上，有σ和s按钮，σ代表总体标准差， S代表样本标准差。
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（三）样本个数和样本容量

1、样本个数：样本可能数目。指从一个 总体中可能抽取的样本个数。用 k 表示 2、样本容量：一个样本中所包含的单位 数，用 n 表示。
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20

第5章 抽样分布
（四）放回抽样和不放回抽样
1、放回抽样（重复抽样）：从N个单位中每次抽取1 个，抽取后将其号码记下，再放回，一直抽取n个 单位组成一个样本。 每个单位被抽中的概率均为 1/ N
i
X k
Leabharlann Baidu
2
数理统计证明:样本平均数的平均数就等 于总体平均数。即：
x x
i
i
k
X
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34
第5章 抽样分布
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三、
的具体计算方法
变量总体的：抽样平均数的抽样平均误差
属性总体的：抽样成数的抽样平均误差
每一种又分为重复抽样和不重复抽样的
p
x
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(二)总体参数和样本统计量
参数： 唯一的、确定、未知的量 统计量：多样的、可变的、已知的
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1、总体参数
根据全及总体各单位标志值或标志属性计算的、 反映总体数量特征的指标。
（1）对于变量总体，有：
变量总体的平均数，方差或标准差 （2）对于属性总体，有： 属性总体的平均数，方差或标准差。
在重复抽样下，抽样平均误差：
x

n

53.63 200
3.79小时
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在不重复抽样下，抽样平均误差：

x


n (1- ) n N
2
53.632 200 (1) 200 10000
=3.75小时
3 、求灯泡合格率的（抽样成数）抽样平 均误差：
原本为
N n N 1
当N较大时，两者结果几乎相同。
n 计算时，要使用 1 N
第5章 抽样分布 38

某县城对9500户家庭进行年收入调查， 任抽取475户做样本，调查资料为：每户 年平均收入为2600元，各户年收入的均 方差为200元，试计算抽样平均误差。
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一、抽样误差的概念
1、抽样误差：
指样本指标与被估计的总体指标之间的 绝对离差。可表示为 ：
xX
p-P
这种误差是抽样调查所固有的、 不可避免的，所以又称随机误差
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2、抽样误差的种类

A、误差分：登记性误差和代表性误差 B、代表性误差又分为：
系统误差和随机误差，
重复抽样下抽样平均误差：
p
第5章 抽样分布
44
从10000件产品中用不重复抽样的方法随 机抽取200件进行质量检查，发现不合格 品有10件，试计算产品合格率的抽样平 均误差.
解：因为 P=1-10/200=95%
μ
p

p(1 p) n 0.95(1 0.95) 200 1 1 n 200 N 10000
废品率的成数 ：p=4/300=1.3%
废品率的抽样平均误差：
p
p(1 p) 0.013 0.987 2.1% n 300
第5章 抽样分布
43
（2）合格品率的成数 p=296/300=98.7%
合格品率的抽样平均误差：
p
p(1 p) 0.987 0.013 2.1% n 300
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2、不放回抽样（不重复抽样）
从N个单位中每次抽取1个，抽取后不放回， 一直抽取n个单位组成一个样本。 每个单位被抽中的概率依次为：
1/ N、1/（N-1）、1/（N-2）…
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第5章 抽样分布
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22

如有4个数据：A、B、C、D，从中抽取样本容量为2的样 本 放回抽样：AA、AB、AC、AD BA、BB、BC、BD CA、CB、CC、CD
N1 P Xp N
P 又称为成数，拥有某 种属性的单位数在总体 中所占的比重。
N0 Q N
Q代表不拥有某种属性的单位 数在总体中所占的比重。
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第二，属性总体的方差或标准差
方差：
标准差：

σ
2
p
PQ P (1- P)

σ
PQ P ( 1 P ) p
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第5章 抽样分布
9
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4
4
4
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32
第二步，计算各个样本平均数 （即2、2.5、 3、2.5、3、3.5、3、3.5、4 ）的标准差， 即为抽样平均误差，即
x x i i x 0.577 k
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2

x
k i 1
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第5章 抽样分布
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14
2、样本统计量
据根样本各单位标志值或标志属性计算的、 反映样本数量特性的指标。 （1）对于变量样本，有： 变量样本的平均数、方差或标准差 （2）对于属性样本，有： 属性样本的平均数、方差或标准差。
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（1）变量样本
变量样本的平均数 变量样本的方差
K 个实际离差可写成：
x1 X x2 X x3 X ......... xk X
第5章 抽样分布
对这 k 个实际离差求平均， 即为抽样平均误差。
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28
抽样平均误差：是所有实际离差的平均数。 用公式表示：

第5章 抽样分布
x
k i 1
i
X k
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p(1 p) n
不重复抽样：
μ
p

pq n 1 n N
p(1 p) n 1 n N

例如： 对某产品进行质量检查，随机重复抽取 300件，发现有废品4件，试计算：
（1）废品率的抽样平均误差
（2）合格品率的抽样平均误差
第5章 抽样分布
42
解（1）：