5 博弈论中的经典例子
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华南理工大学经济与贸易学院
小结
第二种博弈是存在两个纳什均衡解的2x2的非常 数和博弈。这类博弈都是协调博弈。包含很多种 形式,若以序数形式表示战略收益,则可以将其 归为一类
性别大战、胆小鬼博弈、鹰鸽博弈都是博弈论中 重要例子,对于现行研究仍然必不可少。
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最大的收益所对应的战略,即最大最小战略(maximin strategy 博弈是对称的,所以奥尔加会以相同的方式思考
奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0,0
1,-1
-1,1
0,0
华南理工大学经济与贸易学院
奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0
-1
1
0
帕梅拉的最小收益
0
-1
5.1 零和博弈与最大最小解 最大最小解
该博弈存在两个纳什均衡(看比赛,看比赛)和(看演出, 看演出)。
当然我们必须判断那一种纳什均衡更可能发生。从双方共 同角度来看,每一均衡都不优于另一个,优于缺少足够的 信息,无法找到谢林点,正是由于不能给出博弈确切答案, 性别大战在博弈论研究中总是占有一席之地。
马琳
看比赛 看演出
吉尔摩 看比赛
零和博弈是一个常数和博弈(constant-sum game)的特列。第三章政治博弈中,候选人得票 之和为100%,因此政治博弈也属于常数和博弈。
华南理工大学经济与贸易学院
5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
换一种方法分析常数和博弈,特别是零和博弈中的均衡。 对帕梅拉来说,一种可以选择的战略是其最小收益中数值
由于电话公司罢工,马琳因特网服务到期,并且吉尔摩手 机又没电了,使得他们无法联系对方。
在这种情况下,见到对方的唯一办法是赶到同一个地点, 对于每一个人,都有两种战略可以选择:看棒球或看演出。
马琳
看比赛 看演出
吉尔摩 看比赛
5,3
2,2
看演出
1, 1
3,5
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 性别大战
第三种可能是,如果都把车转向,双方即将没有收益也没有损
失。
麦克
不转开
转开
奈尔
不转开 -10,-10 5,-5
转开
-5, 5
0,0
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 胆小鬼博弈
该博弈存在两个纳什均衡,即一车转开另一车直行。与前面例 子一样,我们没用足够信息确定谢林点,无法判断那一种均衡 更有可能发生。
鸽子
-9, 14
5,5
5.2 存在两个纳什均衡的博弈 鹰鸽博弈
鹰鸽博弈是一个有两个纳什均衡的博弈,没有足够的信息确 定谢林点。
除了受益矩阵中数值不同以外,胆小鬼博弈与鹰鸽博弈非常 类似,从某种角度来讲,两者属于同一类型的博弈。
不过鹰和鸽子不具有思维能力,将鹰的攻击性行为成为一种 种战略选择,其实并没什么意义。鹰鸽博弈源自群体生物学, 并不属于真正的双人博弈,而是一种群体博弈
博弈论
张冠湘 2014 3
华南理工大学经贸学院物流工程系
Email:gxzhang@
华南理工大学经济与贸易学院
第五章 博弈论中的经典例子
5.1 零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
华南理工大学经济与贸易学院
5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
正面
背面
贝瑞 (奇方)
正面 背面
-1,1 1,-1
1,-1 -1,1
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5.1 零和博弈与最大最小解 开车博弈- 纳什均衡与最大最小解不一致
以第四章习题中开车博弈为例
开车博弈存在两个纳什均衡,战略组合是一车等待,而另 一车前行。
但由最大最小法则得该博弈的最大最小解是(等待,等待)
冰水公司
售价1美元
售价2美元
温泉公司
华南理工大学经济与贸易学院
售价1美元 售价2美元
0,0 -5000,5000
5000,-5000 0,0
5.1 零和博弈与最大最小解 猜硬币比赛博弈-没有最大最小解的零和博弈
两种战略的最小收益是一样的,最大最小法则不 能告诉我们怎么选择
不存在纳什均衡
罗杰(偶方)
5,3Biblioteka 2,2看演出1, 1
3,5
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 胆小鬼博弈
该博弈的参与者包括麦克与奈尔两名赛车手,规则要求两人驾
车同时驶向对方,这样会有撞车的危险。
如果一人在最后时刻把车转向,那么这人将输掉比赛,被视为
胆小鬼
若都没有转向,两车和可能相撞,车手非死即伤,损失更大
如果两只富有攻击性,它们会一直争斗下去,直到两败俱伤。即使 一方占有资源,双方还是会各有损失。
如果两只鸽子相遇时,在佯装进攻后,双方都选择逃跑,跑得较慢 的鸽子将占有资源。
当一只鹰和一只鸽子相遇时,鸽子会逃跑,鹰则以很小的成本或零 成本占有资源。
鸟B
鹰
鸽子
鸟A
鹰
-25,-25
14,-9
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是纳什均衡,从收益的角度来说却是一种较劣选择。它是 一种风险占优纳什均衡
吉姆
推
不推
卡尔
推
5,5
-10,0
不推
0,-10
1,1
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5.1 零和博弈与最大最小解
前面学习的尼姆游戏、西班牙叛乱等属于零和博 弈;囚徒困境、广告博弈、选址博弈、电台节目 选择等均为非常数和博弈。
零和博弈对问题进行了简化,但可能会偏离现实 世界中人类的真实活动,它与日常工作中遇到的 复杂情况存在一定差距,我们不要把问题过于简 单化
5.3 以序数表示收益
需要指出,任何具有相同序数的收益的两个博弈具有相同的均衡解, 更进一步,可以认为它们是相同的博弈。
再次回到囚徒困境,以序数形式表示收益 回顾前面章节提到的社会两难问题,包括广告博弈,垃圾处理博弈
以及囚徒困境,会发现这些博弈以序数形式表示的收益的矩阵都是 相同的,从这种意义上说,所有社会两难问题都是一致的。
零和博弈是其他博弈的基础,为复杂博弈的深入 研究提供了基石。
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第五章 博弈论中的经典例子
5.1零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 性别大战
马琳与吉尔摩经常聚在一起。吉尔摩喜欢看棒球比赛,马 琳喜欢看演出。
双人零和博弈是最简单最普通的一种博弈,而在 这类博弈中,最大最小解往往与纳什均衡是一致 的。
在一些零和博弈中,可能不存在满足最大最小法 则的战略。
这种简单对应关系并不适应于非常数和博弈
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5.1 零和博弈与最大最小解 矿泉水博弈-最大最小解与纳什均衡一致
。 价格竞争简化模型零和博弈的例子
别克
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等待 前行
奔驰
等待
前行
0,0
1,5
5, 1
-100,-100
5.1 零和博弈与最大最小解 开车博弈- 纳什均衡与最大最小解不一致
本例中不确定性是求纳什均衡的最大障碍,先到十字路口 的车先行,可以产生一个谢林点。但是若双方得不到任何 提示性息,则无法形成谢林点
在许多不确定性的情况下,最大最小解是理性选择
埃尔
认罪
不认罪
鲍勃
认罪 不认罪
埃尔 认罪 第二,第二 第一,最差
不认罪 最差,第一 第三,第三
鲍 认罪 勃
不认罪
10年,10年 20年,0年
0年,20年 1年,1年
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小结
本章着重介绍博弈论中两种不同的经典例子 第一种是零和博弈。零和博弈是一种非常普遍的
一种常数和博弈,其总收益为零。在任何一个常 数和博弈中,都可以用最大最小法则或最小最大 法则找到纳什均衡(如果纳什均衡存在的话)。 不过,当我们将最大最小法则应用于非常数博弈 中时,可能出现针对不确定性的谨慎行为,这种 行为通常是理性,有时,也可能是非理性的。
(1)售价为2美元/每瓶,可卖出5000瓶矿泉水,收入为10000美元。 (2)售价为1美元/每瓶,可卖出10000瓶矿泉水,收入为10000美元. (3)如果两家公司选择向同价位,将平分市场份额。 (4)如果一家公司选择高价位,则低价公司可售出所有矿泉水,而高价公
司一瓶也卖不出去。 (5)收益等同于收入减去5000美元固定成本。
别克
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等待 前行
奔驰
等待
前行
0,0
1,5
5, 1
-100,-100
5.1 零和博弈与最大最小解 推与不推博弈- 最大最小解与收益最优的矛盾
第四章提到的该博弈同样存在两个均衡 收益最大这个特征似乎能使(推,推)均衡成为博弈的谢
林点,从而解决不确定性问题 最大最小法则得最大最小解是(不推,不推),他虽然也
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鸟A
鹰 鸽子
鸟B
鹰
鸽子
-25,-25
14,-9
-9, 14
5,5
第五章 博弈论中的经典例子
5.1 零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
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5.3 以序数表示收益
序数表达的是次序而不是具体的数,因此用最好、第二、 第三和最差的收益来代替具体的数字。
从表面来看,车手很可能两不相让,最终车毁人亡 由于纳什均衡解并不唯一,所以胆小鬼博弈仍然是值得博弈论
学者继续研究的一个问题。
奈尔
不转开 转开
麦克
不转开
转开
-10,-10 5,-5
-5, 5
0,0
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 鹰鸽博弈
在群体生物学中,假设一种动物每次遇到另一种动物都会为某中资 源展开争斗,其间采取进攻或逃跑的战略。动物每次相遇博弈都会 发生,但是不同动物发生争斗,结果有所区别。
奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0,0
1,-1
-1,1
0,0
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
本书讨论的大多数博弈都是非常数和博弈,总收 益取决于参与者所选择的战略。
在该竞猜博弈中,两个参与者的收益和为零,我 们称此类博弈为零和博弈(zero-sum game)
奥尔加与帕梅拉共同参加一项竞猜活动。竞猜的题目很简 单,她们都有信心回答出每一个问题,不过竞猜过程稍微 复杂一些,必须遵守如下规则:
(1)想要回答问题的参赛者需要按电钮。 (2)如果一方按了电钮,她就必须回答这个问题。 (3)回答正确得一分。 (4)没有按电钮的一方会被扣去一分。 (5)如果没有人按电钮,问题就会被取消,没有人得分。 (6)如果两人都按了电钮,问题也会被取消,没有人得分。
当我们用序数来表示胆小鬼和鹰鸽博弈时,两个例子的结 果将完全一致。
鸟A 鹰 鸽子
鸟B
鹰
鸽子
-25,-25 14,-9
-9, 14
5,5
奈尔
不转开 转开
麦克 不转开 转开 -10,-10 5,-5 -5, 5 0,0
B
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进攻 逃跑
A 进攻 最差,最差 第二,最好
逃跑 最好,第二 第三,第三
参赛者有两个战略:按电钮或不按电钮。
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
很容易看出该博弈中存在一个占优战略均衡,即(按电钮, 按电钮)。结果是双方都按电钮,没有人得分。
这一类博弈类似于囚徒困境,所不同的是,如果任何一方 都不按按钮,他们的境况也不会变得更好,收益仍为零。
小结
第二种博弈是存在两个纳什均衡解的2x2的非常 数和博弈。这类博弈都是协调博弈。包含很多种 形式,若以序数形式表示战略收益,则可以将其 归为一类
性别大战、胆小鬼博弈、鹰鸽博弈都是博弈论中 重要例子,对于现行研究仍然必不可少。
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最大的收益所对应的战略,即最大最小战略(maximin strategy 博弈是对称的,所以奥尔加会以相同的方式思考
奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0,0
1,-1
-1,1
0,0
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奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0
-1
1
0
帕梅拉的最小收益
0
-1
5.1 零和博弈与最大最小解 最大最小解
该博弈存在两个纳什均衡(看比赛,看比赛)和(看演出, 看演出)。
当然我们必须判断那一种纳什均衡更可能发生。从双方共 同角度来看,每一均衡都不优于另一个,优于缺少足够的 信息,无法找到谢林点,正是由于不能给出博弈确切答案, 性别大战在博弈论研究中总是占有一席之地。
马琳
看比赛 看演出
吉尔摩 看比赛
零和博弈是一个常数和博弈(constant-sum game)的特列。第三章政治博弈中,候选人得票 之和为100%,因此政治博弈也属于常数和博弈。
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
换一种方法分析常数和博弈,特别是零和博弈中的均衡。 对帕梅拉来说,一种可以选择的战略是其最小收益中数值
由于电话公司罢工,马琳因特网服务到期,并且吉尔摩手 机又没电了,使得他们无法联系对方。
在这种情况下,见到对方的唯一办法是赶到同一个地点, 对于每一个人,都有两种战略可以选择:看棒球或看演出。
马琳
看比赛 看演出
吉尔摩 看比赛
5,3
2,2
看演出
1, 1
3,5
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 性别大战
第三种可能是,如果都把车转向,双方即将没有收益也没有损
失。
麦克
不转开
转开
奈尔
不转开 -10,-10 5,-5
转开
-5, 5
0,0
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 胆小鬼博弈
该博弈存在两个纳什均衡,即一车转开另一车直行。与前面例 子一样,我们没用足够信息确定谢林点,无法判断那一种均衡 更有可能发生。
鸽子
-9, 14
5,5
5.2 存在两个纳什均衡的博弈 鹰鸽博弈
鹰鸽博弈是一个有两个纳什均衡的博弈,没有足够的信息确 定谢林点。
除了受益矩阵中数值不同以外,胆小鬼博弈与鹰鸽博弈非常 类似,从某种角度来讲,两者属于同一类型的博弈。
不过鹰和鸽子不具有思维能力,将鹰的攻击性行为成为一种 种战略选择,其实并没什么意义。鹰鸽博弈源自群体生物学, 并不属于真正的双人博弈,而是一种群体博弈
博弈论
张冠湘 2014 3
华南理工大学经贸学院物流工程系
Email:gxzhang@
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第五章 博弈论中的经典例子
5.1 零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
正面
背面
贝瑞 (奇方)
正面 背面
-1,1 1,-1
1,-1 -1,1
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5.1 零和博弈与最大最小解 开车博弈- 纳什均衡与最大最小解不一致
以第四章习题中开车博弈为例
开车博弈存在两个纳什均衡,战略组合是一车等待,而另 一车前行。
但由最大最小法则得该博弈的最大最小解是(等待,等待)
冰水公司
售价1美元
售价2美元
温泉公司
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售价1美元 售价2美元
0,0 -5000,5000
5000,-5000 0,0
5.1 零和博弈与最大最小解 猜硬币比赛博弈-没有最大最小解的零和博弈
两种战略的最小收益是一样的,最大最小法则不 能告诉我们怎么选择
不存在纳什均衡
罗杰(偶方)
5,3Biblioteka 2,2看演出1, 1
3,5
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5.2 存在两个纳什均衡的博弈 胆小鬼博弈
该博弈的参与者包括麦克与奈尔两名赛车手,规则要求两人驾
车同时驶向对方,这样会有撞车的危险。
如果一人在最后时刻把车转向,那么这人将输掉比赛,被视为
胆小鬼
若都没有转向,两车和可能相撞,车手非死即伤,损失更大
如果两只富有攻击性,它们会一直争斗下去,直到两败俱伤。即使 一方占有资源,双方还是会各有损失。
如果两只鸽子相遇时,在佯装进攻后,双方都选择逃跑,跑得较慢 的鸽子将占有资源。
当一只鹰和一只鸽子相遇时,鸽子会逃跑,鹰则以很小的成本或零 成本占有资源。
鸟B
鹰
鸽子
鸟A
鹰
-25,-25
14,-9
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是纳什均衡,从收益的角度来说却是一种较劣选择。它是 一种风险占优纳什均衡
吉姆
推
不推
卡尔
推
5,5
-10,0
不推
0,-10
1,1
华南理工大学经济与贸易学院
5.1 零和博弈与最大最小解
前面学习的尼姆游戏、西班牙叛乱等属于零和博 弈;囚徒困境、广告博弈、选址博弈、电台节目 选择等均为非常数和博弈。
零和博弈对问题进行了简化,但可能会偏离现实 世界中人类的真实活动,它与日常工作中遇到的 复杂情况存在一定差距,我们不要把问题过于简 单化
5.3 以序数表示收益
需要指出,任何具有相同序数的收益的两个博弈具有相同的均衡解, 更进一步,可以认为它们是相同的博弈。
再次回到囚徒困境,以序数形式表示收益 回顾前面章节提到的社会两难问题,包括广告博弈,垃圾处理博弈
以及囚徒困境,会发现这些博弈以序数形式表示的收益的矩阵都是 相同的,从这种意义上说,所有社会两难问题都是一致的。
零和博弈是其他博弈的基础,为复杂博弈的深入 研究提供了基石。
华南理工大学经济与贸易学院
第五章 博弈论中的经典例子
5.1零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
华南理工大学经济与贸易学院
5.2 存在两个纳什均衡的博弈 性别大战
马琳与吉尔摩经常聚在一起。吉尔摩喜欢看棒球比赛,马 琳喜欢看演出。
双人零和博弈是最简单最普通的一种博弈,而在 这类博弈中,最大最小解往往与纳什均衡是一致 的。
在一些零和博弈中,可能不存在满足最大最小法 则的战略。
这种简单对应关系并不适应于非常数和博弈
华南理工大学经济与贸易学院
5.1 零和博弈与最大最小解 矿泉水博弈-最大最小解与纳什均衡一致
。 价格竞争简化模型零和博弈的例子
别克
华南理工大学经济与贸易学院
等待 前行
奔驰
等待
前行
0,0
1,5
5, 1
-100,-100
5.1 零和博弈与最大最小解 开车博弈- 纳什均衡与最大最小解不一致
本例中不确定性是求纳什均衡的最大障碍,先到十字路口 的车先行,可以产生一个谢林点。但是若双方得不到任何 提示性息,则无法形成谢林点
在许多不确定性的情况下,最大最小解是理性选择
埃尔
认罪
不认罪
鲍勃
认罪 不认罪
埃尔 认罪 第二,第二 第一,最差
不认罪 最差,第一 第三,第三
鲍 认罪 勃
不认罪
10年,10年 20年,0年
0年,20年 1年,1年
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小结
本章着重介绍博弈论中两种不同的经典例子 第一种是零和博弈。零和博弈是一种非常普遍的
一种常数和博弈,其总收益为零。在任何一个常 数和博弈中,都可以用最大最小法则或最小最大 法则找到纳什均衡(如果纳什均衡存在的话)。 不过,当我们将最大最小法则应用于非常数博弈 中时,可能出现针对不确定性的谨慎行为,这种 行为通常是理性,有时,也可能是非理性的。
(1)售价为2美元/每瓶,可卖出5000瓶矿泉水,收入为10000美元。 (2)售价为1美元/每瓶,可卖出10000瓶矿泉水,收入为10000美元. (3)如果两家公司选择向同价位,将平分市场份额。 (4)如果一家公司选择高价位,则低价公司可售出所有矿泉水,而高价公
司一瓶也卖不出去。 (5)收益等同于收入减去5000美元固定成本。
别克
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等待 前行
奔驰
等待
前行
0,0
1,5
5, 1
-100,-100
5.1 零和博弈与最大最小解 推与不推博弈- 最大最小解与收益最优的矛盾
第四章提到的该博弈同样存在两个均衡 收益最大这个特征似乎能使(推,推)均衡成为博弈的谢
林点,从而解决不确定性问题 最大最小法则得最大最小解是(不推,不推),他虽然也
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鸟A
鹰 鸽子
鸟B
鹰
鸽子
-25,-25
14,-9
-9, 14
5,5
第五章 博弈论中的经典例子
5.1 零和博弈与最大最小解 5.2 存在两个纳什均衡的博弈的例子 5.3 以序数表示收益
华南理工大学经济与贸易学院
5.3 以序数表示收益
序数表达的是次序而不是具体的数,因此用最好、第二、 第三和最差的收益来代替具体的数字。
从表面来看,车手很可能两不相让,最终车毁人亡 由于纳什均衡解并不唯一,所以胆小鬼博弈仍然是值得博弈论
学者继续研究的一个问题。
奈尔
不转开 转开
麦克
不转开
转开
-10,-10 5,-5
-5, 5
0,0
华南理工大学经济与贸易学院
5.2 存在两个纳什均衡的博弈 鹰鸽博弈
在群体生物学中,假设一种动物每次遇到另一种动物都会为某中资 源展开争斗,其间采取进攻或逃跑的战略。动物每次相遇博弈都会 发生,但是不同动物发生争斗,结果有所区别。
奥尔加
按电钮 不按电钮
帕梅拉
按电钮
不按电钮
0,0
1,-1
-1,1
0,0
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
本书讨论的大多数博弈都是非常数和博弈,总收 益取决于参与者所选择的战略。
在该竞猜博弈中,两个参与者的收益和为零,我 们称此类博弈为零和博弈(zero-sum game)
奥尔加与帕梅拉共同参加一项竞猜活动。竞猜的题目很简 单,她们都有信心回答出每一个问题,不过竞猜过程稍微 复杂一些,必须遵守如下规则:
(1)想要回答问题的参赛者需要按电钮。 (2)如果一方按了电钮,她就必须回答这个问题。 (3)回答正确得一分。 (4)没有按电钮的一方会被扣去一分。 (5)如果没有人按电钮,问题就会被取消,没有人得分。 (6)如果两人都按了电钮,问题也会被取消,没有人得分。
当我们用序数来表示胆小鬼和鹰鸽博弈时,两个例子的结 果将完全一致。
鸟A 鹰 鸽子
鸟B
鹰
鸽子
-25,-25 14,-9
-9, 14
5,5
奈尔
不转开 转开
麦克 不转开 转开 -10,-10 5,-5 -5, 5 0,0
B
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进攻 逃跑
A 进攻 最差,最差 第二,最好
逃跑 最好,第二 第三,第三
参赛者有两个战略:按电钮或不按电钮。
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5.1 零和博弈与最大最小解 竞猜博弈
很容易看出该博弈中存在一个占优战略均衡,即(按电钮, 按电钮)。结果是双方都按电钮,没有人得分。
这一类博弈类似于囚徒困境,所不同的是,如果任何一方 都不按按钮,他们的境况也不会变得更好,收益仍为零。