外微分

dxdydz dxdy dz dydx dz dydxdz,
dxdydx dx(dydx) dx(dxdy) (dxdx)dy 0
等等。 设 P, Q, R 是定义在 R 中的函数，下列表达式
3
Pdx Qdy Rdz,
fPdxdydz gQd dzdx hRdz dxdy ( fP gQ hR)dxdydz
注：从以上两例还可以看出， dx, dy, dz 在做外微分运算时相当于向 量当中 i , j , k 的作用。 2. 外微分运算 现在我们引进外微分运算，仍用符号 d 表示。
D
w dw
D
Pdx Qdy Rdz (
L S
R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
若令 w Pdx Qdy Rdz ， 则由公式(1)可知 Stokes 公式可以改写为 这里 w 是一个 1 次形式。 于是，我们看到三个公式统一到了一起。 事实上，上述公式可推广到 R 中，得到
微分形式和外微分运算介绍 我们学习了 Green 公式、 Gauss公式和 Stokes 公式，它们都是把区 域上的积分同它边界上的积分相联系。前面曾提到过，这三个公式都 可看成是 Newton Leibniz 公式的推广，并稍微提及了外微分运算。 下面就对外微分运算做一些介绍。 先在 R 3 中定义一些概念，这些概念是可以在 R n 中推广的。 1. 微分间的外积运算和微分形式 在微分 dx, dy, dz 之间引进外积运算（相当于向量之间的叉乘） ，用符 号 表示，运算规则是：
Pdydz Qdzdx Rdxdy,
Rdxdydz
分别称为 1 次、2 次和 3 次微分形式或简称 1 次、2 次和 3 次形式。
R 3 中的函数 f 称为 0 次微分形式，也简称 0 次形式。
下面通过两个例子来熟悉微分形式之间的运算。 例1. 设有微分形式 计算 w . 解：按定义展开 w 后，本应该有 9 项，但显然有 3 项等于 0， 所以
设 f 是 0 次形式，定义 d 对 f 的运算结果为
df
f f f dx dy dz , x y z

这是一个 1 次微分形式。 设 w 是 1 次微分形式 w Pdx Qdy Rdz ，我们规定
dw dPdx dQdy dRdz
即
dw (
例 2. 设有微分形式
w fdx gdy hdz, Pdydz Qdzdx Rdxdy,
计算 w . 解：展开之后，应有 9 项，不过其中有六项为 0，因此
w = ( fdx gdy hdz ) ( Pdydz Qdzdx Rdxdy)
n
D
w dw
D

w dw

这便是一般形式的 Stokes 公式。 最后，顺便指出一点，外微分运算在微分几何中有着很重要的作用， 大家可以再继续研究。
P P R dx dy dz )dx x y z Q Q Q +( dx dy dz )dy x y z R R R +( dx dy dz )dz x y z
化简后得到
dw (
R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy (1) y z z x x y
dxdx 0, dydy 0, dzdz 0
dxdy dydx, dydz dzdy, dzdx dxdz
可以看出， dx, dy, dz 做外积运算时就相当于向量，我们知道三个向 量做外积时满足结合律， 因此我们规定三个微分作外积时也满足结合 律，比如:
w fdx gdy hdz, Pdx Qdy Rdz,
w
fQdxdy fRdxdz gPdydx gRdydz hPdzdx hQdzdy ( gR hQ)dydz (hP fR )dz dx ( fQ gP )dxdy dydz dzdx dxdy det f g h P Q R
这是一个 2 次形式。 设 w 是 2 次形式 w Pdydz Qdzdx Rdxdy ，我们规定
dw dPdydz dQdzdx dRdxdy
化简后得到
dw (
P Q R )dxdydz x y z
(2)
这是一个 3 次形式。 3. 应用外微分运算统一积分公式 先看 Green 公式，即
Pdx Qdy (
l D
Q P )dxdy x y
若令 w Pdx Qdy ，则它的外微分为
dw dPdx dQdy
P P Q Q dx dy)dx ( dx dy)dy x y x y Q P =( )dxdy x y
=( 于是 Green 公式可以写为 再看 Gauss 公式，即
D
w dw
D
Pdydz Qdzdx Rdxdy (
S V
P Q R )dxdydz x y z
若令 w Pdydz Qdzdx Rdxdy ， 则由公式(2)知 Gauss 公式可以改写为 这里 w 是一个 2 次形式。 最后看 Stokes 公式，即