双生素数个数的近似函数Sn.doc

双生素数个数的近似函数S(n)~

∏--a p p p n n 2|2

1

)(ln )(ππ 李联忠

（营山中学 四川营山 637700） 摘 要：引理1： ∏≤∞

→⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-N p k N k p N

11ln lim =2 引理2：(等差数列的素数定理) (p i ,a i )=1时，末项不大于N 的等差数列

a i +np i 中，当N →∞时，其素数个数π(p i )～

N

p N

i ln )(ϕ。()(i p ϕ是欧拉函数。

)(i p ϕ=p i -1。

引理3: 当N →∞时,用N ∏-

)1

1(P

来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（

121≤≤λ）

；而用N

N

N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1. 从而证明 类似于素数定理的相差2a 的双生素数个数S(N)~

∏--⋅a p p p n n 2|2

1

)(ln )(ππ

关键词：数论；孪生素数个数

中国分类号：015 文献标识码： 文章编号：

引理1： ∏≤∞

→⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-N p k N k p N

11ln lim =2 证明：因为Euler （欧拉）曾经推导出了以下结果：

∑∏∞

=∞

==-

11

1

)

1

1(1

n k k

n

p

(n p

k

≤)

即有

∑∏∞

=∞

==⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-111

111n k k n

p

所以

∏≤∞

→⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-N p k k k p N

11ln lim [][]∑=∞→=n n N 1

n n 1ln lim ］［］［ 。 Euler 还证明了以下结果：

γ=-∑

=∞

→)ln 1

(lim 1

N n N

n N ， 其中

γΛ101532860655772156649.0= 称为 Euler 常数。

所以

∏≤∞

→⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-N p k k k p N

11ln lim [][]∑=∞→=n n n n N 1

1ln lim ］

［］［[][]

[][]∑=∞→+-=n n n n n n N 1ln )ln 1(ln lim ］［］［ []

[][]

∑=∞

→+-=n n n n N n n 1

ln n ln ln 1)ln 1

(

1

lim

］

［］

［］［

[]

[][]

∑=∞

→+-=n n n n n N n n 1

ln ln ln 1)ln 1

(

1

lim

］

［］

［］［

22

1

01=+

⋅=

γ 。

∴ ∏≤∞

→⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-N p k N k p N

11ln lim =2 引理2：(等差数列的素数定理) (p i ,a i )=1时，末项不大于N 的等差数列a i +np i 中，当N →∞时，其素数个数π(p i )～N

p N

i ln )(ϕ。()(i p ϕ是欧拉函数。)(i p ϕ=p i -1。

引理3: 当N →∞时,用N ∏-

)1

1(P

来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（

121≤≤λ）；而用N N N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1.

证明： 由素数定理可得

N

N

N N N ln )(lim

lim ∞

→∞

→=π

根据引理1

∏≤∞

→⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-N p k N k p N

11ln lim =2 ∴2)1

1(ln ln /)11()(/)11(lim lim lim =-=-=-∏∏∏≤∞

→≤∞

→≤∞

→N

P N N

P N N

P N P N N N P N N P N

π

即

N N P N

N N N

P N N ln )11(2

1

)(lim lim lim ∞

→≤∞

→∞

→=-

=∏

π (1) 如果引理1中的条件

n p

k

≤换成

n p

k

≤.则可得

∏≤∞→⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-N p k N k p N 11ln lim =1 这时则有 1)11(ln ln /)11()(/)11(lim lim lim =-=-=-

∏∏∏≤∞→≤∞→≤∞

→N

P N N P N N

P N P N N N P N N P N π 即

N

N

P N N N N

P N N ln )1

1()(lim

lim lim ∞

→≤∞

→∞

→=-=∏π (2) 而（1），（2）即是说，当N →∞时,用N

∏-

)1

1(P

来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（

121≤≤λ）

；而用N

N

N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1. 引理3得证。

定理：相差2a 的双生素数个数S(n)~

∏--⋅a p p p n n 2|2

1

)(ln )(ππ

证明： 数组(1,1+2a), (2,2+2a), …, (m,m+2a),…, (n,n+2a) (1≤m ≤n) 若p|m 或p| (m+2a) 则数组（m,m+2a ）不是孪生素数组 （p ≤a n 2+ )

∵p| (m+2a) 即 m ≡p-2a(p)(modp) (2a(p)表示2a 除以p 的余数) ∴去掉模p 余0和（p-2a(p)）的两个同余类

而素数个数是去掉模p 余0的一个同余类，双生素数去两个同余类可以看着先去模p 余0的一个同余类，得不大于n 的连续素数共π(n)个，再去模p 余（p-2a(p)）的一个同余类，由引理2有

在π(N)个素数中再去掉

p i

（p i

≥3）的一个非0 同余类后，余下素数个数约为