基于Lyapunov方法的Lipschitz非线性系统状态观测器设计
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收稿日期: 2009-06-16 作者简介: 刘 军( 1960 ) , 男, 博士, 教授。
计引起了国内外众多学者的兴趣[ 2-16] , 相应理论 成果极大地促进了此类系统观测器设计的发展。 观测器 的设 计主要 采用 2 种 方法: 一类 是采用 L yapuno v 稳 定性 理论。 在对代 数 Riccat i 方程 ( ARE) 正定解的处理上此类方法又分为 2 种: 一 批学者致力于 A RE 正定解的存在性[ 3-6] ; 其他学 者则采用了 L MI 的相应成果较好地处理了增益 矩阵的选择问题[ 7-10] ; 观测器设计的另一类方法 是状态方程的求解[ 11-13] , 这类方法直观地给出了 观测器渐近稳定的充分条件。大多数文献对此类
系统状态观测器设计问题, 分 2 种情形给出了观测器渐近收敛的充分条件。结果表明, 稳 定观测器的存在直接与误差动态的稳定性矩阵测度及增益矩阵的范数有关。当输出相对
于状态为线性时, 借助于 LM I 技术进行了观测器增益矩阵的选取。仿真实例验证了结论
的有效性。
关键词: L yapunov; L ipschit z 非线性; 状态观测器; 矩阵测度; L M I
状态反馈在性能上的优越性, 使得无论在线 性还是非线性系统的控制中, 状态反馈都起着不 可替代的作用。但是, 或者由于状态不易直接测 量, 或者由于量测设备在经济和使用上的限制, 使 得在 实 际过 程中 不 可能 获 得全 部 状态 的 测量 值[ 1] 。因此就必须通过状态观测器来重构系统的 状态信息。在过去的三十年里, 非线性系统的状 态观测器设计一直是 控制理论中的 一个热点问 题。自 1973 年 T hau[ 2] 首次提出 L ipschitz 非线 性系统的观测器设计问题以来, 此类观测器的设
1 : R+ Rp Rn Rn , 2 : R+ Rp Rn Rq 为
非线性映射, 且 1 ( t, u, x) , 1 ( t , u, x) 满足如下
的 L ipschit z 条件:
1 ( t, u, x) - 1 ( t, u, ^x)
1 x- ^x ,
( 1- c)
2 ( t, u, x) - 2 ( t, u, ^x)
x= Ax+ g1 ( t , u, y) + 1 ( t , u, x) ,
( 1- a)
y= Cx+ g2 ( t, u) + 2 ( t, u, x) ,
( 1- b)
其中 x Rn 为系统状态, A Rn n , C Rq n 为实
常数矩阵。u Rp 为系统输入, y Rq 代表系统
输出。g1 : R+ Rp Rq Rn , g2 : R+ Rp Rq,
( 13)
其中 x= x- ^x。
定理 2 对系统( 1) , 若( A, C) 可观, 对于 L ip-
schit z 常数 1 , 2> 0, 如果选择增益矩阵 L 满足:
( A- LC) + 1 + L 2 < 0,
( 14)
则由式( 12) 给出的观测器就可以确 保误差动态
( 13) 是渐近稳定的。 证明 证明过程类似于输出相对于状态为线
x= ( A- LC) x+ [ 1( t , u, x) - 1( t, u, ^x) ] ,
( 5)
其中 x= x- x。
定理 1 对系统( 1) , 若( A, C) 可观, 对于 L ip-
schit z 常数 1 > 0, 如果选择增益矩阵 L 满足:
( A- LC) + 1 < 0,
( 6)
( 11)
其中 max ( ) 表示相应矩阵的最大特征值。 将式( 11) 带入到式( 10) , 显然有 V < 0, 所以
误差动态( 5) 是渐近稳定的, 定理得证。
2. 2 输出相对于状态为非线性时的情形
建立状态观测器如下:
^x= A^x+ g1( t, u, y ) + 1( t, u, ^x) +
则由式( 4) 给出的观测器就可以确保误差动态( 5)
是渐近稳定的。 证明 令 ~ 1 = 1 ( t, u, x) -
候选 L yapunov 函数 V= xTx= x 2,
1 ( t, u, ^x) 。取 ( 7)
显然 V > 0, 对所有的 x 0 都成立。沿着轨
线 x 对 V 求导有
V=
xT [ ( A-
性时 的 情 形, 仅 在 式 ( 8 ) 的 基 础 上 增 加 了
-
2~
T 2
LT x项,
处理方式同
2~
T 1
x
。
注 1 定理 1 给出的结果同文献[ 11] 给出的
结果一致。但显然本 研究的证明过 程较前文简
单。
注 2 从定理 1 和 2 中可以 看出, 输出为线
性时的结论只是输出为非线性时结论的特例, 令
中图分类号: T P 273
文献标志码: A
Observers Design for Lipschitz Nonlinear Systems Based oHale Waihona Puke Baidu Lyapunov Method
LIU Jun, LU Jian-bo, HUANG Meng-zhi
( Coll ege of A ut omat ion and Elect ronic Engineeri ng, Q ingdao U niversit y of S cien ce and Technol ogy, Q ingdao 266042, Chin a)
第2期
刘 军等: 基于 L yapuno v 方法的 Lipschitz 非线性系统状态观测器设计
207
系统观测器的研究都集中在输出相对于状态为线 性时( 简称为线性, 下同) 的情形, 而忽略了输出相 对于状态的非线性( 简称为非线性, 下同) 。但实 际情况中状态的非线性是不可避免的[ 2-17] 。
2 = 0即可得到定理 1。 注 3 将系统( 1) 的状态方程化成规范形后,
定理 1、2 应用于规范化后的系统, 可以得到定理
的其他表达形式, 详细内容可参考文献[ 11, 19] 。
注 4 实际上从定理 1、2 的证明中也可以看 出, 条件( A, C) 完全可观可以进行适当放松, 只要
选取的增益矩阵 L 满足定理 1、2 的相应条件即
可。
注 5 从式( 7) 可以看 出, 此时选 取的 L yapuno v 函数本质上是选取 V = xT Px, 当 P= I 时的
特殊情形。这在一定程度上存在保守性。但选取
Abstract: Observ ers design f or a class o f L ipschit z no nlinear syst ems has been co mpr ehensively discussed ado pt ing L yapunov met ho d by select ing t he novel L yapunov f unct ion. Suf ficient condit ions ensuring asy mpt o tic st abilit y o f t he observers ar e present ed f or tw o cases. It is show n t hat ex ist ing of st able observers is related direct ly to st abilit y mat rix measures of error dy namics and t he nor m of g ain matr ix . When outputs in relat ion t o st at es, are linear, t he select ion of t he gain mat rix can be obt ained by L MI techno logy . F inally simulat ion r esult s verif y t he eff ect iveness. Key words: Ly apunov ; L ipschit z nonlinearit y; st at e observer; mat rix measures; LM I
再由定理条件( 6) 可得:
( A- LC) + 1 < 0
m ax
( A- LC) T + ( A- LC) 2
+
1< 0
m ax
( A-
LC) T + 2
( A-
LC) +
1I < 0
( A-
LC) T + 2
( A-
LC) +
1I< 0
( A- LC) T + ( A- LC) + 2 1 I< 0,
( 3)
只要 f ( t, u, x) , h( t , u, x) 对 x 可微, 都可以表达
成式( 1- a) , ( 1- b) 的形式。此外, 很多非线性都可
以认为是 Lipschit z 的, 至少是局部 L ipschit z 的, 确保了式( 1- c) , ( 1- d) 的成立。机械系统中通常
第 31 卷 第 2 期
青 岛 科 技 大 学 学 报( 自然科学版)
V ol. 31 N o. 2
2010 年 4 月 Jo urnal of Qing dao U niver sity o f Science and T echno lo gy ( N atural Science Edition) Apr. 2010
y= Cx+ g2( t, u) 。 对式( 1) 所描述的系统建立如下状态观测器:
^x= A^x+ g1( t, u, y ) + 1( t, u, ^x) +
L[ y - C^x - g2 ( t, u) ] ,
( 4)
其中 ^x Rn 为观测变量, L Rn q 为观测器
增益矩阵。
观测器的估计误差满足:
包含 L ipschit z 非线性项, 例如在机器人应用中经
常遇到的三角函数项以及非线性软化弹簧等[ 5] 。
甚至给定 x 的有界闭区域, 诸如 x2 一类的非线性 项都可以认为是 Lipschit z 的[ 3] 。
2 主要研究结果
2. 1 输出相对于状态为线性时的情形 此时 2 ( t , u, x) = 0, 即输 出 式 ( 1- b ) 变为
20 8
青 岛 科 技 大 学 学 报( 自然科学版)
第 31 卷
L[ y- C^x- g2 ( t, u) - 2 ( t, u, ^x) ] 。
( 12)
观测器的估计误差满足:
x= ( A- LC) x+ [ 1( t , u, x) - 1( t, u, ^x) ] -
L[ 2 ( t, u, x) - 2 ( t, u, ^x) ] ,
本研究采用新型 L yapunov 函数讨论了此类 非线性系统当输出为线性和非线性时的观测器设 计, 给出了直观的观测器渐 近稳定的充分条件。 当输出为线性时, 采用 L MI 简便有效而又直观地 解决了观测器增益矩阵的选取问题。
1 系统描述
输出为线性时的系统描述见文献[ 2] , 更为一
般的 L ipschit z 非线性系统也即本研究所讨论的 系统描述如下:
2 x- ^x ,
( 1- d) 其中 1 , 2 为 L ipschit z 常数。 式( 1) 所描述的这类非线性系统是相当普遍
的。首先: 任何具有式( 2) , ( 3) 描述形式的非线性 系统:
x= f ( t , u, x) + g1( t, u, y) ,
( 2)
y= h( t, u, x) + g2( t, u) ,
文章编号: 1672- 6987( 2010) 02- 0206- 04
基于 Lyapunov 方法的 Lipschitz 非线性系统状态观测器设计
刘 军, 卢建波, 黄盟芝
( 青岛科技大学 自动化与电子工程学院, 山东 青岛 266042)
摘 要: 选取新型 L yapunov 函数, 采用 L yapunov 方法综合讨论了一类 Lipschit z 非线性
LC) T +
( A-
LC) ] x+
2~
T 1
x
。
( 8) 由 Cauchy- Schw arz 不等式[ 18] 以及 L ipschit z
非线性性质式( 1- c) 可得:
~
2
T 1
x
2
~ 1
x
21 x 2=
2 1xT x,
( 9)
结合式( 8) 可得:
V xT [ ( A- LC) T + ( A- LC) + 2 1 I] x, ( 10)
计引起了国内外众多学者的兴趣[ 2-16] , 相应理论 成果极大地促进了此类系统观测器设计的发展。 观测器 的设 计主要 采用 2 种 方法: 一类 是采用 L yapuno v 稳 定性 理论。 在对代 数 Riccat i 方程 ( ARE) 正定解的处理上此类方法又分为 2 种: 一 批学者致力于 A RE 正定解的存在性[ 3-6] ; 其他学 者则采用了 L MI 的相应成果较好地处理了增益 矩阵的选择问题[ 7-10] ; 观测器设计的另一类方法 是状态方程的求解[ 11-13] , 这类方法直观地给出了 观测器渐近稳定的充分条件。大多数文献对此类
系统状态观测器设计问题, 分 2 种情形给出了观测器渐近收敛的充分条件。结果表明, 稳 定观测器的存在直接与误差动态的稳定性矩阵测度及增益矩阵的范数有关。当输出相对
于状态为线性时, 借助于 LM I 技术进行了观测器增益矩阵的选取。仿真实例验证了结论
的有效性。
关键词: L yapunov; L ipschit z 非线性; 状态观测器; 矩阵测度; L M I
状态反馈在性能上的优越性, 使得无论在线 性还是非线性系统的控制中, 状态反馈都起着不 可替代的作用。但是, 或者由于状态不易直接测 量, 或者由于量测设备在经济和使用上的限制, 使 得在 实 际过 程中 不 可能 获 得全 部 状态 的 测量 值[ 1] 。因此就必须通过状态观测器来重构系统的 状态信息。在过去的三十年里, 非线性系统的状 态观测器设计一直是 控制理论中的 一个热点问 题。自 1973 年 T hau[ 2] 首次提出 L ipschitz 非线 性系统的观测器设计问题以来, 此类观测器的设
1 : R+ Rp Rn Rn , 2 : R+ Rp Rn Rq 为
非线性映射, 且 1 ( t, u, x) , 1 ( t , u, x) 满足如下
的 L ipschit z 条件:
1 ( t, u, x) - 1 ( t, u, ^x)
1 x- ^x ,
( 1- c)
2 ( t, u, x) - 2 ( t, u, ^x)
x= Ax+ g1 ( t , u, y) + 1 ( t , u, x) ,
( 1- a)
y= Cx+ g2 ( t, u) + 2 ( t, u, x) ,
( 1- b)
其中 x Rn 为系统状态, A Rn n , C Rq n 为实
常数矩阵。u Rp 为系统输入, y Rq 代表系统
输出。g1 : R+ Rp Rq Rn , g2 : R+ Rp Rq,
( 13)
其中 x= x- ^x。
定理 2 对系统( 1) , 若( A, C) 可观, 对于 L ip-
schit z 常数 1 , 2> 0, 如果选择增益矩阵 L 满足:
( A- LC) + 1 + L 2 < 0,
( 14)
则由式( 12) 给出的观测器就可以确 保误差动态
( 13) 是渐近稳定的。 证明 证明过程类似于输出相对于状态为线
x= ( A- LC) x+ [ 1( t , u, x) - 1( t, u, ^x) ] ,
( 5)
其中 x= x- x。
定理 1 对系统( 1) , 若( A, C) 可观, 对于 L ip-
schit z 常数 1 > 0, 如果选择增益矩阵 L 满足:
( A- LC) + 1 < 0,
( 6)
( 11)
其中 max ( ) 表示相应矩阵的最大特征值。 将式( 11) 带入到式( 10) , 显然有 V < 0, 所以
误差动态( 5) 是渐近稳定的, 定理得证。
2. 2 输出相对于状态为非线性时的情形
建立状态观测器如下:
^x= A^x+ g1( t, u, y ) + 1( t, u, ^x) +
则由式( 4) 给出的观测器就可以确保误差动态( 5)
是渐近稳定的。 证明 令 ~ 1 = 1 ( t, u, x) -
候选 L yapunov 函数 V= xTx= x 2,
1 ( t, u, ^x) 。取 ( 7)
显然 V > 0, 对所有的 x 0 都成立。沿着轨
线 x 对 V 求导有
V=
xT [ ( A-
性时 的 情 形, 仅 在 式 ( 8 ) 的 基 础 上 增 加 了
-
2~
T 2
LT x项,
处理方式同
2~
T 1
x
。
注 1 定理 1 给出的结果同文献[ 11] 给出的
结果一致。但显然本 研究的证明过 程较前文简
单。
注 2 从定理 1 和 2 中可以 看出, 输出为线
性时的结论只是输出为非线性时结论的特例, 令
中图分类号: T P 273
文献标志码: A
Observers Design for Lipschitz Nonlinear Systems Based oHale Waihona Puke Baidu Lyapunov Method
LIU Jun, LU Jian-bo, HUANG Meng-zhi
( Coll ege of A ut omat ion and Elect ronic Engineeri ng, Q ingdao U niversit y of S cien ce and Technol ogy, Q ingdao 266042, Chin a)
第2期
刘 军等: 基于 L yapuno v 方法的 Lipschitz 非线性系统状态观测器设计
207
系统观测器的研究都集中在输出相对于状态为线 性时( 简称为线性, 下同) 的情形, 而忽略了输出相 对于状态的非线性( 简称为非线性, 下同) 。但实 际情况中状态的非线性是不可避免的[ 2-17] 。
2 = 0即可得到定理 1。 注 3 将系统( 1) 的状态方程化成规范形后,
定理 1、2 应用于规范化后的系统, 可以得到定理
的其他表达形式, 详细内容可参考文献[ 11, 19] 。
注 4 实际上从定理 1、2 的证明中也可以看 出, 条件( A, C) 完全可观可以进行适当放松, 只要
选取的增益矩阵 L 满足定理 1、2 的相应条件即
可。
注 5 从式( 7) 可以看 出, 此时选 取的 L yapuno v 函数本质上是选取 V = xT Px, 当 P= I 时的
特殊情形。这在一定程度上存在保守性。但选取
Abstract: Observ ers design f or a class o f L ipschit z no nlinear syst ems has been co mpr ehensively discussed ado pt ing L yapunov met ho d by select ing t he novel L yapunov f unct ion. Suf ficient condit ions ensuring asy mpt o tic st abilit y o f t he observers ar e present ed f or tw o cases. It is show n t hat ex ist ing of st able observers is related direct ly to st abilit y mat rix measures of error dy namics and t he nor m of g ain matr ix . When outputs in relat ion t o st at es, are linear, t he select ion of t he gain mat rix can be obt ained by L MI techno logy . F inally simulat ion r esult s verif y t he eff ect iveness. Key words: Ly apunov ; L ipschit z nonlinearit y; st at e observer; mat rix measures; LM I
再由定理条件( 6) 可得:
( A- LC) + 1 < 0
m ax
( A- LC) T + ( A- LC) 2
+
1< 0
m ax
( A-
LC) T + 2
( A-
LC) +
1I < 0
( A-
LC) T + 2
( A-
LC) +
1I< 0
( A- LC) T + ( A- LC) + 2 1 I< 0,
( 3)
只要 f ( t, u, x) , h( t , u, x) 对 x 可微, 都可以表达
成式( 1- a) , ( 1- b) 的形式。此外, 很多非线性都可
以认为是 Lipschit z 的, 至少是局部 L ipschit z 的, 确保了式( 1- c) , ( 1- d) 的成立。机械系统中通常
第 31 卷 第 2 期
青 岛 科 技 大 学 学 报( 自然科学版)
V ol. 31 N o. 2
2010 年 4 月 Jo urnal of Qing dao U niver sity o f Science and T echno lo gy ( N atural Science Edition) Apr. 2010
y= Cx+ g2( t, u) 。 对式( 1) 所描述的系统建立如下状态观测器:
^x= A^x+ g1( t, u, y ) + 1( t, u, ^x) +
L[ y - C^x - g2 ( t, u) ] ,
( 4)
其中 ^x Rn 为观测变量, L Rn q 为观测器
增益矩阵。
观测器的估计误差满足:
包含 L ipschit z 非线性项, 例如在机器人应用中经
常遇到的三角函数项以及非线性软化弹簧等[ 5] 。
甚至给定 x 的有界闭区域, 诸如 x2 一类的非线性 项都可以认为是 Lipschit z 的[ 3] 。
2 主要研究结果
2. 1 输出相对于状态为线性时的情形 此时 2 ( t , u, x) = 0, 即输 出 式 ( 1- b ) 变为
20 8
青 岛 科 技 大 学 学 报( 自然科学版)
第 31 卷
L[ y- C^x- g2 ( t, u) - 2 ( t, u, ^x) ] 。
( 12)
观测器的估计误差满足:
x= ( A- LC) x+ [ 1( t , u, x) - 1( t, u, ^x) ] -
L[ 2 ( t, u, x) - 2 ( t, u, ^x) ] ,
本研究采用新型 L yapunov 函数讨论了此类 非线性系统当输出为线性和非线性时的观测器设 计, 给出了直观的观测器渐 近稳定的充分条件。 当输出为线性时, 采用 L MI 简便有效而又直观地 解决了观测器增益矩阵的选取问题。
1 系统描述
输出为线性时的系统描述见文献[ 2] , 更为一
般的 L ipschit z 非线性系统也即本研究所讨论的 系统描述如下:
2 x- ^x ,
( 1- d) 其中 1 , 2 为 L ipschit z 常数。 式( 1) 所描述的这类非线性系统是相当普遍
的。首先: 任何具有式( 2) , ( 3) 描述形式的非线性 系统:
x= f ( t , u, x) + g1( t, u, y) ,
( 2)
y= h( t, u, x) + g2( t, u) ,
文章编号: 1672- 6987( 2010) 02- 0206- 04
基于 Lyapunov 方法的 Lipschitz 非线性系统状态观测器设计
刘 军, 卢建波, 黄盟芝
( 青岛科技大学 自动化与电子工程学院, 山东 青岛 266042)
摘 要: 选取新型 L yapunov 函数, 采用 L yapunov 方法综合讨论了一类 Lipschit z 非线性
LC) T +
( A-
LC) ] x+
2~
T 1
x
。
( 8) 由 Cauchy- Schw arz 不等式[ 18] 以及 L ipschit z
非线性性质式( 1- c) 可得:
~
2
T 1
x
2
~ 1
x
21 x 2=
2 1xT x,
( 9)
结合式( 8) 可得:
V xT [ ( A- LC) T + ( A- LC) + 2 1 I] x, ( 10)