动态电路的状态方程

(4) 输出方程
联系输出与状态变量和输入之间的关系式 线性时不变电路
y = Cx + Du
y为输出向量，x为状态向量, u为输入向量 C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵
规范型状态方程的特征: (1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一 阶导数; (2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数 关系,但不出现对时间的导数项。
由 i3 − i4 = us 和
i3 = −0.5i1 − 0.5i2 + 0.5u s
故u1和u3两个电容电压只能选其中之一为状态变量； 对L2、L4和is构成全电感割集 ，应用KCL得 ，应用KCL得 故i2和i4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。 电路的有向图如图示 ，故选u1和i2为状态变量。 ，故选u
－
C3
＋
u3
R3
is
6
－
7
u3 = u s − u1
i4 = i2 + is
2. 选树支上电容电压和连支上电感电流为预选状态变量 预选状态变量 3. 对电容树支的基本割集列写KCL方程； 方程； 方程。 对电感连支的基本回路列写KVL方程。 4. 借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态
变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。 变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。
－
1H
us
＋
1Ω
u4
－
含电感的基本回路电压方程分别为
＋
1H
i1
1F
i2
＋
uC
1Ω
含电容的基本割集电流方程为
－
i3
duC = i1 + i2 dt
－
1H 1Ω
di1 = −uC + i3 dt di2 = −uC + i3 − u s dt
us
i4
对基本割集列写电流方程 i3 + i4 = −i1 − i2
•
半状态描述 (semi-state description) (semi描述 系统
& Ex = Ax + Cu
E为奇异矩阵
广义系统（ system） 广义系统（Descriptor system）
Descriptor Form
独立完备状态变量 uC和iL选作电路的状态变量 两个术语
全电容回路 仅由电容和电压源组成的回路 全电容回路又称为 全电容回路又称为纯电容回路 又称为纯电容回路
状态方程的直观列写法
列写步骤： 列写步骤： (1) 选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为 预选状态变量 状态变量； 预选状态变量； (2) 对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL 对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL 和电容的VAR列写节点方程； VAR列写节点方程 和电容的VAR列写节点方程； 对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL 对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL 和电感的VAR列写回路方程； VAR列写回路方程 和电感的VAR列写回路方程； (3) 将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态 变量和输入表示，并从方程中消去， 变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成 标准形。 标准形。 例题
状态方程的矩阵形式为
duC dt 1 1 uC 0 di 0 1 = − 1 − 0.5 − 0.5 i1 + 0.5 u s dt di2 − 1 − 0.5 − 0.5 i 2 − 0.5 dt
di1 L1 = −uC + us dt
对含有L 的回路C 对含有L2的回路C-L2-R-u S列写回路方程
C
a
i2
L2
b
＋
＋
us
uC
u1 = R(i2 + is )
－
di2 L2 = −uC − Ri2 − Ris + us dt
－ －
L1 R
di di2 L2 = −uC − u1 + us dt
－
C3
＋
u3
R3
6
7
－
消去u3和i4，整理成标准形式的状态方程
−1 1 du1 dt R5 (C1 + C3 ) C1 + C3 u1 = −1 − R 4 i2 di2 dt L2 + L4 L2 + L4 1 C3 0 R (C + C ) us C1 + C3 5 1 3 + + − R4 is 0 0 L2 + L4
1 0 M 0 − an −1
0 1 M 0 − an − 2
0 x1 0 x 0 L 0 2 M M + M u L 1 xn −1 0 L − a1 xn bm L
状态方程 主要内容
状态变量分析的基本概念 状态方程和输出方程的建立
1 状态变量分析的基本概念
（1）状态 ）
•
电路的状态： 电路的状态：一组最少数据 1、对于某一任意的时刻t0，可以根据t0时刻的 状态及t≥t0时的输入波形来唯一地确定t＞t0的任 一时刻的状态；
2、根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输 入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量 的值。 :: 电路的状态实质上是指电路的储能状况。
（2）状态变量
状态变量： 状态变量：描述状态的变量 动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为 的最少一组变量。记作 x1 , x2 , L ,xn 独立完备变量
1 2 WC (t ) = CuC (t ) ⇒ uC 2 1 2 WL (t ) = LiL (t ) ⇒ iL 2
1 2 = q ⇒ q 2C
R4 C1
L4
i4
4
i2
L2
1 2 3 5
＋
＋
us
u1
－
对基本回路列写KVL方程，得
di2 di4 L2 = − L4 − R4i4 − u1 dt dt
－
C3
＋
u3
R3
is
6
－
7
R4 C1
L4
i4
L2
4 1
is
i2
＋
2 3 5
＋
us
u1
－
对基本割集列写KCL方程，得
du3 u3 du1 C1 = C3 + + i2 dt dt R5
例1 列写如图所示电路的状态方程。
C
a
i2
L2
b is
＋
＋
us
uC
－
解 选电容电压uC和电感电流i1、i2为状态变量 选电容电压u 和电感电流i 对接有电容C的节点a 对接有电容C的节点a列写节点方程
－
L1 R
i1
duC C = i1 + i2 dt
对含有L 的回路C 对含有L1的回路C-L1-u S列写回路方程
矩阵形式
duC dt 0 di1 = − 1 dt L1 di2 − 1 dt L 2 1 C 0 0 1 C u 0 C 1 0 i1 + i L1 2 1 R − L2 L2 0 u s 0 is R − L2
1 2 = Ψ ⇒ Ψ 2L
初始状态: 初始状态 电路在初始时刻t=t0的状态
状态方程
（3）状态方程 ）
线性时不变电路
& x = Ax + Bu
A为系数矩阵，B为控制矩阵 规范化： & & x = Ax + Bu + B1u 变换： x = z + B1u
⇒
& z = Az + ( AB1 + B ) u
duC 2 = iL − i dt
i = uC
duC 2 = −uC + iL dt
1Ω 1H
iL
＋
2F
uC
4
1Ω
2 1 3
＋
us
－
－
5
对基本回路列写KVL方程
diL = −uC − iL + us dt
写成标准形式
duC dt −0.5 0.5 uC 0 = i + 1 us diL −1 −1 L dt
例题
例2 列写如图所示电路的状态方程。
1Ω 1H
iL
＋
2F
uC
i
4
1Ω
2 1 3
＋
us
－
－
5
解 每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实 每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图( 为状态变量。 线为树支) 线为树支)。 选iL和 uC为状态变量。 对基本割集列写KCL方程 对基本割集列写KCL方程
＋
u1
is
i1
－
duC 1 1 = i1 + i2 dt C C
di1 1 1 = − uC + us dt L1 L1
di2 1 R R 1 = − uC − i2 − is + us dt L2 L2 L2 L2
duC C = i1 + i2 dt
di1 L1 = −uC + us dt di2 L2 = −uC − Ri2 − Ris + us dt
dus dt − L4 dis L2 + L4 dt 0
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例4 列出图示电路的状态方程和输出方程。 设输出为电阻电压u3和u4。
＋
1H
i1
1F
i2
＋
uC
＋
1Ω
u3
－
－
解 电路的有向图如图示。 选取u 选取u C、i1和i2为状态变量
Jump
从输入－输出方程到状态方程
y ( n ) + a1 y ( n−1) + L + an −1 y′ + an y = bmu
y (t )、y′(t )、 、y ( n −1) (t ) L 取
为系统的n 个状态变量,且设 为系统的n 个状态变量,
x1 = y
x2 = y′ M ( n −1) xn = y
+ us −
+ u3 −
C3
u1 − u2 − u3 + u4 = 0
Hale Waihona Puke Baidu
u1 − u2 − u3 = −us
全电容回路中一个电容电压不独立
独立电感电流
i1
N1
i1
L1
i2
N2
N1
i2
is
L2
N2
i3
i1 + i2 + i3 = 0
i1 + i2 = is
全电感割集中一个电感电流不独立
2 状态方程的建立 状态方程的建立方法 直观列写法 直接编写法 系统列写法 网络拓扑法 由输入－输出方程 编写 间接编写法 由转移函数编写 由信号流图(或系 统框图)编写
一、状态方程的直观列写法（续）
借助拓扑图的列写步骤： 借助拓扑图的列写步骤： 1. 选择树
(1) 包含所有的独立电压源；不包含独立电流源。 包含所有的独立电压源；不包含独立电流源。 (2) 包含尽可能多的电容和压控型高阶元件； 包含尽可能多的电容和压控型高阶元件； (3) 包含尽可能少的电感和流控型高阶元件； 包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；
系统的输出方程：
x1 = y
x1 x 2 y = [1 0 L 0] M xn
y = Cx
C = [1 0 L 0]
THE END
例3 列写图示电路的状态方程。
R4 C1 L4
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4 1 2 3 5
i4
L2
i2
＋
＋
us
u1
－
解 对C1、C3和us组成全电容回路 ，应用KVL得 应用KVL得
对基本回路列写电压方程
i3 − i4 = us
i3 = −0.5i1 − 0.5i2 + 0.5u s
代入基本回路电压方程，得
di1 = −uC − 0.5i1 − 0.5i2 + 0.5u s dt di2 = −uC − 0.5i1 − 0.5i2 − 0.5u s dt
& x1 = x2 & x2 = x3
M & xn −1 = xn & xn = −an x1 − an −1 x2 − L − a1 xn + bmu
矩阵形式
状态方程的矩阵形式为
& x1 0 x 0 & 2 M = M & xn −1 0 & xn − a n
全电容回路示例
C2
C2
C1
C3
C1
+ us −
C3
C4
全电感割集 仅由电感和电流源组成的割集 全电感割集又称为纯电感割集 全电感割集又称为纯电感割集 全电感回路示例
L1
N1
N2
N1
L2
N2
is
独立电容电压
C2
C2
+ u3 −
C1
+ u1 −
+ u − 2
C3
C1
+ u4 −
C4
+ u1 −
+ u − 2