平行四边形等特殊四边形分类讨论

特殊四边形分类讨论

1、如图，抛物线c bx ax y ++=2与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点）

，（、04)0,1(B A ，OBC OCA ∠=∠．在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标；

2．如图，已知A （1，0）、C （0，1）、B （m ，0）且m>1，在平面内求一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形。

例题1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）

. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；

(2) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标.

y x 0

C B A

例题2 已知抛物线：y 1＝－

2

1x

2

＋2x ． （1）求抛物线y 1的顶点坐标；

（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；

（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．

1、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式 表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点

若存在，请求出点Q

2、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。 （1） 当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；

（2） 在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。若

存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

3、如图，已知抛物线y ＝ax 2

－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．

（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．

①求抛物线的解析式；

②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的

四边形为平行四边形，求点F 的坐标．

P

y x B A O 2

1

21-1-1

4、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．

（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式；

（3）若点E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以

点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．

5、如图，在平面直角坐标系中，直线b kx y +=分别与x 轴负半轴交于点A ，

与y 轴的正半轴交于点B ，⊙P 经过点A 、点B （圆心P 在x 轴负半轴上），已知AB=10，

4

25=AP .（3）在⊙P 上是否存在点Q ，使以A 、P 、B 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点

Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－

2

1x

2

＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；

（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ； （4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？

若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（08青浦）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x

y 2

-

=交于点A ，且点A 的横坐标为2-．将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．

8、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 的坐标)0,4(，C 的坐标)20(-，

，直线x y 3

2

-

=与边BC 相交于点D ， (2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。

9、如图，已知二次函数2

y ax bx c =++的图像经过A （－2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点，联结BC 、AC ，该二次函数图像的对称轴与x 轴相交于点D ．

（1）求这个二次函数的解析式、点D 的坐标及直线BC 的函数解析式．

（2）已知点P 是该二次函数图像上一动点，请探求以点P 、C 、D 、B 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，请直接写出．．．．所有符合条件的点P 的个数及其坐标；若不能，请说明理由．

第24题图

x 3

2

A O B

y

x

C