第3章 模糊理论

注意： A×B≠ B×A
例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、 中、差，则A={甲,乙,丙}，B={优,良,中,差} A×B：12种序偶的集合。 一次考试：R={(甲,优)，(乙,中)，(丙,差)}
A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来， 关系之间地运算可转换为矩阵间运算。
矩阵： 对应
20
30
10
40
50
速度/(km h 1 )
30
隶属度函数确立的方法：
1、模糊统计法 2、例证法 3、专家经验法 4、二元对比排序法
1、模糊统计法 基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否 属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同 的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。 模糊集A
例：父子、师生、同事 模糊关系：父子相像。
A、B两集合的直积：
A B (a , b) a A , b B 序偶： (a , b)
例：设A={0,1}，B={a,b,c} 则A×B=
{(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)}
B×A=
{(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)}
解：(1)列举法 U={1,2,3,4,5}
(2)定义法 U={u|u为自然数且1u5} (3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1}
经典集合论中任意一个元素与任意一个集 合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两 种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是 有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。
(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的 方法。
(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼 的明晰性来表示集合。
1 TU (u) 0
u U u U
例：设集合U由1到5的五个自然数组成，用上 述方法写出该集合的表达式。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地 表示“属于”或“不属于”的分类；而模 糊集合则用“隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程度，隶 属度是0到1之间连续变化的值。 模糊集合
特征函数 隶属度函数（0～1连续变化 值）
例：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)： “舒适”：15C ~25C “热”：25C以上 “冷”：15C 以下 经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于 舒适。与人的感觉一致吗？
确定隶属函数应遵守的一些基本原则：
1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合
从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是 必须是单调递减的,而不允许有波浪形。

凸模糊集合 非凸模糊集合
0
x
例:适中开车速度的集合是模糊集合。可表示为:
“适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
∴
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：

A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
30

40
பைடு நூலகம்
1dx
重叠率和重叠鲁棒性越 大，模糊控制模块模糊性越 强，规则越多，越复杂，精 度越高。
(x)
1.0
梯形分布
曲线分布 1.0
0
x
0
x
0
x
3.对称型凸函数（函数）：适用于输入值位于中间 时隶属度函数确定。
(x)
1.0 矩形分布
(x)
1.0
三角形分布
0
x
0
x 曲线分布
(x)
1.0
(x)
梯形分布 1.0
0
0 x
x
三、模糊关系（用于模糊推理决策）
1.模糊关系的定义 关系：客观事物间的相互联系。 普通关系：二元关系（是、否）
0 u 25 1 2 1 F (u ) u 25 25 u 100 1 5
1 0.9 0.8
Degree of membership
2、论域为连续域
F F / u
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
3 模糊理论 Fuzzy Theory
第一节 引言
一、模糊控制的发展
1965年，美国控制论专家L.A.Zadeh在《Information and control》发表的开创性论文《Fuzzy sets》，首次提出 了用“隶属函数”的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合 理论，从此奠定了模糊数学的基础。 1974年英国学者E.H.Mamdani首次把模糊集合理论成功 地应用在锅炉和蒸汽机的控制之中，在自动控制领域中首开 模糊控制在实际工程上的应用先河。 之后，模糊数学获得了长足的发展，在理论和应用上 都取得了丰硕成果。模糊数学的应用领域以涉及到自动控制、 图像和文字识别、人工智能、地址、地震、医疗诊断、气象 分析、航空、火车汽车轮船驾驶、企业管理和社会经济等许 多放面。
模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：
1.左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于 输入值比较小时的隶属度函数确定。
(x)
1.0
矩形分布
(x)
1.0
梯形分布
(x) 曲线分布 1.0
0
x
0
x
0
x
2.左小右大的偏大型上升函数（S函数）：适用 于输入值比较大时的隶属度函数确定。
(x)
1.0 矩形分布
年轻人 v0 清晰集A2*
清晰集A1*
17-30岁
20-35岁
所有人
论 域 U
隶属度函数确立的方法：
计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某 一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则 模糊统计公式：
v0 A的次数 v0对A的隶属频率＝ 试验总次数 n
隶属度函数确立的方法：
例：求中等身材的集合A及 μA (1.64)
2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。
1
很低
低
适中
高
很高
Degree of membership
0.8
0.6
标称名：语 言值 (个数适中： 3～9个（奇 数）)
0.4
0.2
语言值的 个数和规 则数成正 比。
20 30 50 70 95 100
0 5
速度（语言变量）
3、隶属度函数要符合人们的语言顺序， 避免不恰当的重叠
例： F ={(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2),
(5 ,0.1) }
(3)向量表示法
F ={(u1),(u2),…,(un)} （元素u按次序排列）
例： F ={1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 }
例:以年龄为论域，取 U 0,100 。Zadeh给出了“年 轻”的模糊集F，其隶属函数为
选10人，每人确定A*的元素，假设10个人所确定的 A*分别是： 1.60~1.69 1.63~1.70 1.65~1.75 1.56~1.70 1.62~1.73 1.65~1.72 1.64~1.73 1.60~1.69 1.69~1.75 1.69~1.77
1 A(1.56)= ＝0.1 10 6 A(1.64)= ＝0.6
1.0 舒 适 温 度 15 25 1.0
(T)
(T)
冷
0
热 40 C
冷 0 15
舒适 温度 25 40
热 C
经典集合对温度的定义
模糊集合对温度的定义
模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个在区 间[0,1]上的取值的隶属函数F来表示，即：
F ：U [0,1] （隶属函数 F：u隶属于F的程度） u F （映射）
关系
B优 良 中 差
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
甲 MR 乙 丙
A
模糊关系R：以A×B为论域的一个模糊子集 且 (a , b) 有： R : A B [0,1]
( a , b ) R ( a , b)
定义：
R (a , b) A (a ) B ( b)
0 F (u)= u 0 u>0
1 100 1 2 u
可算出F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8
可见F (u)是U到闭区间[0,1]的映射。 U 5 10 20
F (u)
[0,1] 0.2 0.5 0.8
模糊集合的表示方法：
1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）
模糊集合表示为：
0.1 0
0
20
40
u 25 2 1 “年轻”的隶属函数曲线 F 1/ u [1 ( ) ] /u 5 0u 25
25u 100
60 X Years
80
100
120
二、隶属度函数的建立
模糊集合是用隶属度函数描述的。 隶属度函数：模糊集合的特征函数 （取值范围在[0,1]区间） 由于模糊集理论的研究对象具有模糊性和经验 性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实 的。 确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观 的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制 约的。
模糊矩阵： 有限集A，B， A
A a1 a2 a3 am
a1 , a2 ,
b3
am , B b1 , b2 , bn ,
bn
R (a1 , bn ) R (a2 , bn ) R (a3 , bn )
B b1
b2
R (a1 , b1 ) R (a1 , b2 ) R (a1 , b3 ) (a , b ) (a , b ) (a , b ) R 2 2 R 2 3 R 2 1 R (a3 , b1 ) R (a3 , b2 ) R (a3 , b3 ) R (am , b1 ) R (am , b2 ) R (am , b3 )
(1)查德表示法
F=
(u )/u
i 1 F i
n
i
例：集合F表示接近于0的整数（已知论域 U={0,1,2,3,4,5}）
1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 F 0 1 2 3 4 5
(2)序偶表示法
F ={(u1,(u1)),(u2 , (u2)),…,(un , (un))}
F (u)=1：u完全属于U；
F (u)= 0：u完全不属于U；
0< F (u)<1：u部分属于U。
U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表 示：
F={(u ,F (u) )| uU}
例：设F是远大于0的实数集合（显然F 是模糊集合，而论域U表示全部实数集 合），U中任一元素u隶属模糊集合F的 隶属度F (u)可有下式来定义：

1 .0
适中
高
很高
0
32 速度/(km h 1 )
注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不 相交。
重叠指数：衡量隶属度函数与模糊 控制器性能关系的一个重要指标。 1.0
包括：重叠率、重叠鲁棒性
0.5 L‘
A1
A2
重叠范围 0 重叠率＝ 附近模糊隶属函数的范 围 重叠范围
L
U
U’ x
(0.2~0.6为宜)