湖南城市学院-随机过程讲稿(10)
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Y t X h t d lim
t
max i 0
X h t
i 0 i i
n
i
系统输出Y(t)是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近 高斯分布。
Y1 l11 X 1 l12 X 2 ... l1n X n Y2 l21 X 1 l22 X 2 ... l2 n X n ... Yn ln1 X 1 ln 2 X 2 ... lnn X n lki h tk i i
用矩阵表示为： Y LX
2 i, i 1, 2,..., i j
同理可以得到平稳高斯过程的n维特征函数：
1 C X exp jmT T r 2 1 2 ... n T
注意：从上述n维概率密度函数和特性函数表达式可以看出： 高斯过程的统计特性只取决于它的一、二阶矩（均值和方差 ），如果它满足广义平稳，即它的均值为常数，而相关函数 只与时间差有关，那么它的n为概率密度也只与时间差有关， 而与时间的起始点无关，即满足狭义平稳的条件。因此，对 于高斯过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。
1 那么X也可以用Y来表示： X L Y
那么随机变矢量Y的概率密度为： 1 fY Y J f X X J f X L Y
该式就是高斯随机过程通过线性变换后概率密度的一般表示式。
式中的J为雅克比行列式
X 1 X 1 X 1 ... Y1 Y2 Yn
[定义4.5] 若平稳高斯随机过程具有均匀的功率谱密度 ，则称此过程为平稳高斯白噪声，也叫 相关高斯态 过程。 在实际应用中经常遇到平稳高斯白噪声N(t)与有用信号 S(t)之和的随机过程X(t)，即
X t N t S t
设N(t)的均值为0，方差为 2 ，则X(t)的一维概率密度 表示式要从随机过程N(t)的角度来写，即 x S (t ) 2 1 f X x, t exp 2 2 2 从上式可以看出，X(t)任为高斯过程，但此时的一维概 率密度依赖于时间t。因此，一般平稳高斯噪声与信号 之和是非平稳的高斯过程。
高斯随机过程的性质
10
例题1：设平稳高斯随机过程X(t)的均值为0，自 sin 相关函数为 R 。求t1=0，t2=1/2，t3=1 时的三维概率密度。
X
解：略。
例题2：
值
2 cos 0
4.3.1 高斯过程通过线性系统 设随机过程X(t)通过冲激响应h(t)的线性系统，输出过程为Y(t), 那么有：
Hale Waihona Puke Baidu
T
1 1 K L Y
4.3.2 随机过程的高斯化
[定义4.7]随机过程的高斯化是指非高斯随机过程通过线性系统 后，变换为高斯过程。
就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量 之和，其分布趋于高斯分布。因此，即使线性系统的输入过程X(t) 是非高斯，根据公式
第四章 白噪声与高斯随机过程
4.1 白噪声
4.2 高斯随机过程
4.3 高斯随机过程的线性变换
4.4 常用时间序列模型
1
4.2.2平稳高斯过程的分布特性
[定义4.4] 设X(t)是高斯随机过程，如果它的均值为常 数，相关函数为时间差的函数，即
mX (t ) mX , RX (t1 , t2 ) RX ( )
m m m ... m
1 r 21 r ... rn1
r 12 ... r n 1 1 ... r2 n K 2 ... ... ... rn 2 ... 1
其中：rij E X ti m X t j m
2 r 2 K11 K12 K 2r 2 2 K 21 K 22 r
而r为相关系数矩阵： 1 r r
r 1
于是可以得到平稳高斯过程的二维概率密度为：
Y t X h t d lim
t max i 0
X h t
i 0 i i
n
i
由此可见Y(t)在任意时刻是由许多随机变量线性组合而成的。对 于任意n个时刻t1,t2,…,tn，设Yk=Y(tk)，Xk=X(τk)，则上述方程可 以用多元线性方程组来表示：
1 2
1 r X m
类似于二维分布，可得X(t)的n维概率密度表示为：
fX
X
2
1 12 r
2 n 2
1 exp X m 2
T
x1 x X 2 ... xn
l11 l12 ... l1n Y1 X1 Y2 X 2 l21 l22 ... l2 n Y X L ... ... ... ... ... ... Yn Xn ln1 ln 2 ... lnn
fX
X
12 2 r
2
1
1 exp 2 X m 2
T
1 r X m
x1 X x2
m m m
同理可以得到平稳高斯过程的二维特征函数为：
T 1 2 T CX exp jm r 2
则称X(t)为平稳高斯随机过程。 平稳高斯随机过程X(t)的一维概率密度函数和特征函数表示为：
fX
x
x m 2 1 exp 2 2 2
CX
exp jm
1 2 2 2
对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为：
X 2 X 2 X 2 ... X 1 , X 2 ,..., X n dX Yn J Y1 Y2 Y1 , Y2 ,..., Yn dY ... ... ... ... X n X n X n ... Y1 Y2 Yn
高斯随机过程通过线性系统之后，其输出任然为高斯随机过程 。输入过程与输出过程为联合高斯分布对于高斯随机过程， 我们只要确定其均值和相关函数就能够确定其分布。 设X(t)为均值是零的高斯随机过程，则有： 1 1 1 1 fY Y J f X L Y 12 exp 2 L Y n2 L 2 K
t
max i 0
X h t
i 0 i i
n
i
系统输出Y(t)是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近 高斯分布。
Y1 l11 X 1 l12 X 2 ... l1n X n Y2 l21 X 1 l22 X 2 ... l2 n X n ... Yn ln1 X 1 ln 2 X 2 ... lnn X n lki h tk i i
用矩阵表示为： Y LX
2 i, i 1, 2,..., i j
同理可以得到平稳高斯过程的n维特征函数：
1 C X exp jmT T r 2 1 2 ... n T
注意：从上述n维概率密度函数和特性函数表达式可以看出： 高斯过程的统计特性只取决于它的一、二阶矩（均值和方差 ），如果它满足广义平稳，即它的均值为常数，而相关函数 只与时间差有关，那么它的n为概率密度也只与时间差有关， 而与时间的起始点无关，即满足狭义平稳的条件。因此，对 于高斯过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。
1 那么X也可以用Y来表示： X L Y
那么随机变矢量Y的概率密度为： 1 fY Y J f X X J f X L Y
该式就是高斯随机过程通过线性变换后概率密度的一般表示式。
式中的J为雅克比行列式
X 1 X 1 X 1 ... Y1 Y2 Yn
[定义4.5] 若平稳高斯随机过程具有均匀的功率谱密度 ，则称此过程为平稳高斯白噪声，也叫 相关高斯态 过程。 在实际应用中经常遇到平稳高斯白噪声N(t)与有用信号 S(t)之和的随机过程X(t)，即
X t N t S t
设N(t)的均值为0，方差为 2 ，则X(t)的一维概率密度 表示式要从随机过程N(t)的角度来写，即 x S (t ) 2 1 f X x, t exp 2 2 2 从上式可以看出，X(t)任为高斯过程，但此时的一维概 率密度依赖于时间t。因此，一般平稳高斯噪声与信号 之和是非平稳的高斯过程。
高斯随机过程的性质
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例题1：设平稳高斯随机过程X(t)的均值为0，自 sin 相关函数为 R 。求t1=0，t2=1/2，t3=1 时的三维概率密度。
X
解：略。
例题2：
值
2 cos 0
4.3.1 高斯过程通过线性系统 设随机过程X(t)通过冲激响应h(t)的线性系统，输出过程为Y(t), 那么有：
Hale Waihona Puke Baidu
T
1 1 K L Y
4.3.2 随机过程的高斯化
[定义4.7]随机过程的高斯化是指非高斯随机过程通过线性系统 后，变换为高斯过程。
就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量 之和，其分布趋于高斯分布。因此，即使线性系统的输入过程X(t) 是非高斯，根据公式
第四章 白噪声与高斯随机过程
4.1 白噪声
4.2 高斯随机过程
4.3 高斯随机过程的线性变换
4.4 常用时间序列模型
1
4.2.2平稳高斯过程的分布特性
[定义4.4] 设X(t)是高斯随机过程，如果它的均值为常 数，相关函数为时间差的函数，即
mX (t ) mX , RX (t1 , t2 ) RX ( )
m m m ... m
1 r 21 r ... rn1
r 12 ... r n 1 1 ... r2 n K 2 ... ... ... rn 2 ... 1
其中：rij E X ti m X t j m
2 r 2 K11 K12 K 2r 2 2 K 21 K 22 r
而r为相关系数矩阵： 1 r r
r 1
于是可以得到平稳高斯过程的二维概率密度为：
Y t X h t d lim
t max i 0
X h t
i 0 i i
n
i
由此可见Y(t)在任意时刻是由许多随机变量线性组合而成的。对 于任意n个时刻t1,t2,…,tn，设Yk=Y(tk)，Xk=X(τk)，则上述方程可 以用多元线性方程组来表示：
1 2
1 r X m
类似于二维分布，可得X(t)的n维概率密度表示为：
fX
X
2
1 12 r
2 n 2
1 exp X m 2
T
x1 x X 2 ... xn
l11 l12 ... l1n Y1 X1 Y2 X 2 l21 l22 ... l2 n Y X L ... ... ... ... ... ... Yn Xn ln1 ln 2 ... lnn
fX
X
12 2 r
2
1
1 exp 2 X m 2
T
1 r X m
x1 X x2
m m m
同理可以得到平稳高斯过程的二维特征函数为：
T 1 2 T CX exp jm r 2
则称X(t)为平稳高斯随机过程。 平稳高斯随机过程X(t)的一维概率密度函数和特征函数表示为：
fX
x
x m 2 1 exp 2 2 2
CX
exp jm
1 2 2 2
对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为：
X 2 X 2 X 2 ... X 1 , X 2 ,..., X n dX Yn J Y1 Y2 Y1 , Y2 ,..., Yn dY ... ... ... ... X n X n X n ... Y1 Y2 Yn
高斯随机过程通过线性系统之后，其输出任然为高斯随机过程 。输入过程与输出过程为联合高斯分布对于高斯随机过程， 我们只要确定其均值和相关函数就能够确定其分布。 设X(t)为均值是零的高斯随机过程，则有： 1 1 1 1 fY Y J f X L Y 12 exp 2 L Y n2 L 2 K