高中数学且(and)、或(or)优质课件(选修1-1)

p∧q 命题
观察三个命题： ①5 是 10 的约数； ②5 是 15 的约数；
③5 是 10 的约数且是 15 的约数，它们之间有什么关系？ 答案 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，
“且”与集合运算中交集的定义 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}中 “且”的意义相同， 叫逻辑联结词， 表示“并且”， “同时” 的意思.
解 (1)p∨q：“正数或负数的平方大于 0”，即“非零实数 的平方大于 0”，是真命题.
(2)p∨q：“3>4 或 3<4”，即“3≠4”，是真命题.
(3)p∨q：“π 是整数或分数”，即“π 是有理数”，是假命题.
探究点三 问题
答案
p∨q 与 p∧q 的应用
如果 p∧q 为真命题，那么 p∨q 一定是真命题吗？反
小结 判断 p∨q 形式的命题的真假，首先判断命题 p 与命 题 q 的真假，只要有一个为真，即可判定 p∨q 形式命题为 真，而 p 与 q 均为假命题时，命题 p∨q 为假命题，可简记 为：有真则真，全假为假.
跟踪训练 2
对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新
命题，并判断它们的真假. (1)p：正数的平方大于 0，q：负数的平方大于 0； (2)p：3>4，q：3<4； (3)p：π 是整数，q：π 是分数.
例 2 分别指出下列命题的形式及命题的真假： (1)相似三角形的面积相等或对应角相等； (2)集合 A 是 A∩B 的子集或是 A∪B 的子集； (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形 全等.
解 (1)这个命题是“p∨q”的形式，其中 p：相似三角形的 面积相等；q：相似三角形的对应角相等. 因为 p 假、q 真，所以 p∨q 为真命题. (2)命题“集合 A 是 A∩B 的子集或是 A∪B 的子集”是由命题： p：集合 A 是 A∩B 的子集；
结论 一般地，用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结 起来，就得到一个新命题，记作 p∧q，读作“p 且 q”.
问题 2
分析问题 1 中三个命题的真假， 并归纳 p∧q 型命题
的真假和命题 p，q 真假的关系.
答案
命题①②③均为真；
当 p、q 都是真命题时，p∧q 是真命题.
例 1 将下列命题用“且”联结成新命题， 并判断它们的真假： (1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对 角线相等； (2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分； (3)p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数. 解 (1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等.由于 p
1.“p 且 q”就是用联结词“ 且 ”把命题 p 和命题 q 联结起
p∧q . 2.“p 或 q”就是用联结词“ 或 ”把命题 p 和命题 q 联结起 来，得到的新命题，记作 p∨q .
来，得到的新命题，记作 3.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q p∨q
真
假
真
真
真
假
假Байду номын сангаас
假
探究点一 问题 1
中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习或休息”， 而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思，如 x<3 或 x>5.
问题 2
分析问题 1 中三个命题的真假， 并归纳 p∨q 型命题
的真假与 p、q 真假的关系.
答案
①真；②假；③真.
当 p、q 两个命题有一个命题是真命题时，p∨q 是真命题； 当 p、q 两个命题都是假命题时，p∨q 是假命题.
因为 p 为真命题，q 也为真命题，
所以“p 且 q”为真命题. (2)此命题为“p 且 q”形式的命题，其中，
p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集.
因为 p 为真命题，q 也为真命题， 所以“p 且 q”为真命题.
探究点二 问题 1
p∨q 命题
观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，
q：集合 A 是 A∪B 的子集
用“或”联结后构成的新命题，即 p∨q. 因为命题 q 是真命题，所以命题 p∨q 是真命题.
(3)命题 “周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三 角形全等”是由命题： p：周长相等的两个三角形全等； q：面积相等的两个三角形全等
用“或”联结后构成的新命题，即 p∨q. 因为命题 p，q 都是假命题，所以命题 p∨q 是假命题.
跟踪训练 1 指出下列命题的构成形式及构成它的命题 p， q， 并判断它们的真假. (1)(n－1)· n· (n＋1) (n∈N*)既能被 2 整除，也能被 3 整除； (2)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集.
解 (1)此命题为“p 且 q”形式的命题，其中， p：(n－1)· n· (n＋1) (n∈N*)能被 2 整除； q：(n－1)· n· (n＋1) (n∈N*)能被 3 整除.
p∧q 为真，则 p、q 均真，所以 p∨q 为真.
之，如果 p∨q 为真命题，那么 p∧q 一定是真命题吗？
当 p∨q 为真时，则 p、q 至少一个为真，p∧q 不一定为真.
例 3 设有两个命题.命题 p： 不等式 x2－(a＋1)x＋1≤0 的解 集是∅；命题 q：函数 f(x)＝(a＋1)x 在定义域内是增函数. 如果 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，求 a 的取值范围. 解 对于 p：因为不等式 x2－(a＋1)x＋1≤0 的解集是∅，所
它们之间有什么关系？ 答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的
新命题. 结论 一般地，用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结
起来，就得到一个新命题，记作 p∨q，读作“p 或 q”.
“或”与集合运算中并集的定义 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}中 “或”的意义相同，是逻辑联结词. “或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语
是真命题，q 是假命题，所以 p∧q 是假命题. (2)p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分.由于 p 是真命题，q 是真命题，所以 p∧q 是真命题. (3)p∧q：35 是 15 的倍数且是 7 的倍数.由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p∧q 是假命题.
小结 判断 p∧q 形式的命题的真假，首先判断命题 p 与命 题 q 的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行 判断.