高中数学必修二导学案11.立体几何中的思想方法及其应用

．立体几何中的思想方法及其应用

曾劲松

学习目标

．熟练运用立体几何中常见的转化的思想方法：降维的转化、位置关系的转化、割补的转化、等积的转化等．

．熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题．

．能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动态问题．

．进一步熟练解决以下基本题型：平行与垂直的证明、结论探索性问题、求空间角、求空间距离、翻折问题．

一、夯实基础

基础梳理

．立体几何中转化思想

（）降维的转化：

由三维空间向二维平面转化，把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用平面几何知识来解决问题．例如三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算都体现了空间到平面的转化．

（）割补的转化：

通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口．例如有些特殊的三棱锥（或四棱锥），我们其放置在一个长方体中．

（）等体积的转化：

求一个几何体的体积转化求另一个几何体的体积（或换一个角度求同一个几何体的体积）．此法常用来求点到平面的距离，好处是回避了找垂足的具体位置．例如，求斜线与平面所成角时，只需求得斜线上某点到斜足的距离及该点到平面的距离，即可得到该角的正弦．

．熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题．

例如【自主探究】第题．

．能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动态问题．

动态问题是指某些点、线、面的位置是不确定的、可变的．我们可以考虑设置一个关键的变量，其它量的变化均由此变量引发，构建目标函数，于是用代数的方法来解决．要注意“动”与“静”是相对的，通常用一个特定的静的状态来研究运动中的几何体．

．翻折问题．

把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在空间位置关系和数量上的变化，这就是翻折问题．这类题的关键是弄清翻折的变与不变，例如哪些角度、距离、位置关系发生了变化，而哪些没有．

基础达标

．（年湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

①； ②；

③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合．

其中不正确．．．命题的个数是（）． ．

．

．

．

．（江西）过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，

这样的直线可以作（）． ．条 ．条 ．条 ．条

．（年浙江）已知矩形

，

，

．将

沿矩形的对角线所在的直线进

行翻折，在翻折过程中，（）．

．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ．对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直 ．（年全国卷）已知正四棱柱中，

，为

的中点，则

直线与平面的距离为（）． ．

．

．

．

．（年全国卷）如图，、分别为正方体的面

、面

的中心，则四边形

在

该正方体的面上的射影可能是．（把可能的图的序号都填上）

D 1

C 1

B 1A 1

F E D C B

A

④

③②①

二、学习指引 自主探究 ．已知三棱锥

中，底面，平面平面，那么吗？