第四章(无限自由度系统的振动)

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(二) 固有振动
U ( x) ( ) 2 U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0

U ( x) a1 cos
x a2 sin x c c q(t ) b1 cos t b2 sin t
u ( x, t ) U ( x)q(t ) (a1 cos
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u ( x, t ) f ( x, t )
dx
u
o
x
dx
l
x
u
N
u dx x
fdx
N
u
A
C
u dx x
u
N dx x
u
dx
B
u AB u dx x
x
(一) 直杆的纵向振动微分方程
dx
u u dx x
N dx N x u ( x, t ) dx u u x u ( x, t ) 微段的轴向应变: ( x, t ) dx x u ( x, t ) N ( x , t ) E ( x) ( x, t ) A( x) E ( x) A( x) 横截面轴向力: x 2u( x, t ) N ( x, t ) ( x) A( x)dx [ N ( x, t ) dx ] N ( x, t ) f ( x, t )dx 2 t x N
第四章
无限自由度系统的振动
引言
m
k
2k
u1
u2
u3
m
c
k
m
k
m
2k
c
离散系统
引言
连续系统
分布参数系统 无限自由度系统
引言
杆:以拉压为主要变形的构件
F
轴:以扭转为主要变形的杆
F
T
F
T
梁:以弯曲为主要变形的杆
一个方向的尺寸远 大于其他两个方向 的尺寸
板:一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件
火箭剧烈振动,使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允
许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。
弹性杆的纵向振动
神六减轻“第120秒痛苦” “神五” 火箭发射后120秒时,火箭箭
体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧水
平振动出现了耦合,形成一种纵向耦合振 动,造成航天员的痛苦。
第四章:无限自由度系统的振动
第一讲: 弹性杆的纵向振动
弹性杆的纵向振动
y
u ( x, t )
x
图 弹性杆的纵向振动
杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿
x
方向(轴线)的振动规律。
弹性杆的纵向振动
【纵向振动的例子】
火箭的纵向耦合振动 POGO vibration 大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率,它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起

,
n 1, 2,
(二) 固有振动
U ( x) a2 sin

c
x
n
n c n l l
E

,
n 1, 2,
n Un ( x) sin x sin x c l
n
l
x
(二) 固有振动
【例2】:求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。 y
l
固有振型函数: 边界条件:
E , A,
O
L
U ( x) (a1 cos x a2 sin x) c c
k
x
左端边界条件: U (0) 0 右端边界条件:
EA dU ( x) dx kU ( L)
xL
a1 0
EA

L L cos k sin c c c
cos L a c 2 2 sin c L2 b2 0
EA sin L 0 EA 2 1 c 1 a1 0 cos L sin 2 L2 a2 0 c c b2 1 0 cos L1 c
2 2
(分离变量法)
u( x , t ) U ( x ) q ( t )
U ( x)q(t ) c2q(t )U ( x)
2 U ( x ) ( ) U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0
q (t ) 2 U ( x ) c 2 q (t ) U ( x)
dU ( x ) EA1 1 1 0 dx1 x 0
1
x2 b2 sin x2 )q2 (t ) c c
x2
b1 0
u2
EA1a1 sin L1 EA2b2 c
E, A2 , , L2
dU ( x ) dU 2 ( x2 ) EA1 1 1 EA2 dx1 x L dx2 x
各阶固有振型函数
y
l
x
1st 2nd 3rd
(二) 固有振动
【课堂练习】:求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。 两端自由

c
x
x a2 sin
U ( x) a1 cos

c
x
U (0) 0,
U (l ) 0
a2 0,
a1

c
sin

c
l 0
n c , n 1, 2, l
u
fdx
u( x , t ) 2 u( x , t ) ( x ) A( x ) [ E ( x ) A( x ) ] f ( x, t ) 2 x x t
(直杆纵向受迫振动微分方程)
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u( x , t ) 2 u( x , t ) ( x ) A( x ) [ E ( x ) A( x ) ] f ( x, t ) 2 x x t
x
U ( x) a1 cos

c
x a2 sin

c
x
U (0) 0,U (l ) 0
各阶固有频率
1 c n (n ) , n 1, 2, 2 l
a1 0,
a2

c
cos

c
l 0
cos

c
l 0
(二) 固有振动
Un ( x) sin (2n 1) x , 2l n 1, 2,
(直杆纵向受迫振动微分方程)
2 2 u ( x, t ) 1 2 u ( x, t ) c f ( x, t ) 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
u ( x, t ) 2 u ( x, t ) c 2 t x2
上端边界条件: U (0) 0
a1 0
L
E , A,
u ( L, t ) 2 u ( L, t ) 下端边界条件: EA x M t2
u ( L, t ) a2 cos L q(t ) x c c
2 u ( L, t ) 2 a sin L q(t ) 2 2 c t
1 1
x1
u1
o2
2 0
U2 ( x2 ) x
2 L2
0
U1 ( L1 ) U 2 (0)
a2 cos L2 b2 sin L2 0 c c a1 cos L1 a2 c
E, A1 , , L1
o1
(二) 课堂练习
EA sin 1 c L1 a1 EA2b2 0
2 1 2 c Me 2 2 t x I p
(一) 轴的扭转振动
( x, t ) ( x)q(t ) (a1 cos x a2 sin x)(b1 cos t b2 sin t ) c c 2.边界条件
x
固定端: 简单边界条件
0
0
E c2
M
EA cos L M 2 sin L c c c
AL L tan L c c M
xLeabharlann Baidu
(二) 课堂练习
【课堂练习2】:求如图所示的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振 动的频率函数。
基本假设: 微振动假设
研究对象为理想弹性体,即匀质分布,各向同性和服
从胡克定律。
引言
实际工作中,如何分析连续系统的振动?
(1)首先判定是否是简单几何和边界条件的系统,如果是,则可获得
系统固有振动特性和响应的解析解(本章内容)
(2)如是复杂几何和边界条件的系统,则用有限单元法求解
图 利用有限单元法将连续系统(阿波罗飞船) 离散化为离散系统
引言
连续系统与离散系统不同之处:
u
o
A
u ( x, t )
x
A
x
1. 连续系统的振动是时间和空间坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述 3. 连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型
引言
连续系统与离散系统相似之处:
1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加 3. 对弹性体的振动,模态叠加法、模态截断等方法同样适用
0
sin

c
l 0
n
U 0 ( x) 1
U n ( x) cos
n x l
STOP
第二讲:
1. 轴的扭转振动
2. 课堂练习
(一) 轴的扭转振动
1.运动方程


dx x
o
x
dx
l
x
长度为 l 材料剪切模量为 G(x)
横截极惯性矩Ip (x) 体密度为(x)
θ(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的角位移 Me(x, t) 是单位长度轴上分布的外扭矩
0 x
自由端: M t GI p
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】:求如图所示的上端固定,下端有一附加质量M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u ( x, t ) U ( x)q(t ) (a1 cos
x a2 sin x)(b1 cos t b2 sin t ) c c
(一) 轴的扭转振动


dx x
o
x
Mt
dx dx
x
M t Mt dx x
M t I p dx 2 ( M t dx ) M t M e dx t x
M t GI p
x
Ip
GI p Me 2 t x x
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动,但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u ( x, t )
f ( x, t )
o
x
dx
l
x
横截面积为 A(x) 体密度为(x)
长度为 l 材料弹性模量为 E(x)
u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移 f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力
L tan c EA L kL c
(二) 课堂练习
【课堂练习3】:求如图所示的阶梯杆纵向振动时的频率方程。
u1 ( x1 , t ) U1 ( x1 )q1 (t ) u2 ( x2 , t ) U 2 ( x2 )q2 (t ) (a2 cos
(a1 cos x1 b1 sin x1 )q1 (t ) c c
x a2 sin x)(b1 cos t b2 sin t ) c c
固有振动的 表达式
固有振型函数
a1 , a2 ,
由边界条件确定
b1 , b2
由初始条件确定
(二) 固有振动
2.边界条件
y
x
固定端:
u0
U 0
U 0
简单边界条件
u 自由端: N EA 0 x
(二) 固有振动
【例1】:求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。
l
固有振型函数: 边界条件:
x
U ( x) a1 cos

c
x a2 sin

c
x
U (0) 0,
U (l ) 0
a1 0,
sin
a2 sin

c
l 0
各阶固有频率
n c n l l E

c
l 0
n
引言
1744年, Euler研究了梁的横向自由振 动,导出了铰支、固定和自由三类边界
条件下的振型函数与频率方程
1759年, Euler解决了矩形膜的自由振 动问题 1814-1850年,Poisson、Kirchhoff、 Navier建立板弯曲振动理论。
瑞士-俄罗斯科学家 Euler(1707-1783)
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