二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘 要 :用平面波展开法计算了由水柱体放入水银中所组成的二维声子晶体的能带结构. 通过考虑 4 种对称 程度不同的散射体和两种排列晶格 ,从不同的角度分析了对称性与声子带隙的关系. 先采用调节散射体方位角度 的方式来改变系统所构成的空间群 ,发现声子带隙的极大值和极小值都出现在空间群对称性最高时. 然后找出不 同填充率下的带隙极大值 1 结果表明 ,散射体形状和排列点阵所属点群对称性的升高均有利于大带隙的产生.
f A F + f B (1 - F)
(
_
G
=
0)
f
_ G
=
(fA -
_
f B ) I ( G)
(
_
G
≠0)
(2)
式中
f
_ G
代表λ-_ G
1
和ρ-_ G
1Baidu Nhomakorabea
,
f
A
和
f
B
分别表示
A
、B
这两种材料对应的参数
;
I
(
_
G)
称为结构函数
,
定
义为
∫ _
I ( G)
= S- 1
e-
i
_ G
·_r
d
_
r
(3)
3 结 论
本文采用平面波展开法计算了由质量密度低的散射体 (水) 放入质量密度高的基体 (水银) 中组成的二维 声子晶体的能带结构. 综合考虑了 4 种对称程度不同的散射体和两种排列晶格 (正方晶格和六角晶格) 的情 况 ,从 3 个不同的角度分析了对称性与声子带隙的关系. 得到如下结论 :
关键词 :声子晶体 ;对称 ;带隙 中图分类号 : T H74 文献标识码 :A 文章编号 :1006 - 4702 (2009) 03 - 0047 - 06
0 引 言
近几年来 ,随着在光子晶体研究上取得的成就 ,声子晶体也引起了人们的极大关注 ,成为一个新的研究 热点. 声子晶体是指由两种或两种以上的弹性介质在空间按周期性排列而组成的复合结构 ;其中分散排列的 介质称为散射体 ,连续的介质称为基体. 它是一种新型的声学功能材料 ,在隔音 、抗振 、声学器件制作等方面 有着广泛的实际应用前景[1] . 而这些应用大都依赖于声子晶体中能带结构的性质 ,特别是带隙的性质. 因此 , 人们对声子能带进行了大量理论或实验上的研究 ,发现声子晶体中材料的物理属性[2 - 6] 、散射体的几何形 状[7 - 8 ] 及其方位角度[3 ,7 ,9 ] 、排列晶格[1 ,4 ,10 ] 和散射体所占的体积比率 (填充率) [2 ,10 - 11 ] 等因素对此均有影响.
收稿日期 :2009 - 04 - 13 基金项目 :湛江师范学院自然科学研究 (L0704)1 作者简介 :钟兰花 (1981 —) ,女 ,江西九江人 ,湛江师范学院物理科学与技术学院助教 ,硕士 ,从事计算物理研究. 3 李耀森 ,湛江师范学院学生 1
48
湛江师范学院学报 (自然科学)
第 30 卷
方位角度/ (°)
0 30 其它 0 15 其它 0 30 其它
空间群
P31m P3m1
P3 Cmm Cmm
P2 P6m P6m P6 P6m
50
湛江师范学院学报 (自然科学)
第 30 卷
那么 ,当散射体处于这些特殊的方位角度时 ,系统的对称性是否有不同 ? 经分析发现 ,当散射体的方位 角度不同的时候 ,系统所构成的二维空间群也是不同的 ,具体情况概括在表中. 不难看出 ,当方位角度为 0 或 0. 5 旋转周期时 ,所构成空间群的对称性比其它一般角度的情况下要高. 由此我们可以看出 ,无论按正方晶 格还是按六角晶格排列 ,在给定散射体和排列晶格的条件下 ,带隙的极大值和极小值都出现在系统空间群的 对称性最高时. 2. 2 散射体和晶格所满足点群的对称性与带隙的关系
A
式中 S 为元胞的面积 ,在散射体 A 范围内积分. 其结果仅与散射体 A 的几何形状有关 , 而与排 列形式无关[2 - 5 ,18 ] .
由于系统的对称性及其能带结构还与散射 体的排列方位有关 ,我们考虑了具有不同方位角
图 2 方位角度的定义 , (a) - (c) 正方晶格 , (d) - (f) 六角晶格
(a) 按正方晶格排列 (b) 按六角晶格排列 图 4 不同形状散射体系统带隙的极大值随 F 的变化关系 :
在图 4 (a) 和 ( b) 中 ,最上面一条曲线的峰值均对应于 F = 0. 35 , 即无论按正方晶格还是按六角晶格排 列 , CIR 柱体系统可产生该晶格下最大的带隙 , 且在填充率 F = 0. 35 时取得. 此时的能带结构如图 5 所示 , 图中的插图及其打点部分表示第 1Brillo un 区及其不可约区间. 可以看出 ,在能带结构图中 ,不止一条完全带 隙存在 ,其中最低的带隙如阴影部分所示. 图 5 (a) 中最低带隙的上 、下边沿分别对应于ωa/ c = 4. 736 2 ,
1 模型和计算方法
为了便于比较对称性的变化对能带带隙的影响 , 我们考虑了 4 种形状的散射体 , 分别是正三棱柱 ( TRI) 、正四棱柱 ( SQ U) 、正六棱柱 ( H EX) 和圆柱体 ( CIR) ,其横截面形状如图 1 所示. 显然 ,它们的几何形 状所属点群的对称性依次升高. 这些散射体在空间排列的点阵形式为正方格子和六角格子 (有些文献称为三 角格子) [2 ,13 ] ,它们是对称性较高的二维晶格.
图 3 当 F = 0. 4 时 ,各非圆柱体系统的带隙宽度随方位角度的变化关系
2. 1 空间群的对称性与带隙的关系 首先来分析 ,在给定填充率的条件下 ,当上述几种系统散射体取不同的方位角度时 ,声子带隙大小如何
变化. 从它们的几何结构不难看出 ,散射体的方位角度具有周期性 ,即当旋转到某个角度时与旋转之前完全 等同. 如图 3 所示 ,当 F = 0. 4 时 ,在一个旋转周期内各系统的带隙宽度随方位角度的变化关系. 图 (a) , ( b) , (c) 分别表示 TRI ,SQU , H EX 柱体按正方晶格排列的情况 ,图 (d) , (e) , (f) 分别对应于它们按六角晶格排列 的情况. 显然 ,这些曲线的形状在前 、后半个旋转周期内是对称的. 在前半个周期内 ,随着方位角度θ的增加 , 带隙宽度有的增加 (如图 (a) , (c) ) 有的减小 (如图 ( b) , ( d) , (e) , (f ) ) ,但它们的极大值和极小值要么出现在 方位角度为 0 时 ,要么出现在 0. 5 周期处.
图 1 四种散射体横截面示意图
我们采用平面波展开法进行计算 ,为了简化计算过程 ,考虑的是由水和水银组成的只有纵波模的液体声 子晶体. 因为将质量密度低的散射体放入质量密度高的基体中容易产生较大的声子带隙[2 - 5 ,18] ,因此我们计 算了将水柱体放入水银中的模型. 对于液体声子晶体 ,各物理量按平面波形式展开后 ,其声波波动方程可化 为本征值方程的形式[2 - 5 ] :
第230009卷年第6
月 3期
湛江师范学院学报 J OU RNAL O F ZHANJ IAN G NORMAL COLL E GE
J un1 ,2009 Vol1 30 No1 3
二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
钟兰花 ,李耀森 3
(湛江师范学院 物理科学与技术学院 ,广东 湛江 524048)
由上述分析可知 ,通过调节散射体的方位角度总可以找到对应填充率下最大的带隙值 :正方晶格排列下 TRI、SQU 、H EX 柱体的方位角度分别为 15°、0°、15°时取得 ;六角晶格排列下它们的角度均为 0°时 ,取得. 下面进一步分析 ,各填充率下带隙宽度的极大值与散射体几何形状之间的关系 ,如图 4 所示. 在图 4 中我们 只给出填充率较低 ( F ≤0. 5 ) 、各种形状散射体均可自由旋转的情况 ,因为当填充率大到某个数值后 ,有些 方位角度的排列不可能实现. (a) 和 (b) 分别为按正方晶格和六角晶格排列的系统 ,在图中 ,曲线由低到高分 别对应于 TRI、SQ U 、H EX、CIR 系统的带隙值 ,尽管最上面两条曲线靠得比较近. 从这可以看出 ,按这两种 晶格排列 ,在对应相等的填充率下 ,带隙宽度的极大值随散射体点群对称性的升高而增大.
L
a
me
系数)
、ρ- 1
(ρ(
_
r)
是介质的质量密度)
和压强
p 的傅立叶展开系数.
(1) 式理论上表示对
无限多个倒格矢求和 ,实际中通常取有限个倒格矢代替.
设二维声子晶体中的散射体 (水柱体) 用 A 表示 , 基体 (水银) 用 B 表示 , 体积填充率为 F. 则 (1) 式中的
傅立叶系数可表示成 :
不同的研究之所以得出不同的结论 ,一是由于影响声子能带的因素比较多 ,二是由于声子晶体结构的对 称性本身比较复杂 ,它包括散射体自身几何形状的对称性 、排列点阵的对称性以及由散射体与点阵组合而成 的空间对称性等几个方面. 而他们的研究改变对称性的方式并不相同 ,有改变散射体形状的[17 - 18] ,有改变排 列晶格的[13 ,15] ,也有在原来的原胞中插入散射体或改变散射体的大小以改变其空间对称性的[13 - 14 ] . 本文综 合考虑对称程度不同的 4 种散射体和两种二维排列晶格 ,并通过调整散射体的排列方位来改变系统的空间 对称性 ,从不同的角度分析声子带隙与对称性的关系. 此外 ,我们还采用群论的描述方法 ,使得对称性的分析 和比较更为清楚 、明了和具有系统性.
晶格 正方晶格
柱体形状 TRI SQ U H EX CIR
表 各形状散射体按不同的方位角度排列所构成的二维空间群
方位角度/ (°)
0 15 其它 0 45 其它 0 15 其它
空间群
Pm Cm P1 P4m P4m P4 Pmm Cmm P2 P4m
晶格 六角晶格
柱体形状 TRI SQU H EX CIR
度的各种情况 ,各非圆柱体系统方位角度的定义如图 2 所示. 当散射体绕各自的格点按顺时针旋转一个角度
θ时 ,等同于将整个坐标进行旋转变换 ,即相当于上面计算式中的倒格矢 G_ 变为[3 ,7]
G′x = Gx co sθ+ Gy sinθ
G′y = - Gx sinθ+ Gy co sθ
(4)
第3期
( a) 和六角晶格 ( b) 排列的能带结构图 图 5 F = 0. 35 时 ,CIR 柱体按正方晶格
第3期
钟兰花等 :二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
51
1. 685 9带隙宽度Δω = 3. 050 3c/ a ,相对宽度Δω/ωg = 0. 949 9 ;图 ( b) 中最低带隙的上 、下边沿分别为ωa/ c = 5. 3298 ,1. 616 7带隙宽度Δω = 3. 713 1c/ a ,相对宽度为Δω/ωg = 1. 069 1. 显然 ,按六角晶格排列比按正方晶 格排列时能产生更大的带隙 ,即点群对称性高的晶格有利于大带隙的产生.
∑ωλ [ - 2 - 1
_ G-
G_′
ρ- 1
_
( k _
G-
G_′
+
_
G)
·(
_
k
+
G_′) ] PG_′
=
0
(1)
G_′
式中ω为声波的角频率 , G_ 为倒格子矢量 , _k为被限制在第 1Brillo un 区中的波矢 ,λ-_ 1 、ρ-_ 1 和
G
G
P
_ G
分别表示λ-
1
(λ(
_
r)
是介质的
由于对称性在物理学 、特别是晶体学中起着非常重要的作用 ,也有部分文献从对称性的角度分析了声子 晶体中能带与对称性的关系[12 - 18] . 有的认为随着对称性降低 ,部分声子能带简并将被消除 ,从而有利于声子 带隙的增大[13 - 14 ] . 也有研究认为高对称性有利于大带隙的产生[15 ] ,如在由正方格子和三角格子组成的 12 重对称性准声子晶体中 ,发现这种高对称结构产生了更大的带隙. 另外一些 ,如 Kushwaha 等认为 ,在二维和 三维结构中 ,声波带隙与晶格对称性之间的关系还取决于所选的材料[16] . 而文献[ 17 - 18 ]通过研究各种对 称性不同的散射体按正方晶格排列下的情况 ,发现声子带隙的极大值和极小值都出现在系统的对称性最高 时.
钟兰花等 :二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
49
2 计算结果和讨论
本文中我们取 625 个倒格矢进行计算 ,此时结果已具有很好的收敛性. 由于在这些系统中第 1 、2 能带间 的带隙是最宽的 ,因此我们只考虑了最低的完全带隙. 能带的频率用标度化圆频率ωa/ c 来表示 ,其中 a 为晶 格常数 , c 为基体水银中的波速. 带隙的大小表示为带隙宽度 (Δω) 与带隙中间频率 (ωg ) 的比值 (Δω/ωg ) , 即 带隙的相对宽度.
f A F + f B (1 - F)
(
_
G
=
0)
f
_ G
=
(fA -
_
f B ) I ( G)
(
_
G
≠0)
(2)
式中
f
_ G
代表λ-_ G
1
和ρ-_ G
1Baidu Nhomakorabea
,
f
A
和
f
B
分别表示
A
、B
这两种材料对应的参数
;
I
(
_
G)
称为结构函数
,
定
义为
∫ _
I ( G)
= S- 1
e-
i
_ G
·_r
d
_
r
(3)
3 结 论
本文采用平面波展开法计算了由质量密度低的散射体 (水) 放入质量密度高的基体 (水银) 中组成的二维 声子晶体的能带结构. 综合考虑了 4 种对称程度不同的散射体和两种排列晶格 (正方晶格和六角晶格) 的情 况 ,从 3 个不同的角度分析了对称性与声子带隙的关系. 得到如下结论 :
关键词 :声子晶体 ;对称 ;带隙 中图分类号 : T H74 文献标识码 :A 文章编号 :1006 - 4702 (2009) 03 - 0047 - 06
0 引 言
近几年来 ,随着在光子晶体研究上取得的成就 ,声子晶体也引起了人们的极大关注 ,成为一个新的研究 热点. 声子晶体是指由两种或两种以上的弹性介质在空间按周期性排列而组成的复合结构 ;其中分散排列的 介质称为散射体 ,连续的介质称为基体. 它是一种新型的声学功能材料 ,在隔音 、抗振 、声学器件制作等方面 有着广泛的实际应用前景[1] . 而这些应用大都依赖于声子晶体中能带结构的性质 ,特别是带隙的性质. 因此 , 人们对声子能带进行了大量理论或实验上的研究 ,发现声子晶体中材料的物理属性[2 - 6] 、散射体的几何形 状[7 - 8 ] 及其方位角度[3 ,7 ,9 ] 、排列晶格[1 ,4 ,10 ] 和散射体所占的体积比率 (填充率) [2 ,10 - 11 ] 等因素对此均有影响.
收稿日期 :2009 - 04 - 13 基金项目 :湛江师范学院自然科学研究 (L0704)1 作者简介 :钟兰花 (1981 —) ,女 ,江西九江人 ,湛江师范学院物理科学与技术学院助教 ,硕士 ,从事计算物理研究. 3 李耀森 ,湛江师范学院学生 1
48
湛江师范学院学报 (自然科学)
第 30 卷
方位角度/ (°)
0 30 其它 0 15 其它 0 30 其它
空间群
P31m P3m1
P3 Cmm Cmm
P2 P6m P6m P6 P6m
50
湛江师范学院学报 (自然科学)
第 30 卷
那么 ,当散射体处于这些特殊的方位角度时 ,系统的对称性是否有不同 ? 经分析发现 ,当散射体的方位 角度不同的时候 ,系统所构成的二维空间群也是不同的 ,具体情况概括在表中. 不难看出 ,当方位角度为 0 或 0. 5 旋转周期时 ,所构成空间群的对称性比其它一般角度的情况下要高. 由此我们可以看出 ,无论按正方晶 格还是按六角晶格排列 ,在给定散射体和排列晶格的条件下 ,带隙的极大值和极小值都出现在系统空间群的 对称性最高时. 2. 2 散射体和晶格所满足点群的对称性与带隙的关系
A
式中 S 为元胞的面积 ,在散射体 A 范围内积分. 其结果仅与散射体 A 的几何形状有关 , 而与排 列形式无关[2 - 5 ,18 ] .
由于系统的对称性及其能带结构还与散射 体的排列方位有关 ,我们考虑了具有不同方位角
图 2 方位角度的定义 , (a) - (c) 正方晶格 , (d) - (f) 六角晶格
(a) 按正方晶格排列 (b) 按六角晶格排列 图 4 不同形状散射体系统带隙的极大值随 F 的变化关系 :
在图 4 (a) 和 ( b) 中 ,最上面一条曲线的峰值均对应于 F = 0. 35 , 即无论按正方晶格还是按六角晶格排 列 , CIR 柱体系统可产生该晶格下最大的带隙 , 且在填充率 F = 0. 35 时取得. 此时的能带结构如图 5 所示 , 图中的插图及其打点部分表示第 1Brillo un 区及其不可约区间. 可以看出 ,在能带结构图中 ,不止一条完全带 隙存在 ,其中最低的带隙如阴影部分所示. 图 5 (a) 中最低带隙的上 、下边沿分别对应于ωa/ c = 4. 736 2 ,
1 模型和计算方法
为了便于比较对称性的变化对能带带隙的影响 , 我们考虑了 4 种形状的散射体 , 分别是正三棱柱 ( TRI) 、正四棱柱 ( SQ U) 、正六棱柱 ( H EX) 和圆柱体 ( CIR) ,其横截面形状如图 1 所示. 显然 ,它们的几何形 状所属点群的对称性依次升高. 这些散射体在空间排列的点阵形式为正方格子和六角格子 (有些文献称为三 角格子) [2 ,13 ] ,它们是对称性较高的二维晶格.
图 3 当 F = 0. 4 时 ,各非圆柱体系统的带隙宽度随方位角度的变化关系
2. 1 空间群的对称性与带隙的关系 首先来分析 ,在给定填充率的条件下 ,当上述几种系统散射体取不同的方位角度时 ,声子带隙大小如何
变化. 从它们的几何结构不难看出 ,散射体的方位角度具有周期性 ,即当旋转到某个角度时与旋转之前完全 等同. 如图 3 所示 ,当 F = 0. 4 时 ,在一个旋转周期内各系统的带隙宽度随方位角度的变化关系. 图 (a) , ( b) , (c) 分别表示 TRI ,SQU , H EX 柱体按正方晶格排列的情况 ,图 (d) , (e) , (f) 分别对应于它们按六角晶格排列 的情况. 显然 ,这些曲线的形状在前 、后半个旋转周期内是对称的. 在前半个周期内 ,随着方位角度θ的增加 , 带隙宽度有的增加 (如图 (a) , (c) ) 有的减小 (如图 ( b) , ( d) , (e) , (f ) ) ,但它们的极大值和极小值要么出现在 方位角度为 0 时 ,要么出现在 0. 5 周期处.
图 1 四种散射体横截面示意图
我们采用平面波展开法进行计算 ,为了简化计算过程 ,考虑的是由水和水银组成的只有纵波模的液体声 子晶体. 因为将质量密度低的散射体放入质量密度高的基体中容易产生较大的声子带隙[2 - 5 ,18] ,因此我们计 算了将水柱体放入水银中的模型. 对于液体声子晶体 ,各物理量按平面波形式展开后 ,其声波波动方程可化 为本征值方程的形式[2 - 5 ] :
第230009卷年第6
月 3期
湛江师范学院学报 J OU RNAL O F ZHANJ IAN G NORMAL COLL E GE
J un1 ,2009 Vol1 30 No1 3
二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
钟兰花 ,李耀森 3
(湛江师范学院 物理科学与技术学院 ,广东 湛江 524048)
由上述分析可知 ,通过调节散射体的方位角度总可以找到对应填充率下最大的带隙值 :正方晶格排列下 TRI、SQU 、H EX 柱体的方位角度分别为 15°、0°、15°时取得 ;六角晶格排列下它们的角度均为 0°时 ,取得. 下面进一步分析 ,各填充率下带隙宽度的极大值与散射体几何形状之间的关系 ,如图 4 所示. 在图 4 中我们 只给出填充率较低 ( F ≤0. 5 ) 、各种形状散射体均可自由旋转的情况 ,因为当填充率大到某个数值后 ,有些 方位角度的排列不可能实现. (a) 和 (b) 分别为按正方晶格和六角晶格排列的系统 ,在图中 ,曲线由低到高分 别对应于 TRI、SQ U 、H EX、CIR 系统的带隙值 ,尽管最上面两条曲线靠得比较近. 从这可以看出 ,按这两种 晶格排列 ,在对应相等的填充率下 ,带隙宽度的极大值随散射体点群对称性的升高而增大.
L
a
me
系数)
、ρ- 1
(ρ(
_
r)
是介质的质量密度)
和压强
p 的傅立叶展开系数.
(1) 式理论上表示对
无限多个倒格矢求和 ,实际中通常取有限个倒格矢代替.
设二维声子晶体中的散射体 (水柱体) 用 A 表示 , 基体 (水银) 用 B 表示 , 体积填充率为 F. 则 (1) 式中的
傅立叶系数可表示成 :
不同的研究之所以得出不同的结论 ,一是由于影响声子能带的因素比较多 ,二是由于声子晶体结构的对 称性本身比较复杂 ,它包括散射体自身几何形状的对称性 、排列点阵的对称性以及由散射体与点阵组合而成 的空间对称性等几个方面. 而他们的研究改变对称性的方式并不相同 ,有改变散射体形状的[17 - 18] ,有改变排 列晶格的[13 ,15] ,也有在原来的原胞中插入散射体或改变散射体的大小以改变其空间对称性的[13 - 14 ] . 本文综 合考虑对称程度不同的 4 种散射体和两种二维排列晶格 ,并通过调整散射体的排列方位来改变系统的空间 对称性 ,从不同的角度分析声子带隙与对称性的关系. 此外 ,我们还采用群论的描述方法 ,使得对称性的分析 和比较更为清楚 、明了和具有系统性.
晶格 正方晶格
柱体形状 TRI SQ U H EX CIR
表 各形状散射体按不同的方位角度排列所构成的二维空间群
方位角度/ (°)
0 15 其它 0 45 其它 0 15 其它
空间群
Pm Cm P1 P4m P4m P4 Pmm Cmm P2 P4m
晶格 六角晶格
柱体形状 TRI SQU H EX CIR
度的各种情况 ,各非圆柱体系统方位角度的定义如图 2 所示. 当散射体绕各自的格点按顺时针旋转一个角度
θ时 ,等同于将整个坐标进行旋转变换 ,即相当于上面计算式中的倒格矢 G_ 变为[3 ,7]
G′x = Gx co sθ+ Gy sinθ
G′y = - Gx sinθ+ Gy co sθ
(4)
第3期
( a) 和六角晶格 ( b) 排列的能带结构图 图 5 F = 0. 35 时 ,CIR 柱体按正方晶格
第3期
钟兰花等 :二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
51
1. 685 9带隙宽度Δω = 3. 050 3c/ a ,相对宽度Δω/ωg = 0. 949 9 ;图 ( b) 中最低带隙的上 、下边沿分别为ωa/ c = 5. 3298 ,1. 616 7带隙宽度Δω = 3. 713 1c/ a ,相对宽度为Δω/ωg = 1. 069 1. 显然 ,按六角晶格排列比按正方晶 格排列时能产生更大的带隙 ,即点群对称性高的晶格有利于大带隙的产生.
∑ωλ [ - 2 - 1
_ G-
G_′
ρ- 1
_
( k _
G-
G_′
+
_
G)
·(
_
k
+
G_′) ] PG_′
=
0
(1)
G_′
式中ω为声波的角频率 , G_ 为倒格子矢量 , _k为被限制在第 1Brillo un 区中的波矢 ,λ-_ 1 、ρ-_ 1 和
G
G
P
_ G
分别表示λ-
1
(λ(
_
r)
是介质的
由于对称性在物理学 、特别是晶体学中起着非常重要的作用 ,也有部分文献从对称性的角度分析了声子 晶体中能带与对称性的关系[12 - 18] . 有的认为随着对称性降低 ,部分声子能带简并将被消除 ,从而有利于声子 带隙的增大[13 - 14 ] . 也有研究认为高对称性有利于大带隙的产生[15 ] ,如在由正方格子和三角格子组成的 12 重对称性准声子晶体中 ,发现这种高对称结构产生了更大的带隙. 另外一些 ,如 Kushwaha 等认为 ,在二维和 三维结构中 ,声波带隙与晶格对称性之间的关系还取决于所选的材料[16] . 而文献[ 17 - 18 ]通过研究各种对 称性不同的散射体按正方晶格排列下的情况 ,发现声子带隙的极大值和极小值都出现在系统的对称性最高 时.
钟兰花等 :二维声子晶体能带带隙与对称群的关系
49
2 计算结果和讨论
本文中我们取 625 个倒格矢进行计算 ,此时结果已具有很好的收敛性. 由于在这些系统中第 1 、2 能带间 的带隙是最宽的 ,因此我们只考虑了最低的完全带隙. 能带的频率用标度化圆频率ωa/ c 来表示 ,其中 a 为晶 格常数 , c 为基体水银中的波速. 带隙的大小表示为带隙宽度 (Δω) 与带隙中间频率 (ωg ) 的比值 (Δω/ωg ) , 即 带隙的相对宽度.