黑龙江省牡丹江一中2011届高三期末考试数学理

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黑龙江牡丹江一中2010—2011学年度高三上学期期末
数学（理）试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的。

）
1、若集合{}
1
A m
=，，集合{}
24
B=，，则“2
m=”是“{}4
A B=
”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2、函数
()
2
2
1
43
()
log
f x
x x
=
-+-
的定义域为（）
A．()()
1223
，，B．()()
13
-∞+∞
，，
C．()
13，D．[]
13，
3、数列{}n a中，12
37
a a
==
，，当1
n≥时，
2
n
a
+
等于
1
n n
a a
+
的个位数，则
2011
a等于（）A．1 B．3 C．7 D．9
4、若函数()
f x的导函数()243
f x x x
'=-+，则函数()1
f x+的单调递减区间是
（）
A．()
02，B．()
13，C．()
42
--
，D．()
31
--
，
5、已知2y x x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）
A ．
3
1或3 B ．
3
1 C ．
5
2或2 D ．
5
2
6、函数2
3
cos()sin(
)y x x π
π
=+
+-具有性质（ ）
A ．最大值为3，图象关于直线6
x π
=对称 B ．最大值为1，图象关于直线6
x π
=
对
称
C ．最大值为3，图象关于06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称
D ．最大值为1，图象关于06,π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
7、①点P 在A B C ∆所在的平面内，且(),()A P A B A C B P B A B C λμ=+=+
；②点P
为A B C ∆内的一点，且使得222
AP BP CP ++ 取得最小值；③点P 是A B C ∆所在平面内一点，且0PA PB PC ++=
，上述三个点P 中，是A B C ∆的重心的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8、设方程 2lg x
x -=的两个根为12x x 、，则（ ）
A ．120x x <
B ． 121x x =
C ．121x x >
D ． 1201x x <<9、双曲线()222
2
100,x y a b a
b
-
=>>的离心率是2，则
2
13b a
+的最小值为（ ）
A
．
3
B
．
3
C ．2
D ．1
10、已知函数112
2
()(sin cos )sin cos f x x x x x =
+-
-,则()f x 的值域是（ ）
A ．[]1,1-
B ．
,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．
1,2⎡-⎢⎣⎦
D ．
1,2⎡--⎢⎣⎦
11、已知函数()f
x 对任意的实数x y 、都有
23()()()()f x y f x f y y x y +=+++-，
且11()f =，若当2x ≥，且x N +∈时，不等式210()()()f x a x a ≥+-+恒成立，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≤
B ．5a <
C ．5a ≥
D ．5a >
12、已知12F F 、为中心在原点焦点在x 的椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以1F 为顶点，2
F 为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且12PF e PF =，则e 的值为
（ ）
A ．
3
B ．2-
C ．
2
D ．2-二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13、经过()65A ，、()01B ，两点，并且圆心在直线31090
x y ++=
的圆的方程是 。

14、若()23sin f
x x xf π⎛⎫'=+
⎪⎝⎭, 则33f f ππ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
与0的大小关系是 。

（填“>”或“<”或“=”） 15、已知动点(),P x y 在椭圆
2
2
125
16
x
y
+
=上，若()30A ，
，点M 满足1A M =，且0P M A M ⋅=
，则PM 的最小值是 。

16、若()y f x =的图象如图所示，定义()()0
x F x f t dt =
⎰
，[]01x ∈，。

则下列对()
F x 的性质描述正确的是 。

（1）()F x 是[]01，上的增函数；（2）()()F x f x '=； （3）()F x 是[]01，上的减函数；（4）[]001,x ∃∈使得()()01F f
x =。

三、解答题（本大题共有5个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本题满分10分）已知A B C ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
325
c o s a B ==
，。

（Ⅰ）若4b =，求sin A 的值； （Ⅱ）若A B C ∆的面积4A B C S ∆=，求,b c 的值。

18、（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()21n n S n a =+。

（Ⅰ）求n a 与1n a -的关系式，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和2222
3
1
1111
1
1
n n W a a a
+=
+
++
--- 。

19、（本题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同
学，15 位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析。

（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；
（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：
根据上表数据可知，变量y 与x 之间具有较强的线性相关关系，求出y 与x 的线性回
归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：y bx a ∧
=+，其中1
2
1
()()
()
n
i
i i n
i
i x
x y y b x
x ==--=-∑∑，
a y
b x =-； 参考数据：775.x =，84875.y =，
8
2
1
1050()i
i x
x =-≈∑，
8
1
688()()i
i i x
x y y =--≈∑
324.≈
214.≈
235.≈）
20、（本题满分12分）椭圆
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 的
直线l 与椭圆交于A B 、两点。

（Ⅰ）若点A 在圆2
2
2
x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1F A c =，求椭圆的离心率；
学生编号 1
2
3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
（Ⅱ）若函数0log (m y x m =
>且1)m ≠的图象，无论m 为何值时恒过定点
()b a ，，求22F A F B ⋅
的取值范围。

21、（本题满分14分）已知函数()1ln x f
x x ax
-=
+()0a >。

（Ⅰ）若函数()f
x 在[)1+∞，
上为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求()f
x 在1
22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值； （Ⅲ）当1a =时，求证：对大于1的任意正整数n ，都有11112
3
4
ln n n
>
+
+
++。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形A B C D
内接于O ，A B A D =，过A 点的切线交C B 的延长线于E
点。

求证：2AB BE CD =⋅。

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系于参数方程已知圆A ，其
圆心的极坐标为40(,)A ，半径为4。

（Ⅰ）求过极点O 的弦的中点的轨迹方程，并说明是什么曲线； （Ⅱ）已知直线l 过极点O ，且极坐标方程为3
π
θ=，求圆心A 到直线l 的距离。

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()215log ()f
x x x a =-+
--．
（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）当函数()f
x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围。

参考答案
1、D
2、A
3、A
4、A
5、B
6、 C
7、D
8、D
9、A 10、C
11、A 12、 A 13、()()2
2
7365x y -++= 14、> 15 16、（1）（2）
（4）
17、解：（I ）3005
cos ,B B π=
><<
∴45sin B ==
…………………………2分
由正弦定理得
sin sin a b
A
B
=
∴25
sin sin a B A b
=
=
…………………………4分
（II ）∵142
sin ABC S ac B ∆=
=∴5c = …………………………7分
由余弦定理得b =
∴b =
…………………………10分
18、（I ）()11
212n n
n n S n a S na --⎧=+⎪⎨=⎪⎩ ，两式相减得()121n n n a a n n -=≥-，…………………4分
()1
211
12
1
1
22112
1
n n
n n n n a a a a n
n n n a a n a a a a n n ----∴
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=≥=∴=-- ，…7分
（II ）()
1111131113
24
35
22212n W n n n n ⎡⎤
=
+
+
++
=
--⎢⎥⋅⋅⋅+++⎣⎦
……10分 ()()
2
35412n n n n +=
++
19、（I ）抽取女生数
25×8=540
人，男生数
3840
15=⨯…………………………1分
则共有5
3
2515C C 个不同样本…………………………3分 （II ）ξ的所有可能取值为012，
，…………………………4分 26
5688
20056
()A A P A ξ==
=，1116
2356
8
8
30156
()C C C A P A ξ==
=
，
2
6
368
8
6256
()A A P A ξ==
=
……7分
ξ的分布列为
ξ
1 2
p
56
20
56
30
56
6
20306301256
56
56
4
E ξ=⨯
+⨯
+⨯
=
…………………………9分
（Ⅲ）0655.b ≈，3411.a ≈（3409.a ≈或3410.a ≈也算正确）…………………11分
则线性回归方程为：06553411..y x =+…………………………12分 20、解:（I ）∵点A 在圆222x y c +=上，12A F F ∴∆为一直角三角形
11222||,||||F A c F F c
F A ==∴=
=
由椭圆的定义知：122AF AF a +=，2c a ∴+
=
1
c e a =
=
=
………………………………5分
（II ）∵函数log m y x = 的图象恒过点1(
∴11,,a b c =
== 点()()121010F F -，
，，，
①若A B x ⊥轴，则112
2
((,A B ---
∴222217
2242
222(,
(,F A F B F A F B =-=--
⋅=-=
…………7分 ②若A B 与x 轴不垂直，设直线A B 的斜率为k ，则A B 的方程为()1y k x =+
由22
1220
()y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得2222
124210()()k x k x k +++-=…………（*） 2
880,k ∆=+>∴ 方程（*）有两个不同的实根．
设点()()1122,A x y B x y ，则12x x ，是方程（*）的两个根
22
12122
2
4211212(),k
k x x x x k
k
-+=-
=
++ ………………9分
21122211(,),(,),F A x y F B x y =-=-
222
221212*********()()()()()F A F B x x y y k x x k x x k ⋅=--+=++-+++
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21471791111212122
212()()
()()()
k k
k k k k k
k
k
k --=++--
++==
-
++++
2
2
2
222
199121010122122
797122122
,,()
,()k k
k F A F B k +≥∴<
≤<
≤
++-≤⋅=-<+ ………………11分
由①②知227
12
F A F B -≤⋅≤ ………………………………12分
21、解：（I ）()()()2
110ln x ax f
x x f x a ax
ax
--'=
+∴=
> ， ……………1分
∵ 函数()f
x 在[)1+∞，
上为增函数 ∴ ()2
10ax f x ax
-'=≥对[)1x ∈+∞，
恒成立， ……………………2分
∴ 10ax -≥对[)1x ∈+∞，
恒成立，即1a x
≥对[)1x ∈+∞，
恒成立 ∴ 1a ≥ ……………………4分 （II ）当1a =时，()2
1x f x x
-'=
，
∴ 当112x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，时，()0f x '<，
故()f x 在1
12x ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
，上单调递减；
当(]12x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在(]12x ∈，
上单调递增， ………………6分 ∴ ()f
x 在区间1
22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，上有唯一极小值点，故()()10m in
f x f == ……7分
又 ()()3
111
316122222222222ln ln ln ln ln e f f f f -⎛⎫⎛⎫
=-=-+-=-= ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
，， ∵ 3
16e >， ∴ ()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
∴ ()f
x 在区间1
22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，上的最大值()1122m ax
ln f x f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
综上可知，函数()f
x 在1
22⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
，上的最大值是12ln -，最小值是0。

(9)
分
（Ⅲ）当1a =时，()()2
11ln x x f x x f x x
x
--'=
+=
，，故()f
x 在[)1+∞，
上为增函数。

当1n >时，令1n x n =
-，则1x >，故()()10f
x f >= ……………………11分
∴ 11101111
l n l n n
n n n n f n n n n n n -
⎛⎫
-=
+=-+> ⎪---⎝⎭
-即11ln
n n n
>-………12分 ∴ 213
14
11
122
3341l n ,l n l n l n n n n >>
>>- ，，， ∴23411111
2
3
1
2
3
4
ln ln ln ln n n n
++++>++++- …………………13分
∴ 1111
2
3
4ln n n
>
+
+
++ 即对大于1的任意正整数n ，都有11112
3
4
ln n n
>++++ (14)
分
22、证明：连接A C ，
E A 切O 于A ，
∴E A B A C B ∠=∠， …………………………3分
又A B A D =
∴A C D A C B ∠=∠
∴E A B A C D ∠=∠ …………………………5分
又四边形A B C D 内接于O ，
∴A B E D ∠=∠
∴A B E ∆∽C A D ∆…………………………7分 ∴
A B B E C D
DA
=，即A B D A B E C D ⋅=⋅，又A B A D = …………………………9分
∴2AB BE CD =⋅ …………………………10分
23、解：（Ⅰ）圆A 的极坐标方程为8cos ρθ=，
所以过极点的弦中点的轨迹极坐标方程为4cos ρθ=，…………………………3分 这是以极坐标（2，0）为圆心，半径为2的圆。

…………………………5分
（Ⅱ）因为直线l 过极点O ，且极坐标方程为3π
θ=，所以圆心A 直线l
的距离为
43sin π
=…………………………10分
24、解：（I ）函数的定义域满足150||||x x a -+-->，
即15||||,x x a -+-> 设()15||||g x x x =-+-
则()26
5154
15621()||||()()x x g x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≤⎩ …………………………3分 ()()24421m in m in ,log ()g x f x ==-= …………………………5分 （II ）由（1）知，()15||||g x x x =-+-的最小值为4。

150||||x x a -+-->，
4,a a ∴<∴的取值范围是()4-∞，…………………………10分。