现代谱估计1
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k 1 p
k rx ( m k )
k 1
p
方程称为线性预测的Wiener-Hopf方程。 将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出它们极其 相似。因为x(n)是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和 AR模型的阶次一样，那么，必然有
上面两式说明，一个p阶AR模型的p+1个参数(ς2，a1，…， ap)同样可用来构成一个p阶的最佳线性预测器。该预测器的最
小均方误差ρmin等于AR模型激励白噪声的能量(方差ς2)。
wk.baidu.com
反过来，若要求一AR模型的输出是同阶预测器所预测的 x(n)，那么该AR模型的系数应是线性预测器的系数，输入白噪 声的能量应等于ρmin。所以，AR模型和线性预测器是等价的，
由此可以看出，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。
若x(n)是由一p阶线性预测器所产生的输出，而x(n)又是 一个p阶的AR过程，那么
5．AR模型谱估计方法的不足 在实际运用时，发现AR模型在谱估计中存在一些缺点。有 些缺点和模型本身有关，有些则和采用的求解模型参数的方法 有关。 一个明显的缺点是AR谱的分辨率和求AR模型时所使用信号
的信噪比SNR有着密切的关系。
设x(n)为一AR(p)过程，并假定在获得x(n)的过程中混入 了方差为ς2w的观察噪声w(n)。这样，我们拟合一AR(p)过程实 际所用的数据将不是x(n)而是y(n)，y(n)=x(n)+w(n)，用p阶
现代功率谱估计
电子与信息工程学院
谢志远
12.1平稳随机信号的参数模型
引 言 由第11章的讨论可知，经典功率谱估计方法的方差性能较 差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的 求均值和求极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定数据窗以外的数据
全为零，对自相关法是假定在延迟窗以外的自相关函数全为零。
AR模型所得到的y(n)的功率谱为:
式中ς2u是AR(p)模型的激励白噪声u(n)的方差。u(n)和w(n) 不同，前者是建立模型所必须的，而后者是观察数据时所附加的。 由上式可以看出，y(n)的功率谱实际上由一个既有极点又有零点 的ARMA(p,p)模型来表征。由于零点的存在使谱的动态范围减小，
③若a1 ，a2 ，…，ap ，b1 ，b2 ，…，bq 不全为零，则(12.1.1)
式给出的模型称为自回归-移动平均模型，简称ARMA模型。显
然，ARMA模型是一个既有极点、又有零点的模型。
工程实际中所遇到的功率谱大体可分为三种，
“平谱”，即白噪声的谱；
“线谱”，这是由一个或多个纯正弦所组成的信号的功率谱。
函数的关系，也即AR模型的正则方程(normal equation)。
x ( n) ak x ( n k ) u ( n)
k 1
p
(12.1.6)
将方程(12.1.6)两边同乘以x(n+m)，并求均值，得
上述两式即是AR模型的正则方程，又称Yule—Walker方程。
系数矩阵不但是对称的，而且沿着和主对角线平行的任一条对
在经典谱估计的自相关法中，有
它是把|m|>p以外的自相关函数都视为零，其分辨率当然不可 避免地要受到窗函数的宽度(-p～+p)的限制。而AR模型谱对 应的自相关函数在|m|>p后并不等于零，它可以由(12.3.2)式 外推，因此避免了窗函数的影响。这是AR模型谱的分辨率高的 一个主要原因。 AR模型谱估计的高分辨率特性也可从AR模型和最大熵谱
②由已知的x(n)，或其自相关函数rx(m)来估计H(z)的参数。
③由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。
对一个研究对象建立数学模型是现代工程中常用的方法，
它一方面使所研究的对象有一个简洁的数学表达式，另一方面，
通过对模型的研究，可得到更多的参数，也可使我们对所研究 的对象有更深入的了解。 在图12．1中，H(z)是一个因果的线性移不变离散时间系 统，当然，它应该是稳定的，其单位抽样响h(n)是确定性的。 输出序列x(n)可以是平稳的随机序列，也可以是确定性的时间 序列。若x(n)是确定性的，那么u(n)是一个冲激序列，若x(n)
介于二者之间的是既有峰点又有谷点的谱称为“ARMA”谱。 由于ARMA模型是一个极-零模型，它易于反映功率谱中的峰值 和谷值。不难想象，AR模型易反映谱的中峰值，而MA模型易反
映谱中的谷值。
AR，MA和ARMA是功率谱估计中最主要的参数模型。
AR模型的正则方程是一组线性方程，
MA和ARMA模型是非线性方程。
计的分辨率反比于使用的信号的长度。
现代谱估计的分辨率可以不受此限制。这是因为，对给定的 数据xN(n)，n=O，1，…，N-1，虽然其估计出的自相关函数也是 有限长，即m=-(N-1)～(N-1)，但现代谱估计的一些方法隐含着 数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度。
例如，AR模型是在最小均方意义上对给定的数据的拟合，即
估计的关系来加以说明,这里不再赘述。
3．AR谱的匹配性质
在理论上，我们可以用一个全极点的模型来近似一个已知
的Px(ejω)，达到任意的精度。也就是说，PAR(ejω)和Px(ejω)具
有相匹配的一些性质。从整体上看，PAR(ejω)将均匀地和Px(ejω)
相跟随。PAR(ejω)将在Px(ejω)的上、下波动。有关匹配性质的 证明，书上有详细的说明，这里不再赘述。 4．AR谱的统计特性 严格地分析AR谱的方差比较困难，目前尚未有一个解析 表达式。粗略地讲，AR谱的方差反比于数据xN(n)的长度N和信 噪比SNR。
AR模型估计出的功率谱有一系列好的性质，现分别讨论之。 1、AR谱的平滑特性
由于AR模型是一个有理分式，因而估计出的谱要比经典法的
谱平滑。图12.3.1是对第11章所给试验数据做出的功率谱估计，
显然，AR谱比周期图谱平滑得多。
2、AR谱的分辨率 由信号的时宽-带宽积(见3.7.3节)，长度为N的信号，若抽 样间隔为T，，那么由DFT做谱分析时，其分辨率粗略地为fs/N。 在讨论经典谱估计的分辨率时，我们指出，分辨率正比于 2πk/N，也即窗函数主瓣的宽度，2π对应fs。总之，经典谱估
x (n)
是对真实值x(n)的预测，那么
根据正交原理，为求得使ρ最小的α
k
k=1,2,…p，应
使x(n-p)，…，x(n-1)和预差误差序列e(n)正交，即
E{x(n m) x(n)} E{x(n m) x(n)} E{x(n m) [ k x(n k )]
功率谱。
讨论:
此三式给出的模型称为自回归(auto-regressive)模型，简 称AR模型，它是一个全极点的模型。“自回归"的含意是：该模 型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。
此三式给出的模型称为移动平均(moving-average)模型，简 称MA模型，它是一个全零点的模型。
k 0
p
当|m|>p时，自相关函数ra(m)可以用此式外推，因此 (12.3.2)式的第二个式子得证。此式即是(12.2.3)式的YuleWalker方程，不过此处是用ra(m)代替了真实的自相关函数rx(m)。 但rx(m)和ra(m)在m=O，1，…，p时用来产生同样一组自回归模型 的参数，因此，必有rx(m)= ra(m)，m=1，2，…，p，这样，
这样， x (n) 可能达到的长度是从O至(N-1+p)。在此之外，若用
x (n) 代替x(n)，还可继续外推。
AR谱PAR(ejω )对应一个无穷长的自相关函数，记为ra(m)，即
(12.3.2) 证明：
两边同取傅里叶反变换，考虑到h(n)是因果序列，且h(O)=1，
p a (k )ra (m k )
角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz矩阵。若x(n) 是复过程，那么rX(m)= rX*(-m)，系数矩阵是Hermitian对称的 Toeplitz矩阵。
线性预测与AR模型的关系
设x(n)在n时刻之前的p个数据{x(n-p)，x(n-p+1)，…， x(n-1)}已知，我们希望利用这p个数据来预测n时刻的值x(n)。 预测的方法很多，现在我们用线性预测的方法来实现。 记
从而降低了分辨率。ς2w越大，即y(n)的信噪比SNR越小，谱的分
辨率降低的越明显。
其二，如果x(n)是含有噪声的正弦信号，在应用时发现， 谱峰的位置易受x(n)的初相位的影响，且在有的算法中还可能
出现“谱线分裂”的现象，即在本来应只有一个谱线的位置附
近分裂成两个谱线。通过算法的改进和其它一些措施可以较好 地克服这些缺点。 其三，谱估计的质量受到阶次p的影响。p选得过低，谱太 平滑，反映不出谱峰。p选得过大，可能会产生虚假的峰值。 当然，通过合适的选择阶次可以克服这一缺点。
由于AR模型具有一系列好的性能，因此，是被研究最多并获
得广泛应用的一种模型。
本章将较为详细地讨论AR模型参数的计算、谱的性能及与其
它算法(如线性预测，最大熵谱估计等)的关系。
在最后给出MA模型及ARMA模型谱估计算法。
12．2 AR模型的正则方程与参数计算
假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方 差为ς2，现在，我们希望建立AR模型的参数ak和x(n)的自相关
是随机的，那么u(n)应是一个白噪声序列。
不论x(n)是确定性信号还是随机信号，对图12．1．1的线
性系统，u(n)和x(n)之间总有如下的输入、输出关系：
假定u(n)是一个方差为ς2。的白噪声序列，
如果激励白噪声的方差ς2 。及模型的参数a1 ，a2 ，…， ap，b1，b2，…，bq已知，那么由上式可求出输出序列x(n)的
即p阶线性预测器的输出是一个白噪序列。所谓x(n)是一个AR(p)
过程，是指x(n)是由u(n)激励一个p阶的AR模型所产生的。若采
用高于p阶的AR模型，当k>p时，必有ak=O。由于滤波器A(z)能 将x(n)变成一个白噪声u(n)(即e(n))，所以我们称A(z)为白化 滤波器，或反滤波器。AR模型、白化滤波器及线性预测器分别 示于图12.2.1的(a)、(b)和(c)。
Levinson-Durbin算法从低阶开始递推，直到阶次p，给出了在每 一个阶次时的所有参数，
由于线性预测的最小均方误差总是大于零的，必有:
如果出现 k m 1 ，那么递推应该停止。由反射系数的这一 特点，我们可得出预测误差功率的一个很重要的性质：
一个AR(p)过程x(n)，我们可等效地用三组参数来表示它：
上面的递推关系是建立在x(n)的前p+1个自相关函数已知的
基础上的，在实际工作中，我们往往并不能精确地知道x(n)的 自相关函数，而知道的仅仅是N点数据，即xN(n)，n=0，1，…， N-1，为此，我们可以：
对ω在单位圆上均匀抽样，设分点为N个，则得到离散谱
12.3 AR模型谱估计的性质及阶次p的选择 12.3.1 AR模型谱估计的性质
(12.3.2)式的第一个式子得证。
(12.3.2)式称为AR模型的“自相关函数”匹配性质。我们 用rx(0)，rx(1)，…，rx(p)这p+1个值可以表征一个p阶的AR模型， 由此AR(p)模型得到的谱PAR(ejω)对应一个无穷长的自相关序列 ra(m)，ra(m)在m=O，1，…，p时完全等于rx(m)，而在m>p时， ra(m)是由(12.3.2)式作外推而得到的。
当然，这种假定是不符合实际的。正是由于这些不符合
实际的假设产生了经典谱估计较差的分辨率。
现代谱估计技术的目标都是旨在努力改善谱估计的分辨率。
参数模型法是现代谱估计的主要内容，也是本章讨论的主题。
参数模型法的思路是：
①假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列u(n)激励一个线性
系统H(z)的输出，如图12．1．1所示．
Levinson-Durbin快速算法
定义am(k)为p阶AR模型在阶次为m时的第k个系数，k=1， 2，…，p，ρm 为m阶时的前向预测的最小误差功率(此处省去 “min”ρm=ςm2)。m=1时，有:
再定义第m阶时的第m个系数，即am(m)为为反射系数，那么， 由Toeplitz矩阵的性质，可得到如下Levinson-Durbin递推算法：
k rx ( m k )
k 1
p
方程称为线性预测的Wiener-Hopf方程。 将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出它们极其 相似。因为x(n)是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和 AR模型的阶次一样，那么，必然有
上面两式说明，一个p阶AR模型的p+1个参数(ς2，a1，…， ap)同样可用来构成一个p阶的最佳线性预测器。该预测器的最
小均方误差ρmin等于AR模型激励白噪声的能量(方差ς2)。
wk.baidu.com
反过来，若要求一AR模型的输出是同阶预测器所预测的 x(n)，那么该AR模型的系数应是线性预测器的系数，输入白噪 声的能量应等于ρmin。所以，AR模型和线性预测器是等价的，
由此可以看出，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。
若x(n)是由一p阶线性预测器所产生的输出，而x(n)又是 一个p阶的AR过程，那么
5．AR模型谱估计方法的不足 在实际运用时，发现AR模型在谱估计中存在一些缺点。有 些缺点和模型本身有关，有些则和采用的求解模型参数的方法 有关。 一个明显的缺点是AR谱的分辨率和求AR模型时所使用信号
的信噪比SNR有着密切的关系。
设x(n)为一AR(p)过程，并假定在获得x(n)的过程中混入 了方差为ς2w的观察噪声w(n)。这样，我们拟合一AR(p)过程实 际所用的数据将不是x(n)而是y(n)，y(n)=x(n)+w(n)，用p阶
现代功率谱估计
电子与信息工程学院
谢志远
12.1平稳随机信号的参数模型
引 言 由第11章的讨论可知，经典功率谱估计方法的方差性能较 差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的 求均值和求极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定数据窗以外的数据
全为零，对自相关法是假定在延迟窗以外的自相关函数全为零。
AR模型所得到的y(n)的功率谱为:
式中ς2u是AR(p)模型的激励白噪声u(n)的方差。u(n)和w(n) 不同，前者是建立模型所必须的，而后者是观察数据时所附加的。 由上式可以看出，y(n)的功率谱实际上由一个既有极点又有零点 的ARMA(p,p)模型来表征。由于零点的存在使谱的动态范围减小，
③若a1 ，a2 ，…，ap ，b1 ，b2 ，…，bq 不全为零，则(12.1.1)
式给出的模型称为自回归-移动平均模型，简称ARMA模型。显
然，ARMA模型是一个既有极点、又有零点的模型。
工程实际中所遇到的功率谱大体可分为三种，
“平谱”，即白噪声的谱；
“线谱”，这是由一个或多个纯正弦所组成的信号的功率谱。
函数的关系，也即AR模型的正则方程(normal equation)。
x ( n) ak x ( n k ) u ( n)
k 1
p
(12.1.6)
将方程(12.1.6)两边同乘以x(n+m)，并求均值，得
上述两式即是AR模型的正则方程，又称Yule—Walker方程。
系数矩阵不但是对称的，而且沿着和主对角线平行的任一条对
在经典谱估计的自相关法中，有
它是把|m|>p以外的自相关函数都视为零，其分辨率当然不可 避免地要受到窗函数的宽度(-p～+p)的限制。而AR模型谱对 应的自相关函数在|m|>p后并不等于零，它可以由(12.3.2)式 外推，因此避免了窗函数的影响。这是AR模型谱的分辨率高的 一个主要原因。 AR模型谱估计的高分辨率特性也可从AR模型和最大熵谱
②由已知的x(n)，或其自相关函数rx(m)来估计H(z)的参数。
③由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。
对一个研究对象建立数学模型是现代工程中常用的方法，
它一方面使所研究的对象有一个简洁的数学表达式，另一方面，
通过对模型的研究，可得到更多的参数，也可使我们对所研究 的对象有更深入的了解。 在图12．1中，H(z)是一个因果的线性移不变离散时间系 统，当然，它应该是稳定的，其单位抽样响h(n)是确定性的。 输出序列x(n)可以是平稳的随机序列，也可以是确定性的时间 序列。若x(n)是确定性的，那么u(n)是一个冲激序列，若x(n)
介于二者之间的是既有峰点又有谷点的谱称为“ARMA”谱。 由于ARMA模型是一个极-零模型，它易于反映功率谱中的峰值 和谷值。不难想象，AR模型易反映谱的中峰值，而MA模型易反
映谱中的谷值。
AR，MA和ARMA是功率谱估计中最主要的参数模型。
AR模型的正则方程是一组线性方程，
MA和ARMA模型是非线性方程。
计的分辨率反比于使用的信号的长度。
现代谱估计的分辨率可以不受此限制。这是因为，对给定的 数据xN(n)，n=O，1，…，N-1，虽然其估计出的自相关函数也是 有限长，即m=-(N-1)～(N-1)，但现代谱估计的一些方法隐含着 数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度。
例如，AR模型是在最小均方意义上对给定的数据的拟合，即
估计的关系来加以说明,这里不再赘述。
3．AR谱的匹配性质
在理论上，我们可以用一个全极点的模型来近似一个已知
的Px(ejω)，达到任意的精度。也就是说，PAR(ejω)和Px(ejω)具
有相匹配的一些性质。从整体上看，PAR(ejω)将均匀地和Px(ejω)
相跟随。PAR(ejω)将在Px(ejω)的上、下波动。有关匹配性质的 证明，书上有详细的说明，这里不再赘述。 4．AR谱的统计特性 严格地分析AR谱的方差比较困难，目前尚未有一个解析 表达式。粗略地讲，AR谱的方差反比于数据xN(n)的长度N和信 噪比SNR。
AR模型估计出的功率谱有一系列好的性质，现分别讨论之。 1、AR谱的平滑特性
由于AR模型是一个有理分式，因而估计出的谱要比经典法的
谱平滑。图12.3.1是对第11章所给试验数据做出的功率谱估计，
显然，AR谱比周期图谱平滑得多。
2、AR谱的分辨率 由信号的时宽-带宽积(见3.7.3节)，长度为N的信号，若抽 样间隔为T，，那么由DFT做谱分析时，其分辨率粗略地为fs/N。 在讨论经典谱估计的分辨率时，我们指出，分辨率正比于 2πk/N，也即窗函数主瓣的宽度，2π对应fs。总之，经典谱估
x (n)
是对真实值x(n)的预测，那么
根据正交原理，为求得使ρ最小的α
k
k=1,2,…p，应
使x(n-p)，…，x(n-1)和预差误差序列e(n)正交，即
E{x(n m) x(n)} E{x(n m) x(n)} E{x(n m) [ k x(n k )]
功率谱。
讨论:
此三式给出的模型称为自回归(auto-regressive)模型，简 称AR模型，它是一个全极点的模型。“自回归"的含意是：该模 型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。
此三式给出的模型称为移动平均(moving-average)模型，简 称MA模型，它是一个全零点的模型。
k 0
p
当|m|>p时，自相关函数ra(m)可以用此式外推，因此 (12.3.2)式的第二个式子得证。此式即是(12.2.3)式的YuleWalker方程，不过此处是用ra(m)代替了真实的自相关函数rx(m)。 但rx(m)和ra(m)在m=O，1，…，p时用来产生同样一组自回归模型 的参数，因此，必有rx(m)= ra(m)，m=1，2，…，p，这样，
这样， x (n) 可能达到的长度是从O至(N-1+p)。在此之外，若用
x (n) 代替x(n)，还可继续外推。
AR谱PAR(ejω )对应一个无穷长的自相关函数，记为ra(m)，即
(12.3.2) 证明：
两边同取傅里叶反变换，考虑到h(n)是因果序列，且h(O)=1，
p a (k )ra (m k )
角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz矩阵。若x(n) 是复过程，那么rX(m)= rX*(-m)，系数矩阵是Hermitian对称的 Toeplitz矩阵。
线性预测与AR模型的关系
设x(n)在n时刻之前的p个数据{x(n-p)，x(n-p+1)，…， x(n-1)}已知，我们希望利用这p个数据来预测n时刻的值x(n)。 预测的方法很多，现在我们用线性预测的方法来实现。 记
从而降低了分辨率。ς2w越大，即y(n)的信噪比SNR越小，谱的分
辨率降低的越明显。
其二，如果x(n)是含有噪声的正弦信号，在应用时发现， 谱峰的位置易受x(n)的初相位的影响，且在有的算法中还可能
出现“谱线分裂”的现象，即在本来应只有一个谱线的位置附
近分裂成两个谱线。通过算法的改进和其它一些措施可以较好 地克服这些缺点。 其三，谱估计的质量受到阶次p的影响。p选得过低，谱太 平滑，反映不出谱峰。p选得过大，可能会产生虚假的峰值。 当然，通过合适的选择阶次可以克服这一缺点。
由于AR模型具有一系列好的性能，因此，是被研究最多并获
得广泛应用的一种模型。
本章将较为详细地讨论AR模型参数的计算、谱的性能及与其
它算法(如线性预测，最大熵谱估计等)的关系。
在最后给出MA模型及ARMA模型谱估计算法。
12．2 AR模型的正则方程与参数计算
假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方 差为ς2，现在，我们希望建立AR模型的参数ak和x(n)的自相关
是随机的，那么u(n)应是一个白噪声序列。
不论x(n)是确定性信号还是随机信号，对图12．1．1的线
性系统，u(n)和x(n)之间总有如下的输入、输出关系：
假定u(n)是一个方差为ς2。的白噪声序列，
如果激励白噪声的方差ς2 。及模型的参数a1 ，a2 ，…， ap，b1，b2，…，bq已知，那么由上式可求出输出序列x(n)的
即p阶线性预测器的输出是一个白噪序列。所谓x(n)是一个AR(p)
过程，是指x(n)是由u(n)激励一个p阶的AR模型所产生的。若采
用高于p阶的AR模型，当k>p时，必有ak=O。由于滤波器A(z)能 将x(n)变成一个白噪声u(n)(即e(n))，所以我们称A(z)为白化 滤波器，或反滤波器。AR模型、白化滤波器及线性预测器分别 示于图12.2.1的(a)、(b)和(c)。
Levinson-Durbin算法从低阶开始递推，直到阶次p，给出了在每 一个阶次时的所有参数，
由于线性预测的最小均方误差总是大于零的，必有:
如果出现 k m 1 ，那么递推应该停止。由反射系数的这一 特点，我们可得出预测误差功率的一个很重要的性质：
一个AR(p)过程x(n)，我们可等效地用三组参数来表示它：
上面的递推关系是建立在x(n)的前p+1个自相关函数已知的
基础上的，在实际工作中，我们往往并不能精确地知道x(n)的 自相关函数，而知道的仅仅是N点数据，即xN(n)，n=0，1，…， N-1，为此，我们可以：
对ω在单位圆上均匀抽样，设分点为N个，则得到离散谱
12.3 AR模型谱估计的性质及阶次p的选择 12.3.1 AR模型谱估计的性质
(12.3.2)式的第一个式子得证。
(12.3.2)式称为AR模型的“自相关函数”匹配性质。我们 用rx(0)，rx(1)，…，rx(p)这p+1个值可以表征一个p阶的AR模型， 由此AR(p)模型得到的谱PAR(ejω)对应一个无穷长的自相关序列 ra(m)，ra(m)在m=O，1，…，p时完全等于rx(m)，而在m>p时， ra(m)是由(12.3.2)式作外推而得到的。
当然，这种假定是不符合实际的。正是由于这些不符合
实际的假设产生了经典谱估计较差的分辨率。
现代谱估计技术的目标都是旨在努力改善谱估计的分辨率。
参数模型法是现代谱估计的主要内容，也是本章讨论的主题。
参数模型法的思路是：
①假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列u(n)激励一个线性
系统H(z)的输出，如图12．1．1所示．
Levinson-Durbin快速算法
定义am(k)为p阶AR模型在阶次为m时的第k个系数，k=1， 2，…，p，ρm 为m阶时的前向预测的最小误差功率(此处省去 “min”ρm=ςm2)。m=1时，有:
再定义第m阶时的第m个系数，即am(m)为为反射系数，那么， 由Toeplitz矩阵的性质，可得到如下Levinson-Durbin递推算法：