三重积分的变量代换

∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( y, x )dσ .
D D
例9. 设 连续函数 f > 0, D = [a , b] × [a , b], 则 f ( x) dxdy ≥ (b − a ) 2 . ∫∫ f ( y ) D 1 f ( x) f ( y) f ( x) 由轮换对称性, 证: 由轮换对称性 ∫∫ f ( y ) dxdy = 2 ∫∫ f ( y ) + f ( x ) dxdy D D
(a1 x + b1 y + c1 z )2 + (a 2 x + b2 y + c2 z ) 2 + ( a 3 x + b3 y + c3 z ) 2 = h 2 ,
a1 a3
b1 b3
c1 c3
其中 ∆ := a 2 b2 c2 ≠ 0. 解: 令 u = a1 x + b1 y + c1 z , v = a2 x + b2 y + c2 z , w = a 3 x + b3 y + c3 z , 则
dxdydz
r d r dθ dz
球面坐标系 r 2 sinϕ dr dϕ dθ 变量可分离. * 说明: 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 换元积分公式: 换元积分公式
∫∫∫Ω f (x, y, z) dxdydz = ∫∫∫Ω
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*
F(u, v, w) J dudvdw
对应雅可比行列式为 J = ∂(x, y, z) ∂(u, v, w)
பைடு நூலகம்
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例4. 计算三重积分 与球面 解: 在球面坐标系下
其中Ω 所围立体.
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤θ ≤ 2π
∴
r =R
∫∫∫Ω
2π 0
( x2 + y2 + z2 )dxdydz
π
0
o
x
y
= ∫ dθ ∫ 4 sinϕ dϕ ∫
1 5 = π R (2 − 2) 5
2
∴ d v = r 2 sinϕd r dϕ dθ
因此有
Ω′
∫∫∫ f ( x, y, z)dxd ydz
Ω
= ∫∫∫ f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ )r 2 sinϕ d r dϕ dθ .
适用范围: 适用范围 1) 积分域 积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面; 2) 被积函数 x2+y2+z2 一类式子 . 被积函数含 .
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y θ (x, y,0) x r
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o
Q J (r ,θ , z ) = sin θ 0
cos θ
− r sin θ 0 r cos θ 0 = r, 0 1
∴ d v = r d r dθ d z
因此
∫∫∫ f ( x, y, z)dxd ydz
Ω
适用范围: 适用范围 1) 积分域 积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分) ; 2) 被积函数 被积函数中含有x2+y2(相应地, y2+z2, x2+z2)形式.
若曲面 F ( x , y , z ) = 0 中 x 或 y , 或 z）以偶次方形式出现， （ 以偶次方形式出现， 相应地） 则曲面所围立体关于 yz（或 xz , 或 xy , 相应地）面对称 .
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例５ 利用对称性简化计算 z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz Ω Ω = {( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}. 其中积分区域
Ω: 0 ≤ r ≤ a 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2, 0 ≤θ ≤ 2π
利用对称性, 所求立体体积为
V = ∫∫∫ d v
= 4∫ 2 dθ ∫ 2 sinϕ dϕ∫
0 0
r = a 3 cos ϕ
z a
π
Ω
π
2 3 2 1 3 = π a ∫ sinϕ cosϕ dϕ = π a 0 3 3 dv = r2 sinϕdrdϕ dθ
ρ = r sinϕ z = r cos ϕ
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sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ J (r ,θ , ϕ ) = sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ cos ϕ − r sin ϕ
− r sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ 0
= r sin ϕ ,
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π
a 3 cosϕ 2 r dr 0
ϕr
θ x
y
轮换对称性：
依次轮换,表达式 若积分区域 的表达式中将 x, y, z 依次轮换 表达式 不变,则称 轮换对称. 不变 则称 关于 x, y, z 轮换对称 此时有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫∫ f ( y, z , x )dv = ∫∫∫ f ( z , x , y )dv .
( 3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一对一的，则有 是一对一的，
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f [ x(u, v , w ), y(u, v , w ), z(u, v , w )] J dudvdw .
Ω Ω′
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求由下面方程表示的曲面所围立体的体积: 例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积
解: 在柱面坐标系下
z
h
r x dr r2 d z θ 原式 = ∫ d ∫0 2 0 1+ r 4 dv = r d r dθ dz 2 h r r2 (h − ) dr = 2π ∫ 2 0 1+ r 4
2 h
2π
∫
h
o
y
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2. 利用球坐标计算三重积分
柱 标 设M(x, y, z) ∈R3, 其 坐 为(ρ,θ, z), 令 OM = r, ∠ZOM = ϕ, 则 r,θ ,ϕ) 就称为点M 的球坐标. (
4π 3 1 ∴ V= ∫∫∫2dudvdw = 3 | ∆ | h . | ∆ | u 2 +v 2 + w ≤h2
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∂( x, y, z ) J= = ∂ ( u, v , w )
∆ ≠ 0.
−1
1. 利用柱坐标计算三重积分
r , （ 设M(x, y, z) ∈R3, 将x, y用极坐标 ,θ代替 则 r,θ, z)
Ω Ω Ω
例8. 设Ω是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的 区域, 求 I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv .
Ω
由轮换对称性, 解: 由轮换对称性
I = 3 ∫∫∫ xdv = 3
Ω
∫
1
0
xdx ∫
1− x
0
dy ∫
1− x − y
0
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dz = K
结束
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说明：二重积分也有轮换对称性. 说明：二重积分也有轮换对称性 依次轮换,表达式不 若积分区域 D 的表达式中将 x, y 依次轮换 表达式不 轮换对称. 变,则称 D 关于 x, y 轮换对称 此时有 则称
三重积分的变量代换 柱面坐标代换 球面坐标代换 三重积分的对称性
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一、三重积分的换元法
上连续， 定理 设 f ( x , y , z ) 在 R 3中的有界闭区域 Ω 上连续，变换 T : x = x( u, v , w ), y = y( u, v , w ), z = z ( u, v , w )将 uvw 空间中的 闭区域 Ω′ 变为 xyz 空间中的 Ω，且满足 (1) x ( u, v , w ), y( u, v , w ), z ( u, v , w ) 在 Ω′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 Ω ′ 上雅可比式 J ( u, v , w ) = ∂ ( x, y, z ) ≠ 0; ∂ ( u, v , w )
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
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例 6 计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中 Ω 是由抛物
r ( 2r cos θ + z )dz
2 2 2
π = ( 90 2 − 89). 60
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(x2 + y2 + z2 )2 = a3z (a > 0)所围立体体积. 例7.求曲面
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
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二、利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： 使用对称性时应注意： １.积分区域关于坐标面的对称性； ２.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域 Ω关于 xoy平面对称，且被积 函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为零，若 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重积分为 Ω 在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
2
面 z = x 2 + y 和球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2所围成的空 间闭区域.
解
Ω 2
Q ( x + y + z)
2 2 2
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx )
的奇函数, 其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 zox 面对称 ∴
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
y = r sinθ
x = r cosθ
0 ≤ r < +∞ 0 ≤ θ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
z
z=z
z
M(x, y, z)
坐标面分别为
r = 常数
圆柱面 半平面 平面
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θ = 常数
z =常 数
Ω
y
= ∫ dθ
2 0
π
∫
2cosθ
0
r dr
2
∫ zdz
0
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a
2 x r = 2cosθ
dv = r d r dθ dz
8 3 4a2 π 2 3 = ∫0 cos θ dθ = 9 a 3
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例3. 计算三重积分
其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
直角坐标与球面坐标的关系
x = rsinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cos ϕ
坐标面分别为
0 ≤ r < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π 0 ≤ϕ ≤π
球面 半平面 锥面
z z
ϕr o ρ xθ
M
y
r =常 数
θ = 常数 ϕ = 常数
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M(r,θ,ϕ)
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z = rc cosϕ
x = ra sinϕ cosθ y = rb sinϕ sinθ
0 ≤ r < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π 0 ≤ϕ ≤π
内容小结
坐标系 直角坐标系 柱面坐标系 体积元素 适用情况 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或
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R 4 r dr 0
dv = r2 sinϕ drdϕ dθ
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3. 广义球坐标变换
直角坐标与广义球坐标的关系
J (r , θ , ϕ ) = abc r 2 sin ϕ
x2 y2 z 2 例13.3.9. 椭球 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积 a b c 2π 1 π 4 2 V = abc ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r dr = πabc . 0 0 0 3
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例2. 计算三重积分
其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.
0 ≤ r ≤ 2cosθ z a 解: 在柱面坐标系下 Ω: 0 ≤θ ≤ π 2 0≤ z ≤a o 2
原式= ∫∫∫ z r d r dθ d z
Ω
= ∫∫∫ ( 2 x 2 + z 2 )dxdydz ,
Ω
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在柱面坐标下： 在柱面坐标下：
0 ≤ θ ≤ 2 π,
0 ≤ r ≤ 1,
r ≤ z ≤ 2− r ,
2 2
投影区域 D xy ： x 2 + y 2 ≤ 1,
I = ∫ dθ ∫ dr ∫ 2
0 0 r
2π
1
2− r 2
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∫∫∫ ( xy + yz )dv = 0 ,
Ω
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同理 Q zx 是关于 x 的奇函数, 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 yoz 面对称
∴
∫∫∫ xzdv = 0, Ω
2
由对称性知
则I =
∫∫∫ x dv = ∫∫∫ y dv ,
2 Ω Ω
( x + y + z ) 2 dxdydz ∫∫∫