推广的罗尔定理的证明

推广的罗尔定理

设函数()f x 在(,)a +∞上可导，且满足 lim ()lim ()x x a f x f x A +→+∞

→==(有限或为±∞)， 则必存在(,+)a ξ∈∞，使得()=0f ξ'.

（1） A 为有限数情况

证明1： 若()f x 恒等于A ，则()=0f x '，(,+)a ξ∞可以取中的任何值，都有()=0f ξ'. 若()f x 不恒等于A ，首先作变量代换， 令tan ,(arctan ,)2

x t t a π=∈，则()(tan )(),(arctan ,)2f x f t g t t a π

→=∈ ----------- 这一步把无穷区间转化为有限区间 再构造辅助函数()(arctan ,)2()arctan 2

g t t a F t A t a t ππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩和, -------- 这一步把开区间转化为闭区间 显然()F t 在[arctan ,

]2a π上满足罗尔定理的三个条件，所以(arctan ,)2a πη∃∈，使得()=0F η'， 由于在(arctan ,)2a π

上，()=g ()F t t ''，因而()=g ()=0F ηη''.

2()=[(tan )](tan )sec g t f t f t t '''=，故2()(tan )sec =0g f ηηη''=，由于在(arctan ,)2

a π上， 2sec 0η≠，(221sec 0,(arctan ,)(,)cos 222

a πππηηη=≠∈⊂-), 所以(tan )=0f η'， 令=tan (,)a ξη∈+∞，则有()=0f ξ'. 证毕.

证明2：若()f x 恒等于A ，则()=0f x '，(,+)a ξ∞可以取中的任何值，都有()=0f ξ'. 若()f x 不恒等于A ，则存在0(,)x a ∈+∞，使得0()f x A ≠，不妨设0()f x A >(对0()f x A <

的情形同理可证)，由于lim ()lim ()x x a f x f x A +→+∞

→==，且()f x 在(,)a +∞上连续，则一定存在1020(,),(,)x a x x x ∈∈+∞使得012()()()2

f x A f x f x +==，任意取定实数μ，使其满足00()+()2

f x A f x μ<<，显然()f x 在1002[,],[,]x x x x 上连续，在这两个区间上分别应用介值定理，得到110202(,),(,)x x x x ηη∈∈使得12()()f f ηημ==，最后在12[,]ηη上应用罗尔定理，得到12(,)(,+)a ξηη∃∈⊂∞，使得()=0f ξ'.

（2） A =+∞的情况（A =-∞的情况同理可证）

由于lim ()lim ()+x x a f x f x +→+∞

→==∞，取定00(,)()x a f x μ∈+∞>及， 则由于()f x 在(,)a +∞上连续，故1020(,),(,)x a x x x ∃∈∈+∞，使12()()f x f x μ==， 在闭区间上12[,]x x 上对()f x 应用罗尔定理，12(,)(,+)x x a ξ∃∈⊂∞，使得()=0f ξ'.

注： 若将区间(,)a +∞变为(,)-∞+∞，只需将证明1的变换改为tan ,(,)22x t t ππ=∈-， 其余不变。

推广的罗尔定理以后在其它命题的证明中可以直接当结论用。