桁架弹塑性分析..
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§2.4 拉伸和压缩杆系的弹塑性分析
弹性极限载荷（屈服载荷）：结构出现塑性变形时的载荷 塑性极限载荷（极限载荷）：使整个结构屈服，从而丧失 承载能力时的载荷
s
理想弹塑性材料
当 s时， E , 当 s时， s sign
o
s
以一次超静定三杆桁架为例进行弹塑性分析
A P
A
加载 步2
yl
yl
A
xl
路径2: 水平载荷和竖向载荷成比例加载至极限状态
B C D
A
tan 2 sin
F
• 路径1：中间态由前述分析，知
1 2 3 s ,
yl
s
E cos
2
l
对加载步2，如果可实现，则必然存在竖向卸载。设此过程中竖向载 荷增量为 P ，水平载荷增量为 Q ，相应地各杆应变增量为
3
P / Pe 1 2 E cos
3
s >0
由于
ir ir / E ip
可见，残余变形并不一定 等于塑性应变
• 水平加载
平衡方程
F1 sin F3 sin Q F1 cos F3 cos F2 0
B
D
C
A
Q
几何协调
l1 l3 x sin l 2 0
卸载： 杆1，2和3均发生弹性变形。设卸载量为 P
2 y P A(1 2 cos )
3
,
1 3
P cos2 A(1 2 cos )
3
,
Pl EA(1 2 cos3 )
Pl
3
杆中应力
2 s
P A(1 2 cos )
物理方程
Fi EAli / li
• 水平加载
F1 F3 Q / 2 sin , F2 0,
B
D
C
1 3 Q / 2 A sin , 2 0
A
Q
x l1 / sin Ql /(2EAsin2 cos )
Q 2 s A sin Qe
F2
P 1 2 cos3
F2 F1 F3
载荷增加时，杆2首先屈服，此时σ2＝σs，1、3杆仍处于弹性状态。
F2 s A
屈服载荷Pe：
Pe 1 2 cos3
B l 1 D C 3
Pe s A(1 2 cos3 )
s A
θ θ A P
超静定结构→静定结构
当
杆1和3进入塑性变形状态
Ql Qe
由于杆2始终不受力，此时继续加载，变形无限制。故
x s l1 / sin
x s l /(E sin cos )
• 不同加载路径的影响
路径1: 加竖向载荷至极限状态，保持竖向位移不变，再加水平载荷至极限状态
B C D 加载 步1 B C D
2
E
l
Pl EA(1 2 cos )
3
ye
s
E
l
P s A l1 1l1 1 l y l 2 3 cos cos E cos 2EAcos
P=Pl时
s l1 1 3 s l / cos E
yl / ye
1 cos2
yl
s l1 l 2 cos E cos
Pl Pe
当P<Pe时，三杆处于弹性状态，结构的刚度比较大；
当Pe<P<Pl时，杆2屈服，丧失进一步承载力，但杆1和3仍处于弹性状 态，A点位移由1、3杆的变形控制，故杆2的塑性变形不能任意增长， 这种状态称为约束塑性变形。该阶段与载荷P的关系仍是线性的，但刚 度有所降低； 当P=Pl时，结构屈服，失去抵抗变形能力，即使载荷不再增加位移也 会不断增加。
| 2 | s ,
2r s (1 P / Pe ) 0,
？
完全卸载时残余应变：
1r 3r
2r yr / l
P / Pe 1 s 0, 2E cos
P EA(1 2 cos )
3
( P s A) 2 EAcos
1 , 2 , 3 ，应力增量为 1 , 2 , 3
平衡方程： 1 sin 3 sin Q / A
1 cos 3 cos 2 P / A
几何关系：
1l / cos x sin y cos 3l / cos x sin y cos 2l y
• 在加载步2过程中，A点竖向位移不变，则
1l 3l x sin cos ,
y 0
2 0
而 x 0 ，这说明在此过程中，杆1和2仍处于塑性状态，只 有杆3卸载, 所以
1 2 0, 3 sin Q / A, 3 cos P / A
F1 F3
P s A 2 cos
继续加载，杆1、3也达到屈服，结构丧失承载能力。 极限载荷Pl： Pl s A(1 2 cos )
Pl 1 2 cos Pe 1 2 cos3
•A点位移Δ分析
P小于或等于PeBaidu Nhomakorabea，
y 2l
当Pe <P<Pl时，
已知：三杆材料相同，弹性模量均为E； 横截面积相同，均为A，l1=l3，l2=l，试 讨论杆系的极限载荷和A点的铅垂位移 Δ。 l 解：在载荷P 较小时，杆系处于弹 性状态，各杆轴力为：
F1 F3 P cos2 1 2 cos3
B
1
D
2 θ θ A P F2 F3 A P
C
3
F1
,
Pe
P / A s P cos2 1 3 , 3 2 cos A(1 2 cos )
结点位移
y
( P s A)l 2 EAcos3
Pl EA(1 2 cos3 )
完全卸载时，可得到残余应力：
1r 3r
P / Pe 1 s 0, 2 cos
弹性极限载荷（屈服载荷）：结构出现塑性变形时的载荷 塑性极限载荷（极限载荷）：使整个结构屈服，从而丧失 承载能力时的载荷
s
理想弹塑性材料
当 s时， E , 当 s时， s sign
o
s
以一次超静定三杆桁架为例进行弹塑性分析
A P
A
加载 步2
yl
yl
A
xl
路径2: 水平载荷和竖向载荷成比例加载至极限状态
B C D
A
tan 2 sin
F
• 路径1：中间态由前述分析，知
1 2 3 s ,
yl
s
E cos
2
l
对加载步2，如果可实现，则必然存在竖向卸载。设此过程中竖向载 荷增量为 P ，水平载荷增量为 Q ，相应地各杆应变增量为
3
P / Pe 1 2 E cos
3
s >0
由于
ir ir / E ip
可见，残余变形并不一定 等于塑性应变
• 水平加载
平衡方程
F1 sin F3 sin Q F1 cos F3 cos F2 0
B
D
C
A
Q
几何协调
l1 l3 x sin l 2 0
卸载： 杆1，2和3均发生弹性变形。设卸载量为 P
2 y P A(1 2 cos )
3
,
1 3
P cos2 A(1 2 cos )
3
,
Pl EA(1 2 cos3 )
Pl
3
杆中应力
2 s
P A(1 2 cos )
物理方程
Fi EAli / li
• 水平加载
F1 F3 Q / 2 sin , F2 0,
B
D
C
1 3 Q / 2 A sin , 2 0
A
Q
x l1 / sin Ql /(2EAsin2 cos )
Q 2 s A sin Qe
F2
P 1 2 cos3
F2 F1 F3
载荷增加时，杆2首先屈服，此时σ2＝σs，1、3杆仍处于弹性状态。
F2 s A
屈服载荷Pe：
Pe 1 2 cos3
B l 1 D C 3
Pe s A(1 2 cos3 )
s A
θ θ A P
超静定结构→静定结构
当
杆1和3进入塑性变形状态
Ql Qe
由于杆2始终不受力，此时继续加载，变形无限制。故
x s l1 / sin
x s l /(E sin cos )
• 不同加载路径的影响
路径1: 加竖向载荷至极限状态，保持竖向位移不变，再加水平载荷至极限状态
B C D 加载 步1 B C D
2
E
l
Pl EA(1 2 cos )
3
ye
s
E
l
P s A l1 1l1 1 l y l 2 3 cos cos E cos 2EAcos
P=Pl时
s l1 1 3 s l / cos E
yl / ye
1 cos2
yl
s l1 l 2 cos E cos
Pl Pe
当P<Pe时，三杆处于弹性状态，结构的刚度比较大；
当Pe<P<Pl时，杆2屈服，丧失进一步承载力，但杆1和3仍处于弹性状 态，A点位移由1、3杆的变形控制，故杆2的塑性变形不能任意增长， 这种状态称为约束塑性变形。该阶段与载荷P的关系仍是线性的，但刚 度有所降低； 当P=Pl时，结构屈服，失去抵抗变形能力，即使载荷不再增加位移也 会不断增加。
| 2 | s ,
2r s (1 P / Pe ) 0,
？
完全卸载时残余应变：
1r 3r
2r yr / l
P / Pe 1 s 0, 2E cos
P EA(1 2 cos )
3
( P s A) 2 EAcos
1 , 2 , 3 ，应力增量为 1 , 2 , 3
平衡方程： 1 sin 3 sin Q / A
1 cos 3 cos 2 P / A
几何关系：
1l / cos x sin y cos 3l / cos x sin y cos 2l y
• 在加载步2过程中，A点竖向位移不变，则
1l 3l x sin cos ,
y 0
2 0
而 x 0 ，这说明在此过程中，杆1和2仍处于塑性状态，只 有杆3卸载, 所以
1 2 0, 3 sin Q / A, 3 cos P / A
F1 F3
P s A 2 cos
继续加载，杆1、3也达到屈服，结构丧失承载能力。 极限载荷Pl： Pl s A(1 2 cos )
Pl 1 2 cos Pe 1 2 cos3
•A点位移Δ分析
P小于或等于PeBaidu Nhomakorabea，
y 2l
当Pe <P<Pl时，
已知：三杆材料相同，弹性模量均为E； 横截面积相同，均为A，l1=l3，l2=l，试 讨论杆系的极限载荷和A点的铅垂位移 Δ。 l 解：在载荷P 较小时，杆系处于弹 性状态，各杆轴力为：
F1 F3 P cos2 1 2 cos3
B
1
D
2 θ θ A P F2 F3 A P
C
3
F1
,
Pe
P / A s P cos2 1 3 , 3 2 cos A(1 2 cos )
结点位移
y
( P s A)l 2 EAcos3
Pl EA(1 2 cos3 )
完全卸载时，可得到残余应力：
1r 3r
P / Pe 1 s 0, 2 cos