《建筑力学》最新备课课件：第二章：材料的几何性质

bh 2
12
dy
zc h/2
Iz
y 2dA
A
h
2 y 2bdy
h2
bh 3
12
y
O
z
Iz
1 bh 3
2 12
bh 3
24
h/2 z1
Iz1
I zc
2h
2
3
bh
2
Iz
I zc
h 2
h 2
3
bh 2
I zc
bh3 2346
I
h x 1
6
2
bbhh 3
236
2bh 3
9
bh 3
4
第一章 平面图形的几何性质
最新版
《建筑力学》
备课课件 第二章：材料的几何性质
第二部分 材料力学部分
➢第一章 材料的几何性质 ➢第二章 杆件结构的组成分析 ➢第三章 杆件的基本变形 ➢第四章 四大强度理论 ➢第五章 组合变形 ➢第六章 压杆稳定
第一章 平面图形的几何性质
➢ 一 静矩、形心及相互关系 ➢ 二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径 ➢ 三 平行移轴定理 ➢ 四 转轴定理 ➢ 五 形心主轴、形心主矩
第一章 平面图形的几何性质
Iz A y 2dA A yC a 2dA
y
yc
A
yIczc2dA
2a
A
y
cdAI
z
a
2Iaz2cAdA A
a
2
A
b C
zc dA yc
A ycdA Ayc
I y I yc b 2A
zc Izy Izcyc abA
a
在所有相互平行的坐标轴中，
Iy
Iz
2
sin20
I yzcos20＝0
tan20
2I yz Iy Iz
y0、z0－通过O点的主轴
第一章 平面图形的几何性质
y
z
0
z0
O
dA
y
y0
0
z
dI y 1 d
0，
dI z 1 d
0
当 改变时，Iyl、 Izl的数值也发
生变化，
而当=0时，二者分别为极大值和
极小值。
Iy0、 Iz0－主惯性矩
2 2
3c1m
则a1＝2cm，a2＝2cm。
y
c c2
2
6cm
ya a yc
1
zc
2
2 z2
Z
3. 求对形心轴的惯性矩
IyC
6
23 12
2
63 12
4
36
40
cm 4
I ZC 1 IZC 2
I Z1 a12A1 I Z 2 a22A2
IZC
2
63 12
12
22
6
23 12
12 22
z 2dA
A
Iz
y 2dA
A
I P
2dA
A
z
IP Iy Iz
第一章 平面图形的几何性质
性 质: ①惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的， 而极惯矩，是对点定义的。
②任何平面图形对于通过其形心的对称轴 和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。
③对于面积相等的截面，截面相对于坐标 轴分布的越远，其惯性矩越大。 决定因素: 截面形状、尺寸、轴的位置。 数值范围: 惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为 正; 惯性积可以为正、为负、为零。 单 位: 惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相同,均 为mm4 、cm4 、m4 惯性半径: mm 、cm 、m
静矩与形心坐标之间的关系
S y
来自百度文库
zdA
A
S z
ydA
A
y C
Sz A
ydA
A
A
S y AzC Sz AyC
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第一章 平面图形的几何性质
组合图形的静矩与形心计算
n
Sz A1yC 1 A2yC 2 AnyCn AiyCi i 1
③截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:
Szc 0
S yc 0
决定因素: 静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。 数值范围: 可以为正、或负、或等于零。 单 位: mm3 、cm3 、m3
第一章 平面图形的几何性质
例题 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。
解： 图形对底边的静矩 Sz A1yc1 A2 yc2
y
dA
d
C
d
dA 2πd
I y
Iz
IP
2
1 2
d
2 2dA
0
z
1 2
d
2 2 2π d
0
πd 4
64
Ip
Iy
Iz
πd 4
32
第一章 平面图形的几何性质
三 、平行移轴定理
移轴定理是指图形对于互相平行轴的 惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知 图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求 图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
第一章 平面图形的几何性质
一、静矩、形心及相互关系
定义
y
z
dA
y
O
S y
zdA
A
图形对于 y 轴的静矩
S z
ydA
A
z
图形对于 z 轴的静矩
第一章 平面图形的几何性质
y
z
dA
y
O
y
zC
C
z
A
yC
O
z
分力之矩之和
S y
zdA
A
S z
ydA
A
合力之矩
S y AzC
Sz AyC
第一章 平面图形的几何性质
第一章 平面图形的几何性质
观察法确定形心主轴的位置:
(1) 如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴, 而另一条形心主惯性轴通过形心,并与此轴垂直.
C
C
C
(2) 如果平面图形有两条对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴.
C
C
C
C
第一章 平面图形的几何性质
(3) 如果平面图形具有三条或更多条对称轴,那么通过证明后 可以知道:过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴,而且该平面图 形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。
例题 图示为三个等直径圆相切的组合
问题,求对形心轴zc的惯性矩.
O2、O3到zc轴的距离
1 3
3d
2
3d
6
O1
O1到zc轴的距离
2 3
3d
2
3d
3
O2
O3
zc
I zc
2
d
4
64
d 2
4
3 6
d
2
d
4
64
d 2
4
3 3
d
2 1164d
4
第一章 平面图形的几何性质
四、转轴定理
所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时， 图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
z I yz
yzdA
A
－图形对 y z 轴的惯性积
I P
2dA
A
－图形对 O 点的极惯性矩
第一章 平面图形的几何性质
计算：
y
z
dA
y
O
I y
z 2dA
A
I z
y 2dA
A
z
I yz
yzdA
A
I P
2dA
A
第一章 平面图形的几何性质
惯性矩与极惯性矩之间的关系：
y
z
dA
A
y
O
Iy
第一章 平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质？ 建筑力学的研究对象为杆件,杆件的
横截面是具有一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有
关,而且与截面的几何形状有关。
第一章 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质
极惯性矩 惯性积 主惯性轴 主惯性矩
极惯性矩 惯性积 主惯性轴 主惯性矩
Iy 0
Iz0
I max I min
Iy
Iz
2
1 2
Iy
Iz
2
4I
2 yz
对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心
的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主
惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形 心主矩。
第一章 平面图形的几何性质
五、形心主轴、形心主矩
z
z1
dA
y
y1
y1 ycos zsin I y1 Az12dA
z
Iz1 A y12dA
O
I y 1z1
Iy1
Iy
Iz
2
Iy
Iz
2
cos2
I yzsin2
A y 1z1dA
Iz1
Iy
Iz
2
Iy
Iz
2
cos2
I yzsin2
I y 1z1
Iy
Iz
2
sin2
I yzcos2
第一章 平面图形的几何性质
y
z
z1
dA
y
y1
O
已知： Iy、Iz、Iyz、
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
z I y 1 Az12dA Iz1 A y12dA
I y 1z1 A y 1z1dA
z1 zcos ysin
y1 ycos zsin
第一章 平面图形的几何性质
y
z1 zcos ysin
第一章 平面图形的几何性质
Iy1 Iz1 Iy Iz
y 2 z 2 dA
A
2dA
A
IP
图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时 的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。
第一章 平面图形的几何性质
y
z
0
z0
O
dA
y
y0
0
I y 1z1
Iy
Iz
2
sin2
I yzcos2
z
I y 0z 0
第一章 平面图形的几何性质
例题 矩形截面惯性矩的计算
b
h
dy y
h
Iz y 2dA A
2 y 2bdy
h 2
b
y3
3
h
2
h
2
bh 3
12
o
z
y
同理：Iy
z 2dA
A
b
2 z 2hdz
b 2
h z3
3
b 2
b 2
hb 3
12
第一章 平面图形的几何性质
例题 圆截面惯性矩、极惯性矩计算
图形对形心轴的惯性矩为最
O
z 小，但图形对形心轴的惯性
积不一定是最小
第一章 平面图形的几何性质
应用平行移轴定理应注意的问题
两平行轴中，必须有一轴为形心轴, 截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系, 应通过平行的形心轴惯性矩来换算。
第一章 平面图形的几何性质
例题 试求图示三角形：（1）对z轴静矩；
（2）对zb轴/2的y惯b/2性矩；（3S）z 对 zA1y轴c 的 惯b2h性 矩h2 。h3
n
S y A1zC 1 A2zC 2 AnzCn AizCi i 1
n
yC
Sz A
AiyCi
i 1
n
Ai
i 1
n
zC
Sy A
AizCi
i 1 n
Ai
i 1
第一章 平面图形的几何性质
性 质: ①静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标 轴有关
②截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通 过形心。
84 52 136 cm 4
第一章 平面图形的几何性质
设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，
则二者的大小关系是（ B ）。
y
2R
R
OR
A. Iy Ix； B . Iy Ix；
x C . I y I x； D . 不确定。
y
b
C1 h
C2 O
a
1 2
bh
2 3
h
1 2
ah
h
3
h2
6
a
2b
形心位置
xc 0
z
yc
Sz A
h2
6
a
2b
h
2
a
b
h
3
a 2b a b
第一章 平面图形的几何性质
二、惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
定义：
y
z
dA
A
y
O
I y
z 2dA
A
－图形对 y 轴的惯性矩
Iz
y 2dA
A
－图形对 z轴的惯性矩
主惯性轴、主惯性矩 对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角坐标,使截
面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐 标轴就称为该截面的主惯性轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称 为主惯性矩。 形心主惯性轴、形心主惯性矩
当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他们就被称为 该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就 称为形心主惯性矩。
C
C
C
C
C
对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置 通过转轴定理确定。
第一章 平面图形的几何性质
例题：求图示截面形心 轴YC和ZC的惯性矩
2cm y（yc）
1. 取参考轴Z 2. 求形心
1
c1
z1
6 cm
yc
Aiy i A
A1y 1 A2y 2 A1 A2
1
2 cm
2
6 2
5 6
6 6