行列式的计算与技巧 毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院
学士学位论文
行列式的计算与技巧
The calculation of determinant
and the skill
姓名：* ***
学号：090*0*0**2
学院：数学与信息科学学院
专业：数学与应用数学
指导老师：*
完成时间：2013-3-11
行列式的计算与技巧
【摘要】行列式是代数的一个重要的内容，也是讨论线性方程组的一个非常有力的工具,在数学的许多分支上有着极其广泛的应用。

同时，行列式的计算非常的灵活多变，有很强的技巧和规律性。

本文则主要讨论行列式的一些常用的方法，并坚持从实例出发，在以上几种常用方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法。

如：三角形法、升阶法、数学归纳法、递推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通过以上这些方法基本可以解决一般的n阶行列式的计算问题。

【关键词】行列式递推法范德蒙行列式降阶法
The calculation of determinant and the skill
【Abstract】Determinant is an important content of algebra, and discuss
the system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very flexible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives several calculation methods of the determinant are discussed. Such as: the triangle method, order method, mathematical induction, recursive method, extraction factor method, vandermonde determinant method, the split line method, and so on, through the above these methods can solve the general basic n-th-order determinant calculation problem.
【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant，Order reduction method
目录
1 引言 (1)
2行列式的定义 (1)
2.1 用定义法计算行列式 (1)
3 行列式的相关性质 (3)
3.1利用相关性质得到几种特殊解法 (3)
3.1.1对角线法则计算行列式 (3)
3.1.2 三角形法计算行列式 (3)
3.1.2.1箭形(或爪形)行列式 (4)
3.1.3加边法（升阶法）计算行列式 (5)
3.1.4 分解行列法(又称拆项法)计算行列式 (6)
3.1.5降阶法计算行列式 (7)
4递推法计算行列式 (9)
5 特征值法计算行列式 (10)
6 数学归纳法计算行列式 (10)
7 提取因子法计算行列式 (11)
8 利用范德蒙行列式计算行列式 (12)
9 利用拉普拉斯展开定理计算行列式 (14)
10 因式分解法计算行列式 (15)
11 乘法定理法（行列式乘积法）计算行列式 (16)
12 小结 (17)
参考文献 (18)
1 引言
行列式是一个基本的数学工具，是线性代数的重要研究对象，无论是在高精尖端科学领域，还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着广泛的应用。

因此，高等数学把行列式列为基本而重要的内容之一，并把行列式的计算作为线性代数的教学重点，可能由于一些学生数学基础不够扎实，加之行列式的类型又很多，学习中有一定的难度。

本文主要从行列式的的定义和性质入手，以具体实例为依据，对行列式的各种计算方法如定义法、化三角形法、拆行（列）法、降阶法、升阶法（加边法）进行总结、归纳和比较，得出怎样特征的行列式最适合怎样的方法来，以达到最简单的计算
2 行列式的定义：
n 阶行列式：设有2n 个数，排成n 行n 列的数表
A =
111212122
212
n n
n n nn
a a a a a a a a a
做出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号(- 1)n 得到形如
(- 1)n 12111n
p p p ααα的项，其中123
n p p p p 为自然数1,2,…,n 的一个排列，t
为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有 n!个，所有这n!项的代数和∑
(- 1)n 12
111n
p p p ααα 称为n 阶行列式
2.1 定义法
n 阶行列式的定义展开式中包含n ！项，n=5时，已经包含120项。

所以利用行列式定义进行运算基本不现实。

只有一种情况考虑利用定义算行列式，就是行列式中0比较多，这样可以大大减少行列式展开的项数。

． 例 2.11 计算 n 级行列式
D =
1231234
13451
2
1132
12
21
n n
n n n n n n n n ------
解：
()
()
()123112312341111113451
2
1111111321
11111221
111
1112311
11
12011111
1
111011112
11110111111
1
1
11
1
1
000012
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n ----=-------+----+-=
=------+=
()()
10000000112
0000011
1
1
00
n n n n n n n
n n
+---+=-----
例2.12 计算n 阶行列式n D =
1
2
n
λλλ
解：利用行列式定义
12
n
λλλ=
()
1t
-12
n λλλ， 其中t 为排列()
121n n -的逆序数，故
t=0+1+2+
()1n -=
()
12
n n -所以1
2
n
λλλ=()
()12
1n n --12n λλλ
例2.13 计算n 阶行列式n
D 0100002
000
1000
n n -
解：按行列式的定义，行列式展开后每一项都是n 个元素相乘，且这n 个元素要位于n D 中不同的行与不同的列，因此只有一个非零项，()121n n -这一项
列标为自然顺序，行标排成的排列n,1,2,3,…故n D =()
1
1n --n!
3 行列式计算的相关性质
性质1.矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等。

行列式定义中可以按第一列可展开计算,当然,行列式也可按第一行展开。

性质2.交换行列式的两行,等于以(-1)乘行列式。

性质3.若行列式有两行(列)相同,则行列式等于0。

性质4.以乘行列式的一行,等于乘行列式。

推论1.若行列式某行元素都是0,则行列式等于0。

性质5.行列式具有分行相加性。

性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变。

由性质4和性质3又可得到:
推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0。

3.1 利用相关性质得到几种特殊解法
3.11 对角线法则
此法则适用于计算低阶行列式的值：如二阶和三阶行列式。

具体方法：按照对角线法则展开
例 3.111
12
23
--=- 1×3- (- 2)×2=1（主对角线上的元素为-1和3，辅对角线上的元素为-2和2） 例3.112 =0×0×0+b×2c×a+3b×c×(-a)-0×(-a)×a -2c×c×0
-3b×b×0=-abc
3.12 三角形法
这是计算行列式的一种基本方法。

它是把一个行列式通过行列式的性质,设法把它们化为三角形行列式,然后利用三角行列式求其值。

03020
b a
b c a c -
111211122212221122
1200
000
n n nn n
n
nn
nn
a a a a a a a a a a a a a a a =
=
例3.121计算行列式
n x a
a a x a D a a
a
x
=
解：注意到行列式各行(列)的元素之和相等，都为()1x n a +-
行列式从最后一行开始，依次加到第一行：
()()()111x n a x n a x n a
a x a
a
a
a
x
+-+-+-()1
1a x a x n a a
a a
x
=+-⎡⎤⎣⎦
１１
=
1
000
x a x a
-１１－()()
1
1n x n a x a -+--⎡⎤⎣⎦=
3.1.2.1
箭形(或爪形)行列式
例3.11
01121110
000
00
n n
a a D a a +=
012
1201111111
10
00
000
1n
n n
n
i
i i i
a a a a a a a a
a a ==⎡⎤-
++
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣
⎦∑∏
结论：对于形如 、 、 、所
谓箭形(或爪形)行列式,可以直接利用行列式的性质化为三角或次三角形行列式
来计算。

3.13 加边法（升阶法）
要求：1） 保持原行列式的值不变；
2） 新行列式的值容易计算根据需要以及特点选取所加的行和列，加边法除了适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（列）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。

例3.131
1
212
1
1
22
121212111222,0
111111110
1111000
2
222
00
1
11110
0011100010
n n n n n
n
n
n
n n
a a D a a a n
n
n a a a D a a n n n a n
a n a a a a a a a a a a a ++=
≠++-=+-+-+
++
⎛⎫
=
=+++
⎪⎝
⎭
其中解：＝
3.14 分解行列法(又称拆项法)
拆分法就是根据行列式的性质把行列式拆成两个或若干个行列式的和，而拆出来的行列式可以利用已知的方法去求解。

例 3.141 计算 n 阶行列式
11
121212221
2
2121212n n n n n n
x y x y n x y x y x y n x y D x y x y n x y ++++++=
+++：
12111121222212222
21
2
21221
22+
1
22n n n
n n n n
n n n
x y n x y x y x y n x y x y n x y x y x y n x y x y n x y x y x y n x y ++++++++=
++++ 解：D 当n=2时，2D =()()2121x x y y --。

当n ≥3时，n D =0 例3.142
1
23
1
1223
3
3
1231111111,0,1,2,3
111111101111000111
1001
1
11
11n i n i i a D a a i a a a D a a a a a a a a =+=
+≠=++-=
+-+-⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭∑其中解：注意到行列式中1比较多，给行列式加上1行1列得到
１１１１＝
０
＝
2112
1221222
1
2
111n n
n n n n
x x x x x x x x x x D x x x x x ++=
+
21211
12222
122
1
1
11
1
11
1n n n n n n x x x D x x x x x x x x x x =
+
+
=++++解：
3.15 降阶法计算行列式
降阶法是通过利用行列式的相关性质降低行列式的阶数后计算，典型步骤如下：
（1） 利用行（列）初等变换：1）交换两行；2)某行（列）乘以K 倍；3）
某行（列）的K 倍加到另一行（列）上去。

（2） 看行和，如果行（列）和相等，则均可以加到某一列（行），然后提取
出一个数。

（3） 逐行（列）相加（减） （4） 找递推公式，同时注意对称性。

（5） 按拉普拉斯定理展开。

一个复杂的行列式往往是以上步骤的联合使用。

例3.151计算行列式
1212
2112121320000132
000013200
0000320
1
3
3212222()2n n n n n n n n
n n n n n n D D D D D D D D D D D D D D ---------=
=-=+--=--=-=的值解：按第一列展开得（）所以，（），即
例3.152计算行列式
a
b b b a b a b D a a b a b
b
b
a
=
23000
()0
()0()()()()a b b b b a a b b
a b a b a b a
b
D b a a a a a a b a a a b a
b b a
b b b a b b b a a
b b a a
a b a a b a ab a b a b
b a b
-==
=-=-=---=--解：
例3.153计算行列式
(1)(1)
1231112211132
112111
2
3
11
1
11011111111011110011000120
1
1
1
n n n n n n n n x n n D x x x x x n n x x D x x -------=
------------
-
--
--=
=----解：从第1行减去n-1行，从第n-1行减去n-2行，一直继续下去，直到从第2行减去第1行，得到
再从第n 列减去(1)(1)
12
11000100000
00
1(1)n n n n n x x D x
x x x --------=
---=-n 依次直到第2列减去第1列，得到，
4 递推法计算行列式
递推法是应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低
阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式子，这种关系式称为递推关系式。

根据递推关系式及某个低阶行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法我们称之为递推法。

一般三对角行列式的计算就是利用递推法计算的 例4.1
12121122110000100
1n n n n n n
n
n n x
x D x a x a x a x a x a a a a a x
-------=
=+++
++-+０００
证明：将n D 按第 1 列展开得
()
1
123
211
100010000
1
01001000
10
1
n n n
n n n n n x x
x D x
a x x a a a a a x
a xD +--------=+---+=+由此的递推公式1
n n n D a xD -=+利用此递推公式可得
()1
11211n n
n n n n n n n n D
a xD a x a xD a a x a x
x
-----=+=++=++
+
例4.2计算n 阶行列式n a
b b c
a
b D
c c
a
=
解：00
n a c b
b c b b a b c a b
D c
a
c c
a
-=
+
()()
1
1n n n D a c D c a b --=-+- （1）
由于和对称性，不难得到()()1
1n n n D a b D b a c --=-+- （2）
联立(l),(2)解之,得()()()1n n
n D b c b a c c a b -⎡⎤=----⎣⎦
5 特征值法
设12,,,n λλλ是 n 级矩阵 A 的全部特征值，则有公式，12
n A λλλ=。

故只要能求出矩阵 A 的全部特征值，那么就可计算出 A 的行列式
例5.1 如果12,,
,n
λλλ是n 级矩阵A 的全部特征值，证明: A 可逆的当且仅当它的
特征值全不为零。

证明：因为12
n A λλλ=，则A 是可逆的⇔
12000(1,
,)n i A i n λλλλ≠⇔≠⇔≠=
例5.2已知I-A 的特征根之模长均小于1，求证0< A < 2n 证明：首先A 没有零特征根，否则存在可逆矩阵P,使得
22
1112
2
1112101,
11
111111,2,22n
n
n
n
i i i n n
P AP P AP I A P AP P AP A λλλλλλλλλλλλλλλ----⎛⎫
⎪- ⎪=
=- ⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫
⎪- ⎪=
=
⎪ ⎪⎝⎭
--<-<<<,所以，所以为的特征根矛盾设，所以，故，即1>即所以，
所以，0<6 数学归纳法计算行列式
数学归纳法多用于证明题．用数学归纳法计算 n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算，从中发现规律并得出一般性结论，然后再用归纳法证明其正确性,利用数学归纳法进行行列式计算主要是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行验证．
例 6.1计算 2n 阶行列式
1121
1
112111111
2
2
1141111222211
22
n
n
n n
n a b a b D c d c d a b a d b c c d a b a b c d c d =
=
=-解：当n=1时，D 当n=2时，D =
=（a d -b c )(a d -b c )
于是，我们可以猜想是不是有这样一种关系存在，即21
(),n
n i i i i i a d b c =-∏D =然后用归纳法证明如下：
（1） 当n=1时，显然成立。

（2） 假设当n=k 时成立，即21()k
k i i i i i a d b c =-∏D =
（3） 当1n k =+时，将21k +（）D 按第一列展开，易得2111112()k k k k k k a d b c +++++=-（）D D 由归纳假设可得猜想成立，即21()n n i i i i i a d b c =-∏D = 例6.2计算行列式
cos 10
0012cos 100002cos 0
0002cos 10
12cos n D θθθθθ
=
解：由于2
12cos ,2cos
1cos 2,
D D θθθ==-=因而猜想cos n
D n θ
=现在用现在用第二数学归纳法来证明。

当 n = 1 时结论成立。

归纳假设结论对
1n <-都成立，再证明 n 时对于n D 按照最后一行展开得：
7 提取因子法计算行列式
若行列式满足下列条件之一,则可应用该方法: (1)有一行(列)元素相同,称为“a,a,a,·,a 型”;
[][]122cos 2cos cos(1)cos(2)cos (1)cos (1)cos(2)cos n n n D D D n n n n n n θθθθθθθθθθ
--=-=---+-+----=
(2)有两行(列)的对应元素之和或差相等,称为“邻和型”;
(3)各行(列)元素之和相等,称为“全和型”.满足条件(1)的行列式可直接提取公因式a,变为“1,1,…,1型”,进而化为“1,0,…0型”,于是应用按行(列)展开定理,使行列式降‘阶.满足条件(2)和(3)的行列式都可根据行列式的性质变为满足条件(1)的行列式,间接使用提取公因式法.
例7.1计算行列式：
1
2121
2
n n n n
x a a a a x a a D a a x a ++=
+
解：按该行列式的各行元素之和都等于1
n
i i x a =+∑属于“全和型”，所以
22211112
2
1
110()
()
()
1
n n n
n
n
n n n n i i i i i i n
a a a a x a a x a D x a x a x x a a x a a x
-===+=+=+=++∑∑∑ 例7．2计算行列式
A=
0000
x y z x z y y z x z
y
x
解: 从观察看出行列式每一行的和相同，因此将第二、第三、第四列都加到第一列上去便可以提出一个因子（x+y+z ）。

又将第二行乘以1，第三、第四行乘以 - 1 都加到第一行上，便可提出公因子（x- y- z ）。

类似地有因子（x- y+z ），（x+y-z ）。

因此，行列式A 的值为()()()()A x y z x y z x y z x y z =++---++- 为了决定 k 的值，可令x=1,y=z=0 代 入，求 出 k=1，因此
()()()()A x y z x y z x y z x y z =++---++-
8 利用范德蒙行列式计算行列式
德蒙行列式是一类比较特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式来计算某些行列式时，要求行列式必须有范德蒙行列式的特点，或者类似于范德蒙行列式的特点，这样便可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再借用公式计算出结果。

范德蒙行列式的结构特点：行列式中第1行的元素全为1，第2行元素是n 个数，第3行元素是这n 个数的平方，…，第n 行元素是这n 个数的（n-1）次方
例8.1计算行列式
3223111
1113223222222412343
2
2
3
3
33
33
3
3223
444444(0)a a b a b b a a b a b b D a a a a a a b a b b a a b a b b =
≠
解：因为12340a a a a ≠，可以在可在第一行提出31a ，第二行提出32a ，第三行提出33a ，第四行提出34a ，则
2
3
1111112
3
2222223
412342
3
3333332
3
4444
4
4
3
1234141(
)()1
(
)(
()1)1
(
)(
)()()
j i
j i i j
b b b a a a b b b a a a D a a a a b b b a a a b b b a a a b b a a a a a a ≤<≤=-∏）（）（＝
例8.2计算n 阶范德蒙行列式
1
22
2
2122221212111n n n n n n n n
n
n
n x x x x x x D x x x x x x ---=
解：虽然它不是范德蒙行列式，但是我们通过对范德蒙行列式的学习可以自己构造N+1阶范德蒙行列式来间接的求出其值。

构造n=1阶范德蒙行列式，得到
将()1
2222122221212111n n n
n n n n n
n
n
n x x x x x x f
x x x x x x x ---=
()f x 按第n+1列展开得
()11,12,11,1,11,1n n n n n n n n n f x A A x A A x A x -++++++=+++++其中，1n x -的系数为 ()
1
,11n n n n n n A D D +++=-=-又根据范德蒙行列式的结果知
()121()()()
()n i j j i n
f x x x x x x x x x <<≤=----∏
由上式渴求的1n x -的系数为
121()()
()
()n i j j i n
x x x x x x x x <<≤-----∏
，故有12
1()
()n n i j j i n
D x x x x x <<≤=+-∏
结论:当所求的行列式与范德蒙行列式类似时,可通过添加一些行(或列)或拆分某些行(或列)达到可以利用范德蒙行列式来计算的目的
9 利用拉普拉斯展开定理计算行列式
拉普拉斯展开定理是行列式按一行或一列展开定理的推广．在应用拉普拉斯定理时，为了计算上的方便，一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形，再按含零多的 k 行或 k 列展开．
例 9.1 计算行列式
n a a a
a
b
a b a
D b a
b
a
λβ
ββββ
ββββ
ββ
β
=
解：观察可以发现如果从第 3 行开始每一行都减去第 2 行，再从第 3 列开始每一列都加到第 2 列，可使行列式中更多的元素为零．则按变换得
()(1)2000000000
00n a a a
a
b a n
a a a λ
βββ
βββ
-+--=
--再由拉普拉斯定理可得
例9.2计算行列式
1121
1
n
n
n n
n a b a b D c d c d =
()()()
()()()2
2
1212n n n n a
D a b
a n a n a
b n a λ
ββλλββ---=-+-=--+--⎡⎤⎣⎦
解：利用拉普拉斯展开定理按第1列和第2n 列展开得
()211112(1)n n D a d b c D -=-
对于2（n-1）阶行列式按类似方法可得
()2111122222(2)()n n D a d b c a d b c D -=--依次类推，得
()21
n
n i i i i i D a d b c ==-∏
10 因式分解法计算行列式
所谓因式分解法，是当行列式D=0时，求出方程的根，然后利用因式分解的思想，将行列式转化为各因子的乘积的形式，再进一步求解，这样能大大减少计算量。

该方法主要运用于主对角线上含有x 多项式的题型。

22
1223
1323
231
4
2
2
18x D x -=
-
解：根据行列式的定义法，我们知道此行列式展开应该为x 的四次多项式，分析：当x=±1，±2时，显然D=0，所以假设()()()()1122,D A x x x x =+-+-其中，A 为待定常数当x=0时，计算出D=-12又根据上面的假设的结果
()()()()01010202,D A =+-+-从而A=-3 ∴()()()()31122,D x x x x =-+-+- 例 10.1 计算行列式 123
1131
211
2
3
1
n n x n D x n x +=++
解: 注意 x =1 时0n D = 所以()1|n x D -，同理 x －2，…，x － ( n －1) 均为n D 的因式又 x － i 与 x － j( i ≠j) 各不相同，所以
()()()121|n x x x n D ---+，但n D 的展开式中最高次项1n x -的系数为1。

所以
()()()121n D x x x n =---+
11 乘法定理法行列式乘积法
在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和()112i j i j in nj a b a b a b ++的形
式，那么该行列式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的
行列式比较容易计算，则可由公式AB A B =⋅计算出原行列式的值
例 11.1 求下列行列式
sin 2sin()sin()sin()sin 2sin()sin()sin()
sin 2ααβαγβαββγγααβγ
++++++ sin 2sin()sin()sin cos 0cos cos cos sin()sin 2sin(sin cos 0sin sin sin sin()sin()sin 2sin cos 0000sin 2sin()sin()sin()sin 2sin()si a a a a α
αβαγβγβαββγβββγγααβγγγααβαγβαββγ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦++++解：因为）所以，sin cos 0cos cos cos sin cos 0sin sin sin n()sin()
sin 2sin cos 0
sin cos 0cos cos cos sin cos 0sin sin sin 0sin cos 0000
sin 2sin()sin()sin()sin 2sin()0sin()sin()
sin 2a a a a a a a a βγβββγ
γααβγ
γγβγβββγγγααβαγβαβ
βγγααβγ
=⋅++==++++=++且所以 例11.2 计算行列式
1111
111111111111
11
111111111n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=
+++
解：同上题可得
1
23
4
11
11
00
100
00010010
00
n a b b b a D a a =
⋅ 所以当n>2, 0n D =
n=2时,， ()()22121D a a b b =-- n=1时，1111D a b =+
小结：
通过以上对行列式的计算方法的一一列举,我们知道关于行列式不同的题目可能会用到不同的计算方法,至于采用哪种方法计算则要视具体的题目而定.但是即使同样的题目有时却可以用不同的方法来计算。

总之，行列式的计算方法具有多样性以及灵活性，在计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用适当的方法来进行计算。

计算行列式总的原则是：充分利用所求行列式的特点、行列式的性质及上述常用的方法来进行计算。

有时可以用上面介绍的其中一种方法求出行列式的值，有时可以综合运用多种方法更简便的求出行列式的值，然而一般需要用到两种或两种以上的技巧才能解决.总之，大家在今后的学习中要多练习，多总结，以便能更好地掌握行列式的计算方法
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