二次函数考点透视

二次函数考点透视
二次函数是初中数学中重要的内容，也是中考中必考的热点内容.下面就这部分内容的主要考点分类例析，希望能对同学们的学习有所帮助.
考点一二次函数的图象、基本性质
例1 （2008年陕西）已知二次函数2
y ax bx c
=++（其中a>0，b<0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．
以上说法正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为0
a>，所以图象的开口一定向上；又b<0，所以这个二次函数的图象的对称轴位于y轴的右侧，由于0
c<，进而可以判断图象的顶点一定在第四象限；所以关于这个二次函数的图象有说法有2个正确的.故选C.
点评：解答这类问题时，要注意从抛物线的开口方向、位置特点、变化趋势、一些特殊点（抛物线与坐标轴的交点、抛物线的顶点等）的坐标以及相关数据等信息进行分析判断，从而得出正确的结论.
考点二抛物线的平移
例2 （2008年四川资阳）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2
分析：把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于把函数向下，向左平移2个单位，即y＝2(x + 2)2－2，故选B.
点评：抛物线在坐标平面内进行平移变换，其位置发生了改变，但其形状和开口不变，即a不变.任何一个二次函数y=ax2+bx+c都可以通过将抛物线y=ax2平移而得到.
考点三二次函数的表达式
例3 （2008年镇江）推理运算：二次函数的图象经过点(03)
A-
，，(23)
B-
，，(10)
C-，．（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少
．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．
解：（1）设23
y ax bx
=+-，
把点(23)
-
，，(10)
-，代入得
4233
30.
a b
a b
+-=-
⎧
⎨
--=
⎩
，
解方程组得12.
a b =⎧⎨
=-⎩， 223y x x ∴=--；
（2）2223(1)4y x x x =--=--．∴函数的顶点坐标为(14)-，．
（3）要由（1，-4）变为（0，0），则应左移1个单位后，再上移4个单位，故应最少平移5个单位，才能使得该图象的顶点在原点.
点评：求抛物线的表达式的常用方法是待定系数法.给定的条件不同，所设的解析式也不一样，同学们应灵活应用.
考点四 二次函数与一元二次方程
例4 （2008年甘肃省兰州市）下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
2
y ax bx c =++
0.03-
0.01-
0.02
0.04
A ．6 6.17x <<
B ．6.17 6.18x <<
C ．6.18 6.19x <<
D ．6.19 6.20x <<
解析：将ax 2+bx+c 的值看作y=ax 2
+bx+c （a≠0，a ，b ，c 为常数）的解就是函数值为零时对应的自变量的值，由于数轴上表示实数的点是连续的，因此，可以估计方程的解必然在某正数值与某负数值之间.故应选C.
点评：利用二次函数与一元二次方程之间的关系，通过二次函数的图象可以求出一元二次方程的解.本题也可以选取三组较为简单的坐标，直接求出二次函数的表达式，从而求解.
考点五 用二次函数解决实际问题 例5 （2008年四川绵阳）青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？
解法一：设每天的房价为（60 + 5x ）元，则有x 个房间空闲，已住宿了（30－x ）个房间．
于是度假村的利润 y =（30－x ）（60 + 5x ）－20（30－x ），其中0≤x ≤30．
∴ y =（30－x ）· 5 ·（8 + x ）= 5（240 + 22x －x 2）=－5（x －11）2 + 1805．
因此当x = 11时，y 取得最大值1805元，即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
解法二：设每天的房价为x 元，则空闲了605
x -间房，每天每间房的利润为（x-20）
元，
所以利润)5
6030)(20(--
-=x x y =840465
12
-+-
x x （60≤x ≤210，是5的倍数）．
因为4612()
5-
⨯-
=115，所以每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
解法三：设房价每间增加x 元，则空闲了5
x 间房，每天每间房的利润为（60+x-20）元，
所以利润)530)(2060(x x y --+==1200225
12
++-
x x （0≤x ≤150，是5的倍数）
． 因为2212()
5-
⨯-
=55，55+60=115，所以每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
点评：本题主要是应用二次函数的建模思想解决实际问题；利润=总收入-总支出．。