1随机变量及其独立性
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j =1 j =1
=
n ∪
{ω |X (ω ) ∈ Aj } X −1 (Aj ) ∈ F ,
= ∪n
j =1 n ∪ j =1
therefore j =1 Aj ∈ A such that A is a σ -field. In addition, since any (a, b] ∈ A, so B ⊂ A. 此定理说明对于全集Ω上的函数X , 如果它的值域是一个Borel集，则它的自变元也就是 定义域一定是在 Ω所构成的事件域内。 Theorem 1.2 如果X 是可测空间(Ω, F )上的随机变量，g (x)是可测函数，则Y = g (X )是(Ω, F )上 的随机变量。 证明：根据随机变量的定义1.1, 我们知道我只需要证明对任何的a ∈ R, {Y ≤ a} ∈ F 。对 取定的a，定义 B = {x|g (x) ≤ a}, 因为g (x)是可测函数， 我们有B ∈ B . 注意到Y (ω ) = g (X (ω ))是Ω上的函数，再利用定理 1.1得到
Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn )|xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n},
用(Rn , B n )表示 n维可测空间。 Definition 1.3 设 f (x1 , x2 , · · · , xn )是Rn 上的n元实函数，如果
{(x1 , x2 , · · · , xn )|f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ x} ∈ B n
open sets (or, equivalently, from closed sets or left open right close sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel.) (a) X −1 (R) = {ω |X (ω ) ∈ R} = Ω ∈ F , R ∈ A. (b) For any A ∈ A, we have X −1 (A) ∈ F , then
{Y ≤ a} = {ω |Y (ω ) ≤ a} = {ω |g (X (ω )) ≤ a} = {ω |X (ω ) ∈ B } = {X ∈ B } ∈ F
Remark 1.3 上面的定理可以推广到n元的可测函数；以后我们用到的实函数都是可测函 数。 下面我们讨论一个重要的概念－－－独立。
2
Definition 1.4 设X1 , X2 , · · · , Xn 是随机变量。 (1) 如果对任何实数x1 , x2 , · · · , xn ,
P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , · · · , Xn ≤ xn ) = P (X1 ≤ x1 )P (X2 ≤ x2 ) · · · P (Xn ≤ xn ),
则称随机变量X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立。 (2) 如果对任何的n, X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立，则称随机变量序列{Xj }相互独立，这时称 是独立序列。 Theorem 1.3 设X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立, 则对任何Borel集A1 , A2 , · · · , An , 事件
第二章：随即变量和概率分布
1
随机变量及其独立性
{ω |X (ω ) ≤ x} ∈ F
Definition 1.1 设(Ω, F )是可测空间, 如果Ω上的函数 X (ω )满足: 对任何实数x， (1)
就称X (ω )是可测空间(Ω, F )上的随机变量，简称随机变量(Random Variable—RV). Remark 1.1 1. 通常用X, Y, Z, ξ 等等表示随机变量，而并不一定要加上ω 写成X (ω ), 我们 只是在有必要的时候才将自变元ω 写出来. 2. 以后我们会用X ≤ x表示事件{ω |X (ω ) ≤ x}, 例如P (X ≤ x)表示事件{ω |X (ω ) ≤ x}的 概率。 下面我们介绍在计算随机变量概率中最重要的域和集合。 Definition 1.2 用R表示全体实数(−∞, ∞), 用C 表示R的左开右闭的子区间的全体，用B 表 示C 中的子区间们经过交集、余集和可列并的运算以及反复运算得到的集合的全体，则B 是σ 域。 通常称B 为Borel域，称B中的元素为Borel集。 Borel域和Borel集的定义可以推广到n维Borel域和集。我们用Rn 表示n维向量空间
对任何实数成立，则它是(Rn , Bn )上的随机变量。可测空间(Rn , B n )上的随机变量又被称 为Borel可测函数，简称为可测函数。 Remark 1.2 连续函数、阶梯函数、单调函数以及这些函数的线性组合都是可测函数。 Theorem 1.1 设X 是可测空间(Ω, F )上的随机变量， 则对任何Borel集A,有
¯) = {ω |X (ω ) ∈ A ¯} = {ω |X (ω ) ∈ A} = X −1 (A) ∈ F . X −1 (A
(c) For any Aj ∈ A, we have X −1 (Aj ) ∈ F , j = 1, 2, ..., then n n ∪ ∪ X −1 Aj = ω |X (ω ) ∈ Aj
{X ∈ A} = {ω |X (ω ) ∈ A} ∈ F
Proof: For a fixed set A ⊂ R, we denote
def
X −1 (A) = {ω |X (ω ) ∈ A}, A = {A|X −1 (A) ∈ F , A ⊂ R}.
Then we need to prove that A is a σ -field and B ⊂ F . (Because A ⊂ R, but A may not be a Borel set. In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from 1
=
n ∪
{ω |X (ω ) ∈ Aj } X −1 (Aj ) ∈ F ,
= ∪n
j =1 n ∪ j =1
therefore j =1 Aj ∈ A such that A is a σ -field. In addition, since any (a, b] ∈ A, so B ⊂ A. 此定理说明对于全集Ω上的函数X , 如果它的值域是一个Borel集，则它的自变元也就是 定义域一定是在 Ω所构成的事件域内。 Theorem 1.2 如果X 是可测空间(Ω, F )上的随机变量，g (x)是可测函数，则Y = g (X )是(Ω, F )上 的随机变量。 证明：根据随机变量的定义1.1, 我们知道我只需要证明对任何的a ∈ R, {Y ≤ a} ∈ F 。对 取定的a，定义 B = {x|g (x) ≤ a}, 因为g (x)是可测函数， 我们有B ∈ B . 注意到Y (ω ) = g (X (ω ))是Ω上的函数，再利用定理 1.1得到
Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn )|xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n},
用(Rn , B n )表示 n维可测空间。 Definition 1.3 设 f (x1 , x2 , · · · , xn )是Rn 上的n元实函数，如果
{(x1 , x2 , · · · , xn )|f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ x} ∈ B n
open sets (or, equivalently, from closed sets or left open right close sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel.) (a) X −1 (R) = {ω |X (ω ) ∈ R} = Ω ∈ F , R ∈ A. (b) For any A ∈ A, we have X −1 (A) ∈ F , then
{Y ≤ a} = {ω |Y (ω ) ≤ a} = {ω |g (X (ω )) ≤ a} = {ω |X (ω ) ∈ B } = {X ∈ B } ∈ F
Remark 1.3 上面的定理可以推广到n元的可测函数；以后我们用到的实函数都是可测函 数。 下面我们讨论一个重要的概念－－－独立。
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Definition 1.4 设X1 , X2 , · · · , Xn 是随机变量。 (1) 如果对任何实数x1 , x2 , · · · , xn ,
P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , · · · , Xn ≤ xn ) = P (X1 ≤ x1 )P (X2 ≤ x2 ) · · · P (Xn ≤ xn ),
则称随机变量X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立。 (2) 如果对任何的n, X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立，则称随机变量序列{Xj }相互独立，这时称 是独立序列。 Theorem 1.3 设X1 , X2 , · · · , Xn 相互独立, 则对任何Borel集A1 , A2 , · · · , An , 事件
第二章：随即变量和概率分布
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随机变量及其独立性
{ω |X (ω ) ≤ x} ∈ F
Definition 1.1 设(Ω, F )是可测空间, 如果Ω上的函数 X (ω )满足: 对任何实数x， (1)
就称X (ω )是可测空间(Ω, F )上的随机变量，简称随机变量(Random Variable—RV). Remark 1.1 1. 通常用X, Y, Z, ξ 等等表示随机变量，而并不一定要加上ω 写成X (ω ), 我们 只是在有必要的时候才将自变元ω 写出来. 2. 以后我们会用X ≤ x表示事件{ω |X (ω ) ≤ x}, 例如P (X ≤ x)表示事件{ω |X (ω ) ≤ x}的 概率。 下面我们介绍在计算随机变量概率中最重要的域和集合。 Definition 1.2 用R表示全体实数(−∞, ∞), 用C 表示R的左开右闭的子区间的全体，用B 表 示C 中的子区间们经过交集、余集和可列并的运算以及反复运算得到的集合的全体，则B 是σ 域。 通常称B 为Borel域，称B中的元素为Borel集。 Borel域和Borel集的定义可以推广到n维Borel域和集。我们用Rn 表示n维向量空间
对任何实数成立，则它是(Rn , Bn )上的随机变量。可测空间(Rn , B n )上的随机变量又被称 为Borel可测函数，简称为可测函数。 Remark 1.2 连续函数、阶梯函数、单调函数以及这些函数的线性组合都是可测函数。 Theorem 1.1 设X 是可测空间(Ω, F )上的随机变量， 则对任何Borel集A,有
¯) = {ω |X (ω ) ∈ A ¯} = {ω |X (ω ) ∈ A} = X −1 (A) ∈ F . X −1 (A
(c) For any Aj ∈ A, we have X −1 (Aj ) ∈ F , j = 1, 2, ..., then n n ∪ ∪ X −1 Aj = ω |X (ω ) ∈ Aj
{X ∈ A} = {ω |X (ω ) ∈ A} ∈ F
Proof: For a fixed set A ⊂ R, we denote
def
X −1 (A) = {ω |X (ω ) ∈ A}, A = {A|X −1 (A) ∈ F , A ⊂ R}.
Then we need to prove that A is a σ -field and B ⊂ F . (Because A ⊂ R, but A may not be a Borel set. In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from 1