复杂网络complex networks

(1) GROWTH :
At every timestep we add a new node with m edges (connected to the nodes already present in the system).
(2) PREFERENTIAL ATTACHMENT :
The probability Π that a new node will be connected to node i depends on the connectivity ki of that node

近年来的重大发现: 小世界效应 (Watts and Strogatz, Nature, 1998) Scale-Free 特征 (Barabá si and Albert, Science, 1999)
ER 随机图模型
特征:



连通性: Poisson 分布 齐次特征: 每个节点大约有相同的 连接数 节点数不增加
ki ( ki ) jk j
P(k) ~k-3
A.-L.Barabá si, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
Scale-Free 网络
特征: 连通性: 幂指数分布（幂律分 布） 非齐次性: 很少的节点有很多连 接，很多节点只有很 少的连接 节点数增加
Nodes: papers Links: citations
1736 PRL papers (1988)
(Newman, 2000, H. Jeong et al 2001)
Metabolic network
Archaea
Bacteria
Eukaryotes
Organisms from all three domains of life are scale-free networks!

network anatomy is important to characterize because structure affects function (and vice-versa)
为什么研究复杂网络？
• 复杂系统不能够用分析的方法去研究， 必须考虑个体之间的关联和作用； • 理解复杂系统的行为应该从理解系统相互 作用网络的拓扑结构开始； • 网络拓扑结构的信息是构建系统模型、研 究系统性质和功能的基础。


every complex system is a network of interaction among numerous smaller elements understanding a complex system = break down into parts + reassemble
许多实际网络具有相同的定性性质 且已有的理论不能描述和解释

理论研究的发展


小世界网络 (Small World Network), 无标度网络 (Scale-free Network) 统计物理学的研究手段
复杂网络研究所关心的问题

网络的拓扑结构——静态几何量及其统计性质

度、聚集系数、最短路径、介数、权、相关性 网络上的聚类分析
k ( pN ) k k e k k! k!
P(k ) e pN
10000个顶点
p=0.0015
度分布

幂律分布——Power Law
P(k ) k

ln P(k ) ln k
=-3
World Wide Web
Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999)
同质性？（个体、相互作用）
复杂网络的数学描述

网络G=（V, E），由点集V（G）和边集E（G）组成 的一个图，可分为无向、有向和加权网络
令ei∈ E（G），每条边ei有V（G）中的一对点(u,v)与 之对应； 如果任意(u,v)与(v,u)对应同一条边，则称为无向 网络，否则为有向网络； 如果任意∣ei ∣ =1，则称为无权网络，否则为加 权网络。 连接矩阵及拉普拉斯矩阵
Kevin Bacon美国著名演员 任意一个演员与Bacon一起演过电影则其Bacon数为1. 平均Bacon数为2.944. 周星驰的Bacon数是3.
WWW : addition of new documents Citation : publication of new papers
(2) The attachment is NOT uniform.
A node is linked with higher probability to a node that already has a large number of links.
Examples : WWW : new documents link to well known sites (CNN, YAHOO, NewYork Times, etc) Citation : well cited papers are more likely to be cited again



规则网络
(a) 完全连接; (b) 最近邻居连接; (c) 星形连接
规则网络
...
(d) Lattice
...
(z) Layers
基本网络模型

随机图论 - Erdö s and Ré nyi (1960)

ER 随机图模型统治四十余年…… 直到今天 …… 当今大量可获取的数据＋高级计算工具，促使人们重新考 虑随机图模型及其方法
(Hawoong Jeong)
复杂网络中顶点度的匹配关系 Assortative Mixing by Degree

如果网络中度值高的顶点倾向于与其他高度值的顶点相 互连接，则称网络具有同向匹配性质；

例如：社会网络

如果网络中度值高的顶点倾向于与度值低的顶点相互连 接，则称网络具有反向匹配性质；
小世界网络
特征:
(Similar to ER Random Graphs)
齐次性: 每个节点有大约相同 的连接数 节点不增加

Small World Network
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
小世界性质的测度
度分布

分布函数f(k)：

网络中度值为k的顶点占总点数的比例 随机网络的度分布——Poisson分布
Nodes: actors Links: cast jointly
N = 212,250 actors k = 28.78
P(k) ~k-
=2.3
SCIENCE CITATION INDEX
SCIENCE COAUTHORSHIP Nodes: scientist (authors) Links: write paper together
为什么研究复杂网络？
复杂网络是研究复杂系统的一种角 度和方法，它关注系统中个体相互关联 的作用的拓扑结构，是理解复杂系统性 质和功能的基础。
复杂网络研究所关心的问题

如何建立复杂网络？网络研究中的反问题 如何定量刻画复杂网络？

网络结构的描述及其性质 网络演化模型

网络是如何发展成现在这种结构的？


网络特定结构的后果是什么？正问题


网络结构的鲁棒性 网络上的动力学行为和过程
复杂网络是对复杂系统的一种抽象
Complex systems
Made of many non-identical elements connected by diverse interactions.
NETWORK
复杂网络
网络研究的历史

1736，欧拉：哥尼斯堡七桥
1950，Erdos, Renyi: 随机图论 1998，Strogatz； 1999，Barabasi: 小世界 和无标度网络


复杂网络的兴起

计算机技术的发展：

使我们拥有各种网络的数据库，并有可能对大规模的网络进 行实证研究

普适性的发现：

复杂网络
樊瑛
北京师范大学管理学院系统科学系
2011.07.18
Simple
Complicated
Complex System
Complex systems
Complex Systems
Complex systems are all around us:

������ ������ ������
P(k=500) ~ 10-6
NWWW ~ 109 N(k=500) ~ 103
INTERNET BACKBONE
Nodes: computers, routers Links: physical lines
(Faloutsos,et.al 1999)
ACTOR CONNECTIVITIES
一个简单的例子
K●=5 C●=0
K●=5 C●=1
复杂网络的统计分析

度及其分布（Degree）

集聚系数及其分布（Clustering Coefficient）

统计性质的描述方法：

Zipf Plot（顺序、出现频次) 频数统计
复杂网络的结构

四种结构模型：

规则网络 随机网络 小世界网络 无标度网络
economies nature: ant, bee, bird colonies little robots
相互作用与复杂性
晶格 全局相互作用
Internet
扩散
平均场
?
Complex Networks

complex networks are the backbone of complex systems

其形成机制是什么？ 结构与功能？
BA偏好连接模型
——PREFERENTIAL ATTACHMENT
(1) The number of nodes (N) is NOT fixed.
Networks continuously expand by the addition of new nodes Examples:

网络的演化性质和机制模型

时间演化性质，偏好性的检验 Small World Network ，Scale Free Network-BA 模型

网络的结构与功能

网络的容错与抗攻击能力 网络上的动力学性质
对网络结构的描述

几何量及其分布
度（Degree）：朋友的个数 集聚系数（群系数）（Clustering coefficient）： 朋友的朋友还是不是朋友的情况 最短路径（Shortest path）： 两个顶点之间边数最少的路径 介数（Betweenness）： 经过我的最短路径的条数


技术网络
WWW 因特网
电力网
社会网络
科学引文网 朋友关系网
演员网 科学家合著网
交通运输网络
城市公共交通网 航空网
道路交通网
生态、生物网络
生态网络 蛋白质相互作用网络
神经网络 基因网络 新陈代谢网络
不同领域的复杂网络





社会网：演员合作网，朋友网，姻亲关系网， 科研合作网，Email网，短信网… 生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网，蛋 白质网，基因网络… 信息网络：WWW，专利使用，论文引用，… 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自然 河流网 经济系统：投入产出网，国际贸易，…

例如：大部分生物、技术网络
同向匹配 无标度网络
反向匹配 无标度网络
小世界实验

Milgram小世界实验
上世纪60年代哈佛大学社会心里学家Stanley Milgram 社会调查后推断出: 世界上任意两个人平均距离是6. Milgram实验: 信件传递.


Kevin Bacon游戏


ln P(k ) ln k

P(k ) (k )
k

Hale Waihona Puke P(k )
1、自相似结构 2、两极分化，高度弥散
Most real world networks have the same internal structure:
Scale-free networks
H. Jeong, B. Tombor, R. Albert, Z.N. Oltvai, and A.L. Barabasi, Nature, 407 651 (2000)
Scale Free 网络的基本特征
Power Law Degree Distribution（幂律度分布）
P(k ) k