简单两杆桁架结构的优化设计

简单两杆桁架结构的优化设计

引言

机械优化设计是最优化技术在机械设计领域的移植和应用，其基本思想是根据机械设计的理论、方法和标准规范等，建立反映工程设计问题和符合数学规划要求的数学模型，然后采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问题的最优方案。

本文将应用机械优化设计的方法对简单的两杆桁架结构进行分析，从而得出最优设计方案。

问题描述

如图所示两杆桁架结构，s=40cm，b=30cm，F=1.2MN。两杆的许用应力均为[σ]=16,000N/cm2，两杆的应力应满足σ1≤[σ];σ2≤[σ]。杆的横截面形状不限，现欲寻求该结构的最轻重量设计。

优化模型

假设两杆的截面积分别为A1=x1，A2=x2。两杆材料相同，欲求最轻重量即求最小总体积。结构的总体积为

V=A1l1+A2l2=50x1+40x2

对节点处的受力分析图如下：

F1=2MN

F2=1.6MN

F=1.2MN

求得两杆上的受力分别为F 1=2MN ， F 2=1.6MN ，由应力条件σ1=F 1A 1=F 1x 1≤[σ]，σ2=F 2A 2=F

2x 2≤[σ]，得约束条件 x 1≥

F 1[σ]=125，x 2≥F 2[σ]

=100 故优化模型为 ⎪⎩

⎪⎨⎧≤+-=≤+-=+=0100)(0125)(..4050),(min 22112121x x g x x g t s x x x x f

对优化模型绘出Matlab 函数图像，由图像可以看出，总体V 随x 1，x 2线性递增，所以最优解在1251=x ，1002=x 时取得。

KKT 条件讨论

作Lagrange 函数：

)100()125(4050),,,(2211212121-+-++=x x x x x x L λλλλ

其KKT 条件为

0)50(,0,050111

1111=+=∂∂≥≤+=∂∂λλx x L x x x L 0)40(,0,040222

2222=+=∂∂≥≤+=∂∂λλx x L x x x L

0)125(,0,0125111

1111=-=∂∂≥≥-=∂∂x x L x x L λλλ 0)100(,0,0100222

2222=-=∂∂≥≥-=∂∂x x L x x L λλλ 解得

501-=λ，402-=λ，1251=x ，1002=x

Matlab 求解

代码：

c=[50,40];

A=[];

b=[];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[125,100];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

运行结果：

x =

125.0000

100.0000

fval =

1.0250e+004

结论

通过优化设计分析，得出桁架的最优设计为：杆(1)的截面积A 1=125cm 2，杆(2)的截面积A 2=100cm 2。

[参考文献]

[1]朱爱斌,朱永生.机械优化设计技术与实例[M].西安:西安电子科技大学出版社,2012:35

[2]张德丰.MATLAB 程序设计与典型应用[M].北京:电子工业出版社,2009