2010-2011两相流动与沸腾传热——答案

一、基本概念、原理题（每题5分，共45分）
1、在一个充满水的管道各位置上，以稳定流率注入气泡（如图1所示），以使沿管长方向气泡密度（气泡数，bubble population / density ）按如下函数分布：
201b b z N N L ⎡⎤
⎛⎫=⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
式中：L —沿z 轴向的管长；0b N —管道入口处()0z =气泡密度。

试问：(1)在0z =处的固定观察者所见气泡密度变化率是多少？(2) 以恒速0v 运动的观察者所见气泡密度变化率是多少？
解：(1)由于观察者固定，故气泡密度固定为0b N ，因此，气泡密度变化率为0。

(2)0z v t =⋅，故有()2001b v t N t N L ⎡⎤⎛⎫=⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，所以200002222b b v t v z dN
N N dt L L ==。

图 1
2、简要说明相速度、表观速度、相对速度、漂移速度、扩散速度以及漂移流密度的定
义及其物理意义。

解： 1) 相速度：每一相的真实相平均速度，即,v l v l v v l l
m m
u u A A ρρ=
=； 2) 表观速度：每单位流道截面上的体积流量，是一种经截面权重后的平均速度，即：
,v l v l v l m m
j j A A
ρρ=
= 3) 相对速度：两相之间的相对速度，一般气相较快，故定义相对速度为：
r v l vl lv u u u u u =-==-
4) 漂移速度：各相速度与两相混合物（体积）平均速度之差，即：
(),,kj k v l u u j k v l j j j =-==+其中
5) 扩散速度：相速度与两相混合物质心平均速度之差，即：
,,v
l km k m m m m u u j k v l j A +⎛
⎫
=-== ⎪⎝⎭
其中 6) 漂移流密度：任一相相对于两相(体积)平均速度运动而通过单位横截面的体积流量，又
常称为漂移体积流密度，即：
()()()()()()()()()()111111lv l l v l r vl v v v l r lv vl
j u j u u u u j u j u u u u j j αααααααααααα=--=----=--=-=---=-=-
3、请推导空泡份额α与质量含气率x 之间的关系；定性画出x α-曲线；分别计算压力为0.1MPa 与6.8MPa 的蒸汽—水混合物系统中，水蒸汽的质量含气率0.2x =，滑速比
1S =(在0.1MPa 与6.8MPa 下，v l ρρ分别约为1/2700与1/20.6)时对应的空泡份额α；
并基于这一算例与定性曲线简要分析x α-的数量关系。

解：1
1111v v v v v v l v l v v v l l l v v
l l v
M u A u x M M u A u A u u S ρραραρρρρααρ=
===--++++⋅⋅
故有：
1
11v l
x
S x αρρ=
-+⋅⋅
x α-的定性曲线为(假定1v l ρρ=)：
0.1MPa 压力下，代入各数据可得1
0.998510.21110.22700α=
=-+⋅⋅
；
6.8MPa 压力下，代入各数据可得1
0.837410.21110.220.6
α=
=-+⋅⋅
； 由算例及一般v l ρρ非常小可知，空泡份额在质量含气率小的情况下随质量含气率增大而迅速增大，之后随之增大而变化不大，从图像上看，曲线凸向左上方。

4、写出热力学平衡干度的表达式与含义。

在流动沸腾工况下，热力学平衡含气率为何可以小于零或大于1.0，各代表什么工况？
解：表达式为：l
e lv
h h x h -=，式中h 为两相混合物的焓，l h 为液相饱和焓，lv h 为汽化潜热。

当l h h <时，0e x <，表示处于液相单相过冷状态； 当l lv h h h >+时，1e x >，表示处于气相单相过热状态；
当l l lv h h h h <<+时，01e x <<，表示处于气液两相混合物状态。

5、简述欠热沸腾空泡份额计算的Bowring 方法的主要思路。

解：将欠热沸腾区分为高欠热沸腾与低欠热沸腾两个区。

在高欠热沸腾区，气泡附于壁面上，空泡份额为W α；在低欠热沸腾区，气泡脱离壁面进入主流，空泡份额为壁面空泡份额W α与进入主流的空泡份额a α之和。

(1) 高欠热沸腾区：
气泡初始产生点ONB 处满足：
()()()()sup SPl W l SPl sub ONB ONB ONB ONB q h T T h T T ⎡⎤⎡⎤=-=∆-∆⎣⎦⎣⎦
其中，0.80.40.023Re Pr l
SPl e
k h D =，以下同。

而()
sup
ONB
T ∆可由Jens-Lottes 公式计算，于是有：
()()()
()0.25
62510exp 6.2sub SPl ONB T q h q p ∆=-⨯-
由()sub ONB T ∆按热平衡关系式可得ONB Z 的位置；
对于FDB 点处，有())sub l FDB in T q u η∆=，而()6
140.98710p η-=+⨯。

而FDB h P A αδ=，而δ取下面两种结果的较小值：
(a).30.237
0.066, 1.37310d d R R p δ--==⨯⨯；
(b).())
2Pr 1.07l l SPl in u k h δη=，式中l k 为液相热导率；
ONB 与FDB 之间的空泡份额近视视为线性分布，则有：
()()()sub sub
ONB FDB sub sub ONB FDB
T T T T αα∆-∆=∆-∆
(2) 低欠热沸腾区：
该区传热由4部分组成：1.脱离气泡的潜热e q ；2.温度边界层内气泡扰动引起的传热a q ；3.附着于流道壁面上的气泡的顶部的凝结换热c q ；4.壁面上气泡之间的单相液体对流传热SPl q 。

忽略第3项传热，则中总热流e c SPl q q q q =++。

令a
e q q ε=，当0.10.95MPa p MPa ≤≤时，()3.2p l v lv
c h ρερ=；当0.955MPa p MPa
≤≤时， 1.3ε=。

()625exp 1.4 1.410 6.2sub SPl SPl q q p T h ⎛⎫⎛⎫
∆=
-⨯- ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭
，当()sub sub SPl T T ∆>∆时，SPl SPl sub q h T =∆；当()sub sub SPl T T ∆<∆时，0SPl q =。

因此可以得到1SPl
e q q q ε
-=
+，故可以求的真实的质量含气率a x 为：
()1FDB Z
h
SPl
a Z l l lv
in P q q x dz A u h ρε-=
+⎰
而
111a l a
a v a
x S x αραρ=--，滑速比S 可取1.5 4.1。

在气泡脱离起始点FDB Z 之后，认为壁面处的空泡份额维持不变，均为FDB α，所以低欠
热沸腾区的空泡份额α为：FDB a ααα=+。

6、有两种介质l 、v ，密度分别为l ρ、v ρ，介质l 位于v 之上，且l ρ远大于v ρ；假设两种介质初始无流动，且界面初始为平界面。

如图2所示。

试导出界面发生Rayleigh-Taylor 不稳定性时的波长（Taylor 波长），以及Rayleigh-Taylor “最危险”波长。

图 2
解：Taylor 波长为：()
2C
l v g σ
λπ
ρρ=-
Rayleigh-Taylor“最危险”波长为：()
323D C l v g σ
λλπ
ρρ==-
7、给出发生流量漂移不稳定性的必要条件，并简要解释其原理。

解：流量漂移又称Ledinegg 不稳定性或水动力不稳定性，其特征是受扰的流体流动偏离原来的平衡工况，在新的流动参数值下重新稳定运行。

当流量变化时，流道摩擦损失的变化大于系统外加压力变化(通常是泵的压头或自然循环压头)时可能发生流量漂移。

故发生流量漂移不稳定性的必要条件为：
F
d
p p
G
G ∂∆∂∆>
∂∂
式中，F 表示阻力特性，d 表示驱动压头特性。

8、请说明Lockhart-Martinelli 关系的基本假设，以及如何运用L-M 关系计算两相摩擦压降，并讨论其适用性。

解：基本假设为：两相间无相互作用，即两相流中各相的的压降l dp dz *⎛⎫ ⎪⎝⎭与v
dp dz *
⎛⎫
⎪⎝⎭应当
等于各相单独流过该相在两相流中所占流道截面时的压降梯度，沿管子径向不存在静压差。

首先测量或计算得到空泡份额α，通过α利用L-M 关系曲线图得到Martinelli 数
2X (222v l X φφ=)；再利用L-M 关系曲线图，通过X 来得到分相乘子2l φ或2v φ；计分算液
相或分气相摩擦压降(即()2
212l l l G x v dp dz d λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭或22
2v v
v G x v dp dz d
λ⎛⎫= ⎪⎝⎭)，再利用2l TP l dp dp dz dz φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2v TP v dp dp dz dz φ⎛⎫⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算出两相流的摩擦压降TP
dp dz ⎛⎫
⎪⎝⎭。

L-M 方法适用于低压、可忽略相变或加速影响的水平流动；当这些效应不可忽略但不
十分大时，也可使用该方法。

9、简述阻抗法测量空泡份额的基本原理。

解：利用气、液各自具有不同的介电常数以及相差悬殊的电阻值的特征，通过测量布置于两相混合物内的两电极间的电容量或电导的方法来确定两相混合物的相对浓度，计算出空泡份额。

10、两相摩擦压降可由各种两相乘子来关联。

现有Martinelli 数2
X ，其定义为
2l g
dp dp X dz dz ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭；而按Chisholm 关系式，有液相两相乘子2
2
11l C X X φ=++(C 为参数)。

试证明：气相乘子2
2
1g CX X φ=++。

解：
2l TP l dp dp dz dz φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
g
TP g
dp dp dz dz φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴22
2g l X φφ=
∴2
22222111g
l C X X CX X X X φφ⎛⎫==++=++ ⎪⎝
⎭ 故得证。

二、计算题（每题5分，共25分）
1、试用Chen 氏公式计算并建立一内径为12.7mm 、水流量为136kg h 、压力为
0.1186MPa 的蒸发管中，壁面过热度sat T ∆分别为2.78C ︒、11.1C ︒、22.2C ︒，含气率x
为1%、5%和20%时的sat q T -∆关系。

解：0.1186MPa 下饱和态水的物性参数为：
3
955.114l kg m ρ=，
3
0.692461v kg m ρ=，
32244.610J lv h K
=⨯⋅，
34.22110pl c J kg K =⨯⋅，0.05805063N m σ=，6269.10810l Pa s μ-=⨯⋅，
612.421310v Pa s μ-=⨯⋅，0.680391l k W m K =⋅
而质量流速2
2
136298.22160.0127
36004
G kg m s π=
=⋅⨯⨯
，0.0127d m = (1) 2.78sat T C ︒
∆=，1%x =，11916sat p Pa ∆=
()
0.45
0.240.75
0.490.79
20.50.240.29
0.240.001222382.4364sat sat p l l l
FZ lv l v
T p c k h W m K h ρσμρ
∆∆=
=⋅；
()1Re 13933.22l l
G x d
μ-=
=，Pr 1.67l pl
l l
C μκ==
0.80.420.023Re Pr 3125.771l l l l h k d W m K ==⋅
0.50.1
0.9
1 2.2910v l l v x X x ρμρμ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫==< ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0.736
11.0,0.10112.350.213,0.10X F X X ⎧
≤⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，故 1.711F = 25347.875FC l h h F W m K ==⋅
1.25Re Re 27263.5TP l F ==，4
Re Re 10
2.7263532.5TP TP -'=⨯=<
()()11.1410.7810.12Re ,Re 32.5
10.42Re ,32.5Re 700.1
,Re 70TP TP
TP TP TP S --⎧''+<⎪⎪''=+≤<⎨⎪
'>⎪⎩，故0.7265S =
21730.82NB FZ h Sh W m K ==⋅ 27078.7B NB FC h h h W m K =+=⋅
227078.7 2.7819678.75B sat q h T W m W m =∆=⨯=。

(2) 11.1sat T C ︒
∆=，5%x =，53611sat p Pa ∆= 同(1)可得217000.573B h W m K =⋅，2
188706.35q W m =。

(3) 22.2sat T C ︒
∆=，20%x =，125639sat p Pa ∆=
同(1)可得233228.98B h W m K =⋅，2
737683.4q W m =。

2、在一环状流中，介质质量流速为G ，液膜中有e 份额的液体被夹带进入气芯，与气相等速运动，速度为g u ，剩余的部分液体(1e -的份额)形成液膜，其流速为l u 。

设气芯中气相空泡份额为α，液膜所占截面份额(hold-up)为γ，气芯中液滴所占份额为()1αγ--。

求此时管道内的加速压降。

解：'l l g G G G G =++，
其中l G 为液膜的质量流速，'
l G 为气芯中的液滴的质量流速，g G 为气相质量流速。

而l l l G u γρ=，()'1l
l g G u αγρ=--，g g g G u αρ=，'
'
l l l
G e G G =+。

2a TP
dp dv G dz dz
-=，其中
()()
2
2
11TP g l x x v ραρα-=+
-。

而g g g
G u x G
G
αρ=
=
，
()()'111g
l l l l l
G G G G G u x G
G e G e G γρ-+-=
===--，故()()2
22222
11g g l l TP u u v G e G
αργρα=+--。

因此联立(1)(2)可得：()()2222
211a l l TP g g dp u dv d G u dz dz dz e γραρα⎛⎫-==+ ⎪ ⎪--⎝⎭。

3、Biasi 试验计算式是基于4500多个试验数据点而总结得到的临界热流密度(CHF)计算式，既可用于计算偏离泡核沸腾的DNB ，也可计算干涸(Dryout)工况的CHF 。

该计算式写为压力p 、质量流速G 、干度x 以及管径D 的函数形式，如下：
对于2
300G kg m s <，有：
()()()[]70.62,15.048101001,W m n
CHF Biasi bar q D G H p x --=⨯⨯-；
对于2
300G kg m s >，则取下列两式结果的较大值：
()()()
()71162
,1
2.76410100 1.468,W m n
CHF Biasi bar q D G F p G x ---⎡⎤=⨯⨯-⎣⎦
()()()
()[]7
162,2
15.048101001,W m n
CHF Biasi bar q
D G H p x --=⨯⨯-
式中，
()()0.72490.099exp 0.032bar bar bar F p p p =+-
()()()1
2
1.1590.149exp 0.019910bar bar bar bar bar H p p p p p -=-+-++
0.4 D 0.01m
0.6 D < 0.01m
n ≥⎧=⎨
⎩ bar p 为以bar 为单位表示的压力值；D 的单位是m ；G 的单位是2kg m s 。

现有一个竖直的，均匀加热的高压水沸腾试验段，压力 6.89MPa p =，管径
10.0mm D =，管长 3.66m L =，入口欠热焓60.38910J kg sub h ∆=⨯，水的汽化潜热
61.5110J kg fg h =⨯，质量流速22000kg m s G =。

若在试验通道出口处达到干涸工况的
CHF ，请计算该试验段的加热热流密度CHF q 以及该通道的加热功率Q 。

解：出口处的含气率x 与加热热流密度q 的关系为：(由能量守恒来推导)
()244 out i out sat sub fg fg sub sat i D DLq h h G h h qL x x h h GD h h h h ππ
⎫
=-⎪⎪-⎪⎛⎫
=⇒=-∆⎬ ⎪⎝⎭⎪
⎪
∆=-⎪⎭
编写程序，迭代运算求解结果，matlab 程序如下： p=68.9; G=2000; D=0.01; n=0.4; L=3.66; delta_h_sub=0.389e6; h_fg=1.51e6; %
F=0.7249+0.099*p*exp(-0.032*p);
H=-1.159+0.149*p*exp(-0.019*p)+9*p/(10+p^2); % q=1e6; while (1)
x=(4*q*L/(D*G)-delta_h_sub)/h_fg;
q_CHF_1=2.764e7*(100*D)^(-n)*G^(-1/6)*(1.468*F*G^(-1/6)-x); q_CHF_2=15.048e7*(100*D)^(-n)*G^(-0.6)*H*(1-x); if q_CHF_1>=q_CHF_2 q_CHF=q_CHF_1; else
q_CHF=q_CHF_2; end
error=abs(q-q_CHF); if error<=1e-1 q=q_CHF; break ; end
if q<q_CHF
dq=(q_CHF-q)/10; q=q+dq; else
q=q_CHF; end end
Q=pi*D*L*q;
运行程序可得2
1480919.3W m CHF q q ==，Q==170279.4W 17kW DLq π≈。

4、在一均匀加热的等直径蒸发圆管中，进口为饱和水，其流量为0.15kg s ，出口压力为60bar ，干度为0.3。

设管子内径为10mm ，试按均相流模型计算加速压降；若按分相流模型计算，加速压降又为几何？
解：均相流模型：
()()2
2211a v l x dp d x G dz dz ραρα⎡⎤--=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
，积分可得：
()()()()22out
2222in 11111a v l v l l x x x x p G dz G ραραραραρ⎡⎤⎡⎤⎛⎫--⎢⎥-∆=+=+-
⎪⎢⎥ ⎪--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦
⎰，式中x ，α为出口处的数据。

又因为()111v l x s x αρρ=
-+，1s =，所以()1
11v l
x x αρρ=-+。

将3757.998kg m l ρ=，3
30.8184kg m v ρ=，0.3x =，2
0.15
40.01
G π=⨯
⨯代入可得：
34063.4Pa a p -∆=。

分相流模型：
计算同均相流模型，但是()1
11v l
x s x αρρ=
-+
中的1s >，用不同的s 进行计算可得如
下曲线：
从曲线趋势可以看出，在低滑速比情况下，分相流模型计算结果比均相流模型的小，在一定的滑速比之后，结果相反。

5、有质量流量为0.12kg 的过冷水从某均匀加热圆管内流过，管内径为12mm ，管长为3m ，管壁加热的热流密度为2
900kW m ；水的入口压力为5MPa ，入口欠热度(以焓差in in sat h h h ∆=-表示)为600kJ kg 。

试以Saha-Zuber 关系求FDB 点位置，以及该处水的欠热度。

解：5MPa 压力下水的物性参数为：6
10010Pa s l μ-=⨯⋅，0.604155W m K l k =⋅，
5036.84J kg K pl c =⋅，Pr 0.833747=。

故得Re 127324e
l
GD μ=
=，Re Pr 106156>70000Pe ==，故0.0065St =。

又因为()pl sub FDB
q
St Gc T =
∆，故得：
()154
25.9sub FDB pl
q
T C Gc ︒∆==。

由热力平衡关系得：
()
()22
1
4
1 4FDB pl FDB in in pl sub FDB pl q Dz G D c T T h G D c T c πππ=-⎛⎫∆=-∆ ⎪
⎪⎝⎭
故()in
1.66m 4pl FDB sub FDB pl Gc h z T q c ⎛⎫∆=-∆= ⎪ ⎪⎝⎭。

三、分析题（第1题7分，第2题8分，共15分）
1、有一沸腾通道，长为L ，周长为H P ，截面积为A 。

流体的饱和液相密度为f ρ，饱和汽相密度为g ρ，汽化潜热为fg h 。

假设：
① 通道为均匀加热通道，且加热热流为"
q ；
② 饱和液体进口条件(in f h h =)，出口为两相流体； ③ 采用两相流动的均相模型； ④ 系统压力p 恒定。

试推导并分析（定性画出时间序列曲线）沸腾流道内任一截面z (z 为沸腾通道长度坐标)上两相混合物体积流通量(),j z t 及混合物密度(),h z t ρ对入口速度()in j t 按下面阶跃函数()⎩⎨
⎧>≤<=1
21
1,0,t t j t t j t j in 对对(其中t 为时间坐标)变化的响应。

解：由连续性方程可得：
()()()()11in f g f
f in f
g j z j z z j z j j ραραρραρρ=+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫
⇒=- ⎪
-⎝
⎭ 由热力平衡可得：
()()()()"1"",H g g f f f in f
f g f g H H
in in f g fg f g fg q zP h Aj z h Aj z h Aj q P q P j z z j Cz j C Ah Ah αραρρρρρρρρρρ=+--⎛⎫--⇒=+=+= ⎪
⎪⎝⎭
为常数 因此in j 阶跃变化后的j 的变化形式为：
()"1,f g in in
H h g f f f in f g fg j j q P C j Cz j Ah ρρραραρρρρρ⎛⎫-=+-=== ⎪ ⎪+⎝⎭
为常数
故in j 阶跃变化时h ρ的变化曲线如下：
两相流动与沸腾传热
由关系式与图像可知，在in j 发生阶跃突变后，()j z 与()h z ρ均发生突变。

2、在某一沸腾通道(如图3所示)，管内加热周长为H P ；流道截面积为x A ；管壁含内热源
'''q (初始释热率为'''0
q )，相应的管壁热流为''q (初始 释热率为''
0q )；入口体积流速为in j (初始入口体积流速为0in j )；相应入口质量流速为G (初始入口质量流速为0G )，入口焓为in h (初
始入口焓为0in h )。

并假设：○
1管壁体积释热率为均匀分布；○2无欠热沸腾。

试采用均相流模型导出：流道内单相区与两相区分界面(沸腾边界)的频域波动()s δλ随入口表观流速扰动()in j s δ、管壁体积释热率扰动()'''
H q s δ，以及入口流体焓扰动()in h s δ变
化的关系式。

图 3
z
ρh
j 1<j 2时的ρh 曲线图
ρh1ρh2
t ≤t 1
t>t 1
所有位置处的ρh 均发生突变
z
ρh
j 1>j 2时的ρh 曲线图
ρh1ρh2
t>t 1
t ≤t 1
所有位置处的ρh 均发生突变
解：稳态初始情况下由热平衡可得：
()()()
''0000000''
0,1H x f in x f in f H
q P G A h h G A h h h q P
λλ=-⇒
-=
为饱和水焓
对于单相液体区，其能量守恒方程式为：
()''2l l H
l
x
i i q P G t z A ρ∂∂+=∂∂
其中l i 为单相液体的热焓。

对(2)在初始稳态下进行微小扰动并进行拉氏变换得：
()''00
3l H l l l in l x i P d s i j G i q z dz A ρδρδδδ∂⎛⎫++=
⎪
∂⎝⎭
其中，''
000l H x
i q P z G A ∂⎛⎫
= ⎪
∂⎝⎭。

因此(3)式经整理可得：
()''''0''000
04H in l l in x
in P q j d s
q i i dz j G A q j δδδδ⎡⎤
+=-⎢⎥
⎣⎦
又因为δλ与()0l i δλ有如下关系(依据斜率关系)：
()()''
00005l l H x
i i q P z G A δλδλ∂⎛⎫-==
⎪∂⎝⎭
而对于'''q δ与''q δ间的关系，有：
()'''
''6w w pw w
w w H dT C A q A q P dt
ρ=-
式中，w A 为管子的材料截面积，其他下标有w 的均为管子的材料性质参数。

对式(6)进行微扰动并取拉氏变换可得：
()()()
()()1212''''';
7;
1
;
w H
w pw w w pw T Z s q Z s q P Z s C A s
Z s C s
δδδρρ=+=-=
对于单相液体，有：
()()''8l w l q h T T =-
式中l h 为单相的换热系数，由D-B 公式(0.80.8
0.023Re Pr l l l Nu =)知其与平均速度的0.8
次方成正比。

对(8)式在稳态初始状态下取微扰动并忽略高阶无穷小，进行拉氏变换得：
()''''000000''9l l
l in
l w l w pl l pl in i h i j q h T q h T q a C h C j
δδδδδδδ⎛
⎫
⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
式中，0.8a =。

整理式(9)可得：
()''
00
''10l
in w l in pl i j T q q a
h j C δδδδ⎡⎤
=-+⎢⎥⎣
⎦
将式(10)代入式(7)可得：
()()()()()''
2000
1010010'''''11111l in l l
l l in pl l Z s h q a j h q q i Z s h Z s h j C Z s h δδδδ=+----⎡⎤⎣
⎦
将式(11)代入式(4)可得：
()()()()()
()()()()()()()123'''00
010
001''
2001''020
2001'''
;12;
11;
1;1in l l in l H
in x pl l H x pl l l H x pl
l j d q i I s i z I s I s dz j q h P s I s j G A C h Z s P q a
I s G A C h Z s h Z s P q I s G A C h Z s δδδδ+=+=
+
-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=
-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=
⎢⎥-⎣⎦
解微分方程(12)并结合边界条件()0l in i z h δδ==，可得：
()()()()()()()()2310'''
00102
31'''00'''ln '''in in in in in j q I s I s I s i j q I s j q I s I s I s h j q δδδλλδδδ⎡⎤+-⎢⎥⎢
⎥-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦
整理可得：
()()()()()()()(){}
()
2301010'''1010'''exp 1exp 13in l in in I s I s j q i h I s I s I s j I s q δδδλδλλ⎡⎤
=-++--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将式(13)代入式(5)可得：
()()()()()()()
()()()
(){}
()()()
(){}
()()123''
20110001''30210'''001''03100''';
141exp ;1exp ;exp ;in in H x in H x H
x
s j s s q s s h s I s q P s I s G A j I s I s q P s I s G A q I s q P s I s G A δλδδδλλλ=Λ+Λ+ΛΛ=---⎡⎤⎣⎦Λ=---⎡⎤⎣⎦Λ=--⎡⎤⎣⎦。