图论最短路径问题

信息与管理科学学院信息与计算科学系

课程论文

课程名称：图与网络优化

论文名称：图论最短路径问题在消防选址中的应用

*名：***

班级： 12级金数二班

指导教师：***

学号： **********

实验室：信息管理实验室

日期： 2015.06.06

图论最短路径问题在消防选址中的应用

1210110057 武冬冬

【摘 要】 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。本文介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Dijkstra 算法；消防选址

1 引言

图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述

物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念

2.1 图的定义

有序三元组),,(ϕE V G =称为一个图，其中：

(1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边；

(3)ϕ是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类

在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与

V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为

),(E V D =；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。

2.3 权

如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图，ij W 称为边),(j i V V 上的权。

3 最短路径问题

最短路径问题是图论中的一个基本问题。在赋权图中，每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，找出两节点之间总权和最小的路径就是最短路径问题。

最短路径问题，通常归属为三类：

(1)单源最短路径问题：包括确定起点的最短路径问题和确定终点的最短路径问题。确定终点与确定起点的最短路径问题相反，该问题是已知终点，求最短路径问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

(2)确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

(3)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

4 最短路径算法

在赋权图中寻求最短路的算法通常有两种：Dijkstra 算法和Floyd 算法。 4.1 Dijkstra 算法

当所有的权数0≥ij W 时，Dijkstra 算法是目前公认的最好的算法。其基本思想是从起点0v 出发，逐步向外发展。探索过程中，每到一个点，都记录下路径与路程，称为这个点的标号。故Dijkstra 算法也称为标号法。

具体标号由两部分构成，第一部分是一个字母，表示前面的一个点的符号，说明从哪里来；第二部分是一个数字，表示从起点到目前位置的距离，说明有多远。标号被分成临时标号和永久标号两种。前者是可以修改的，后者是不变的。开始的时候，所有的标号都是临时标号，每一次算法循环，将其中的某一个临时标号改变为永久标号。因此，最多经过1-n 次，可以求出从起点到终点的最短路径和路程。

Dijkstra 的算法步骤为：设起点为0v ，终点为n v 。

(1)起点标号(一，0)，邻点标号)),(,(00v v L v ，其他标号),(0∝+v 。令

0v V V -=。

(2)如果φ=V ，终止算法。

(3)选择V v k ∈，具有最小标号{})(min )(i V

v k v L v L i ∈=。如果n k v v =，终止算法；

否则，将k v 的标号改成永久标号，令k v V V -=。

(4)检查k v 的邻点，如果)()()(i k k i v v L v L v L ++>，则给i v 标号

))()()(,(i k k i k v v L v L v L v ++>并返回步骤(2)。

4.2 Floyd 算法

在某些问题中，需要确定图中任意两点之间的最短路径与路程。如采用Dijkstra 算法求解，则须依次变换起点，重复执行算法n 次才能得到所需结果，这显然过于繁琐。

Floyd 算法可以借助于权矩阵直接求出任意两点之间的最短路径。

首先定义赋权图的权矩阵：n n ij d D ⨯=][这里

⎩⎨⎧∝∈=否则

当,),(,E v v d j i ij ij ω 式中，ij w 表示),(j i v v 的权数。

Floyd 的算法步骤：(1)令0=k ，输人权矩阵D D =)0(。(2)令1+=k k ，

计算n k d D n n k ij k ,,2,1,)()1()( ==⨯- ，式中],,min[)

1()1()1()(---=k kj k ik k ij k ij d d d d 。(3)如果

n k =，终止算法；否则，返回步骤(2)。

上述算法的最终结果n n n ij n d D ⨯=)()

()(中元素)(n ij

d 就是从顶点i v 到j v 的最短路程。如果希望计算结果不仅给出任意两点间的最短路程，而且给出具体的最短路径，则在运算过程中要保留下标的信息，即ikj kj ik d d d =+。