第三章 水文统计原理

1 T P (X x )
例如，当暴雨或洪水频率为1%时，重现期T＝ 100年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或洪水。
第三节 频率分布
所谓百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于这
样的暴雨或洪水在长时期内平均 100年发生一次，而不
能认为每隔100年必然遇上一次。
第三节 频率分布
三、设计洪水频率
洪水频率
第三节 频率分布 二、累积频率与重现期
2.重现期 频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期。 所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现 的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母 T 表 示，一般以年为单位。 在桥涵水文计算中，重现期是频率的倒数。
第三节 频率分布
当研究暴雨洪水问题时, P（X＞x）是暴雨洪水 事件发生的频率，其重现期为
式中：p为频率；m为系列按照递减次序排列时，各 随机变量的顺序号；n为随机变量的总项数，即水文 资料观测的总年数。
第四节 经验频率曲线
年份 1987 1988 1989 1990 Qm 1200 1320 1512 890 序号 1 2 3 4 Qm 1600 1512 1320 1200 P（％） 10 20 30 40
第三节 频率分布
三、设计洪水频率
第三节 频率分布
第三节 频率分布
三、设计洪水频率 新规范关于设计洪水频率的另外两条： • 二级公路的特大桥以及三级、四级公路的大桥 ，在水势猛急、河床易千冲刷的情况下，可提 高一级设计洪水频率验算基础冲刷深度。 • 沿河纵向高架桥ห้องสมุดไป่ตู้桥头引道的设计洪水频率应 符合本标准中路基设计洪水频率的规定。
第二节 几率和频率
二、事件与随机变量 2.随机变量
随机事件的每次试验结果可用一个变量X的数值 来表示，称为随机变量。可分为离散型的和连续型 的随机变量两类。 水文现象中的随机变量指水文特征值，如流量， 降雨量、水位等。
第二节 几率和频率 连续型随机变量——在一定的区间内取得任何值。 自记水位过程 —— Z(t)～t 自记雨量过程 —— P(t)～t 离散型随机变量——在一定的区间内取得某些间断 值。 年降雨量X={x1}，X={x2} ，… ，X={xn -1}， X={xn}
2.一致性
指同一系列水文资料属于同一类型、同一条件
下产生的。如：日平均流量和月平均流量。
3.代表性 水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水 文情势，资料实测系列越长，代表性越好。
第二节 几率和频率
二、事件与随机变量 1.事件 事件是指随机试验的结果。 必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发 生，称此事件必然事件。 不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为 不可能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以 不发生，这样的事件就称为随机事件。
m P 100 % n
式中：P——洪水频率（%） n——具有最大流量值的总年数 m——n年中等于或大于洪水流量Qm的年份
第三节 频率分布
三、设计洪水频率
• 桥涵及其附属工程尺寸取决于设计流量的大小。 • 设计标准根据经济条件和工程的安全要求预先拟 定，一般由国家统一制定。 • 我国新规范《公路工程技术标准》中桥涵设计洪 水频率。
第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率 每个变量都对应着一定的出现频率，系列中的变量 对应着的一定频率分布规律，即为随机变量的频率 分布。 对于实测水文资料，一般以等区间分组，并按由大 到小的递减次序排列，然后进行统计计算。 水文资料是连续随机变量，可以在最大和最小值的 区间取一切值。
第三章 水文统计原理
第一节 水文现象的特性和分析方法 一、水文统计 水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过 程中，包含着必然性的一面，也包着偶然性的一面。 必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现 象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出 现的现象，也称随机现象。 水文现象具有：周期性、地区性、不重复性
第四节 经验频率曲线 一、 经验频率曲线的计算 频率计算公式： 1）简单公式 m
p n 100%
如果用简单频率公式来计算经验 频率，存在不合理现象。当 m ＝ n 时， 最末项的频率为 100% ，样本末项值 为总体中的最小值，不符合事实。
2）维泊尔公式（均值公式、数学期望公式）
m p 100% n 1
利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随 机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并 以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义 下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工 和运行管理提供水文依据。
譬如：某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行 期间 ( 未来 100 年 ) 的径流和洪水的大小。但是，未来 100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。
第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率 流量与累积频率关系折线图——分布曲线
P( x x p ) F ( x p ) f ( x)dx
xp

累积频率分布函数可以由密度函数积分而得。即 某变量X对应的密度曲线左侧下围面积P就是x所对 应的累积频率。
第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率
年径流量W ={W1}，W ={W2}，… ，W ={Wn -1} ，W={Wn}
第二节 几率和频率 三、总体、个体与样本 将随机变量所能取值的全体称为总体。总体中
的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。
从总体中随机抽取一部分个体称为样本。样本所
含个体的数目称为样本容量(大小)。
水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文 系列，现有的水文观测系列可以当作总体的一个 样本。
1991
1992 1993 1994 1995
978
1110 1600 630 750
5
6 7 8 9
1110
978 890 750 630
50
60 70 80 90
第四节 经验频率曲线
• 经验频率曲线的绘制步骤：
1. 收集水文资料，组成随机变量系列。 2. 将变量系列从大到小递减顺序排列。此时系列中变 量的顺序号m，不仅表示变量大小的先后顺序，还 表示等于和大于该变量的累积出现次数。 3. 按照维泊尔公式列表计算各变量对应的累积频率。 4. 以变量为纵坐标、频率为横坐标，在经验频率曲线 上绘制经验频率点。 5. 依据经验点群的变化趋势，描绘成一条圆滑的曲线 ，即为所求的经验频率曲线。
第一节 水文现象的特性和分析方法 随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统
计规律的学科称为概率论，而由随机现象的一部分
试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科
称为数理统计学。
一些水文现象具有一定的随机性，用数理统计 方法来分析研究这些现象称为水文统计学。
第一节 水文现象的特性和分析方法 水文统计的基本任务
第四节 经验频率曲线
等分格纸：纵横坐标均匀划分
海森几率格纸：将横坐标按标准正态频率曲线转 换成“中间较密，两端稀疏”不均匀划分，以 P=50％对称中心
第四节 经验频率曲线
经验频率曲线的延长
问题：一般实测河流径流量n<100年，最多推求百年 一遇的洪峰量，若推求 0.1%、 0.01%频率下的洪峰
第五节 统计参数
研究分布的数值特征（统计参数）的重要意 义在于:
• 需要用一些数值特征来表示一个已知的概率分布。 • 对于一个未知分布，可以通过数值特征来估计它的 分布。在水文计算中，通常只掌握样本系列的统计 参数来推求总体的规律。
第五节 统计参数
对水文随机变量，设有实测系列值：x1,x2,x3,…,xn，则 1.均值
第四节 经验频率曲线 在水文计算中，一般采用累积频率曲线(简称 频率曲线)来说明水文特征值的统计规律。也就是 说，通过这条曲线来表达水文特征值与其对应的 累积频率的关系，以便确定某指定频率P的水文 特征值。
第四节 经验频率曲线
水文统计法中的频率曲线分为两类： • 由实测资料绘制的累计频率曲线称为经验频率 曲线。 • 具有一定数学形式的频率曲线，通常被称为“ 理论”频率曲线。
第三节 频率分布
某水文站75年流量资料表
第三节 频率分布 一 频率密度和累积频率 以各组出现次数与总次数之比表示各组所在区间 流量值出现的可能程度（即频率）； 累积频率是各组累积出现次数与总次数的比值， 表示等于和大于该组所在区间的流量值出现的可能 程度，都以百分数计。
第三节 频率分布 一 频率密度和累积频率
第三节 频率分布
第三节 频率分布 二、累积频率与重现期
1.累积频率
可理解为等量值和超量值累积出现的次数 (m)与总 观测次数(n)之比值，以百分数或小数表示。
m P ( X ≥xi ) 100% n
实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特征 值的频率，而需要知道大于或等于某一特征值的频率 ，此即累积频率。
量，则需要将曲线外延。
为了避免徒手顺势外延的主观随意性，一般可 使用海森几率格纸，使正态分布的频率曲线在其上 呈一条直线。使得手动延长的频率曲线部分误差比 普通坐标纸相对减。
第五节 统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化 规律。但随机变量特别是水文随机变量，其概 率分布的确定是十分困难的。实际上，我们有 时仅需要知道它的一些数字特征即统计参数就 足够了。 随机变量的频率分布特征和频率分布曲线， 能够用该系列的几个数值特征值来确定，这些 具体数值常称为统计参数。水文统计中常用的 统计参数有三个：均值X 、变差系数Cv、偏差 系数Cs。
第二节 几率和频率 四、几率与频率 表示随机事件出现可能性大小的数值称为该随机 事件的几率（或概率）。
m P ( A) n
• 在一系列重复的独立试验中，某一事件出现的次数与试 验总次数的比值，称为该事件的频率。 • 试验次数较少时，频率具有偶然性。 • 试验次数愈多，频率愈接近几率。
第二节 几率和频率
x1 x 2 x n 1 n x xi n n i 1
意义：为系列值分布的中心，表示对象的平均情况， 即总体水平的高低。 2.均方差
i 1 2 ( x x ) i n
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概
率是十分接近的。
第二节 几率和频率 水文事件只能利用一定的样本计算其频率，作为经 验几率，推求事情的变化规律，预测未来可能出现 的情况，满足工程需要。 年最大值法：就是从水文站历年流量观测资料中， 每年选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的 观测资料中，可以选出n个流量值，组成一个n项容 量的随机样本。也称为“年最大流量法” 水文统计法：就是利用已有的实测水文资料（数据 ）组成有限的随机变量系列，作为无限总体中的一 个随机样本，以样本的规律推断总体的规律，来解 决实际工程中的水文计算问题。
四、几率与频率
频率与几率不同：


几率是随机事件在客观上出现的可能程度。 是事件固有的性质。 频率是利用有限的试验结果推算得到的。 试验次数无限多时，频率趋向于几率。
第二节 几率和频率
四、几率与频率
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００ 出现正面次数 ２０４０ ６０１８ １２０１４ 频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
第一节 水文现象的特性和分析方法 水文统计的基本方法和内容
根据已有的资料（样本），进行频率计算，推
求指定频率的水文特征值；
研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系
延长、插补水文特征值和作水文预报。
第一节 水文现象的特性和分析方法 水文统计对水文资料的要求： 1.可靠性 以实测水文数据为资料，一般可直接应用。
以数据系列（流量或者雨量等）为横坐标，频率为纵坐 标，可绘出变量与频率关系的直方图 。
第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率 频率密度
p x
p 频率密度函数 f ( x) lim x
区间（x1~x2）的频率
P( x1 x x2 ) f ( x)dx
x1 x2
第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率 若以流量（x）为纵坐标，累计频率为横坐标， 则可绘出流量与累计频率关系的折线图。如果资 料无限增多，组距无限减小，累积频率多边图即 成为光滑的S形累积频率曲线(均以虚线表示)。在 水文计算中，一般采用累积频率曲线来说明水文 特征值的统计规律，通称为频率曲线或分布曲线。