2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理(含解析)
第6讲 空间向量及运算
1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式
①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝□
01 x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＋z 1－z 2
2
.
②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |＝□02 x 2＋y 2＋z 2. (2)中点公式
设点P (x ，y ，z )为P 1
(x 1
，y 1
，z 1
)，P 2
(x 2
，y 2
，z 2
)的中点，则□03⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1＋x 22，
y ＝y 1
＋y 2
2
，z ＝z 1
＋z 2
2
.
2．空间向量的数量积
a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
3．空间向量的坐标运算
a ＝(a 1，a 2，a 3)，
b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)：
1．概念辨析
(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( )
(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．小题热身
(1)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →
＝
b ，AA 1→＝
c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B ．12a ＋1
2b ＋c C ．－12a －1
2b ＋c
D ．12a －1
2
b ＋
c 答案 A
解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →
)＝c ＋12(b
－a )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .故选A.
(2)若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b
答案 C
解析 A ，B ，D 中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c ，a ＋b ，a －b 不共面可以构成基底．
(3)已知向量a ＝(2，－3,5)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，λ，152，且a ∥b ，则λ等于________．
答案 －9
2
解析 因为a ∥b ，所以32＝λ－3＝1525，所以λ＝－9
2
.
(4)已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 答案 －25
15
解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－
25
15
.
题型 一 空间向量的线性运算
如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，P 分别是
AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.
解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，
∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→
＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .
(2)∵N 是BC 的中点，
∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →
＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .
(3)∵M 是AA 1的中点，
∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →
＝－12a ＋( a ＋c ＋12b )
＝12a ＋1
2
b ＋
c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝1
2c ＋a .
∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3
2
c .
条件探究 在举例说明条件下，若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，试用a ，b ，c 表示EF →
.
解 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →
.
由已知四边形ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →
＝b ＋c ，
A 1D →＝A 1A →＋AD →
＝－a ＋c .
又EA →
＝－13AC →＝－13(b ＋c )，
由已知A 1F →＝2FD →
，
所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →
＝c －13(c －a )＝1
3
(a ＋2c )，
所以EF →＝EA →＋AF →
＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13
(a －b ＋c )．
用已知向量表示某一向量的注意事项
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
1．如图所示，在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝________(用a ，b ，c 表示)．
答案 12a ＋14b ＋14
c
解析 因为D 为BC 的中点， 所以OD →＝12(OB →＋OC →)＝1
2
(b ＋c )，
又因为E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →
)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋
12
b ＋
c ＝12
a ＋14
b ＋1
4
c .
2．如图所示，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上，点N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND ，若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →
，则x ＋y ＋z ＝________.
答案 －2
3
解析 MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(AD →－AP →
)－23(PA →＋AC →)＝12AD →－12AP →＋23AP →－23(AB →＋AD →)
＝－23AB →－16AD →＋16
AP →
，
所以x ＋y ＋z ＝－23－16＋16＝－23
.
题型 二 共线向量与共面向量定理的应用
1．(2018·郑州调研)已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于________．
答案 －9
解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，
解得λ＝－9.
2．(2018·唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
(0≤k ≤1)．
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→
，
∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→
共面．
(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，故直线MN 与平面ABB 1A 1
不平行．
当0 共面，故MN ∥平面ABB 1A 1. 证明三点共线和空间四点共面的方法 提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件． 1．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC → ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 1 8 解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋1 8＋t ＝1， ∴t ＝18 . 2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC → )． (1)判断MA →，MB →，MC → 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM → ， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC → 共面． (2)由(1)知，MA →，MB →，MC → 共面且MA ，MB ，MC 过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． 题型 三 空间向量的数量积及应用 角度1 空间向量数量积的运算 1．(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF → 的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2 D ． 34 a 2 答案 C 解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD → ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三个向量两两的夹角为60°. AE → ＝12 (a ＋b )，AF → ＝12 c ， ∴AE →·AF →＝1 2(a ＋b )·12c ＝1 4 (a ·c ＋b ·c ) ＝14(a 2cos60°＋a 2 cos60°)＝14a 2.故选C. 角度2 空间向量数量积的应用 2．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱 长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD . 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. |AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→ |＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明：∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD → ＝b －a ， ∴AC 1→·BD → ＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2 －a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos60°－|a ||c |cos60°＝0. ∴AC 1→⊥BD → ，∴AC 1⊥BD . 空间向量数量积的三个应用 1．(2018·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2 ； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A → )＝0； ③向量AD 1→与向量A 1B → 的夹角为60°； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD → |. 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④ 答案 A 解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图． A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1 B 1→＝(0,1,0)，A 1 C →＝(1,1,1)，A D 1→＝(1,0，－1)， 所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2，故①正确； 对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确； 对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为120°， 故③错误； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④错 误．故选A. 2．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则实数λ＝________. 答案 3 解析 因为λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)，所以|λa ＋b |＝42＋ －λ2＋λ2＝29，所以λ2－λ－6＝0(λ>0)，所以λ＝3. 高中数学复习讲义 第七章 立体几何初步 【方法点拨】 立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图 形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置 关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点： 1 .注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置 关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本 图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。 2 .归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间 中角与距离的计算。 3 .抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心 的核心，角与距离的计算已经降低要求。 4 .复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化 成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空 间向量的运算。 【知识图解】 空间几何体 —► 构成几何体 的基本元素 直观认识线 囿平行与垂 —► 中心投影与 平行投影 * --- ► 柱、锥、台、 球的特征 ——► 表面积与体 积 直观图与三 视图的画法 * 点、线、面 之间的位置 关系 第1课空间几何体 【考点导读】 1 .观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2 .能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视 图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3 .通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4 . 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】 1 .一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有J4 条棱，8 个面；②如果它是棱柱， 那么它有12 条棱6 个面。 2 . (1)如图，在正四面体A— BCD中，E、F、G分别是三角形ADC ABD BCD的中心，则^ EFG在该正四 面体各个面上的射影所有可能的序号是③④ (2)如图，E、F分别为正方体的面ADEA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是图的②③ (要求：把可能的图的序号都填上). ①②③ @ 【范例导析】 例1.下列命题中，假命题是(1) (3)。(选出所有可能的答案) (1)有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 (2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (3)有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 (4)若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体 分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。 (1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。 例2. ABC是正△ ABC勺斜二测画法的水平放置图形的直观图，若ABC的面积为J3 ,那么△ ABC 的面积为_________________ 第6讲 空间向量及其运算 【2014年高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】 空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用． 基础梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2， 则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ?a ∥b ； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb . ③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 2019-2020学年高考数学一轮复习《空间向量》教案 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 第1课时 空间向量及其运算 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ． 5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ． 空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： ． (2) 空间向量的长度或模： ． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2 ＝ ； (c) a ⊥b ? ． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ． 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值. 解：易求得0,2 1=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ， =A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是 ( ) A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 解：A 例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， A C D A 1 B 1 9.7 空间向量及其坐标运算（B ） ●知识梳理 1.若=x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量的坐标，也叫点P 的坐标. 2.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2）， 那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）， a · b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2， cos 〈a ，b 〉= 2 2 2 22 22 1 2 12 12 12121z y x z y x z z y y x x ++++++. 3.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2）， 则|M 1M 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 4.对非零向量a 与b ，有 a ∥ b ?a =k b ；a ⊥b ?a ·b =0. ●点击双基 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x =2 1 ，y =－2 1 C.x =61 ，y =－2 3 D.x =－6 1， y =2 3 解析：∵a =（2x ，1，3）与b =（1，－2y ，9）共线，故有12x =y 21-=9 3. ∴x =6 1 ，y =－2 3.应选C. 答案：C 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ， z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P 关于x 轴的对称点为P 1（x ，－y ，－z ），关于yOz 平面的对称点为 P 2（－x ，y ，z ），关于y 轴的对称点为P 3（－x ，y ，－z ）.故①②③错误. 向量法求空间角 考试要求 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 知识梳理 1．异面直线所成的角 若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v | |u||v |. 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n| . 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2| |n 1||n 2|. 常用结论 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( × ) (2)直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l 与平面α所成的角．( × ) (3)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( √ ) 教材改编题 1．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则l 1和l 2夹角的余弦值为( ) A. 24B.12C.22D.3 2 答案 C 解析 因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)， 所以cos 〈s 1，s 2〉＝s 1·s 2|s 1||s 2|＝－1－22×3 ＝－22. 所以l 1和l 2夹角的余弦值为 2 2 . 2．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量、平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1 2 ，则 l 与α所成的角为________． 答案 30° 解析 设直线l 与α所成角为θ， sin θ＝||cos 〈m ，n 〉＝1 2 ， 又∵θ∈⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴θ＝30°. 3．已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为______． 答案 156 解析 |0，－1，3·2，2，4 |1＋9×4＋4＋16 ＝156 . 题型一 异面直线所成的角 例1 (1)(2022·大庆模拟)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别为 第6讲 空间向量及运算 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝□ 01 x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . ②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |＝□02 x 2＋y 2＋z 2. (2)中点公式 设点P (x ，y ，z )为P 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 )的中点，则□03⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 22， y ＝y 1 ＋y 2 2 ，z ＝z 1 ＋z 2 2 . 2．空间向量的数量积 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．空间向量的坐标运算 a ＝(a 1，a 2，a 3)， b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)： 1．概念辨析 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( ) (3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身 (1)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD → ＝ b ，AA 1→＝ c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算 （含答案） 8.6空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系.空间向量的有关概念.定理.公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行.垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理1共线向量定理空间两个向量a与bb0共线的充要条件是存在实数，使得ab.2共面向量定理共面向量定理的向量表达式pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量3空 间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b2，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做向量a，b 的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa，b2空间向量数量积的运算律abab；交换律abba；分配律abcabac.4空间向量的坐标表示及其应用设aa1，a2，a3，bb1，b2，b 3.向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线abb0， Ra1b1，a2b2，a3b3垂直ab0a0，b0a1b1a2b2a3b30模 |a|a21a22a23夹角a，ba0，b0cosa， ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23知识拓展1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OAxOByOC其中xy1，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OPxOAyOBzOC其中xyz1，O为空间中任意一点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1空间中任意两个非零向量a，b共面2在向量的数量积运算中abcabc3对于非零向量b，由abbc，则ac.4两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同5若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0.6若ab0，则a，b是钝角题组二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 知识梳理 1．平面 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系 ⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩ ⎪⎨⎪⎧ 相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点. 4．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线 a ′与 b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题 1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( ) A ．A B 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交 C ．EF ∥C D D ．EF 与AB 异面 答案 ABC 解析 把展开图还原成正方体，如图所示． 还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线 D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D 解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线． 3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则 单元质检七立体几何(A) (时间:45分钟满分:100分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分) 1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则圆柱的体积是() A. B. C. D.或 2.下列命题中,错误的是() A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B.平面α∥平面β,a⊂α,过β内的一点B有唯一的一条直线b,使b∥a C.α∥β,γ∥δ,α,β,γ,δ所成的交线为a,b,c,d,则a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为() A. B.2 C. D.3 4.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.若l1⊥l2,l2⊥l3,则l1∥l3 B.若l1⊥l2,l2∥l3,则l1⊥l3 C.若l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3共面 D.若l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面 5.一个正方体的表面展开图如图所示,点A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD所成的角的余弦值为() A. B. C. D. 6.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,AC ⊥BC,若A1A=AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,则堑堵ABC-A1B1C1的表面积为() A.4+4 B.6+4 C.8+4 D.10+4 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 7.已知矩形ABCD的边AB=a,BC=3,PA⊥平面ABCD,若BC边上有且只有一点M,使PM⊥DM,则a的值为. 8.已知在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为. 三、解答题(本大题共3小题,共44分) 9. (14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算 [基础达标] 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是() A.平行 B.相交且垂直 C.异面且垂直 D.既不平行也不垂直 1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线. 2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即 是a∥b的充分不必要条件. 3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a, =b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+c C. a-b+c D. a+b-c 3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中 点, +()+ +()+)=-,∵=a, =b, =c,∴ =-a+b+c. 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是() A. B. C. D. 4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥ CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0. 5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且 CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D. 课时作业48 利用向量求空间角 1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ， 设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D → ＝(0,1，－1)，A 1E → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1 D → ·n 1 ＝0， A 1 E → ·n 1 ＝0， 即⎩⎪⎨⎪ ⎧ y －z ＝0，1－1 2 z ＝0，∴⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ y ＝2， z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)． ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝2 3 ，即所成的锐二面角的余弦值为2 3 . 2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( D ) A.32 B.22 C. 22 3 D.233 解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立坐标系， 则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→ ＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→ ＝ (2,0,2)， 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DA 1 →＝0，n ·DB →＝0， ∴⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2x ＋2z ＝0， 2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)． ∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝ |D 1A 1→ ·n ||n |＝23 ＝23 3. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A ) A.33 4 B.233 C.32 4 D.32 解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等． 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 【最新】高考数学《空间向量与立体几何》专题分析 一、选择题 1．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， M ， N 分别为棱 C 1D 1 ,CC 1 的中点，以下四个 结论： ① 直线 DM 与 CC 1 是订交直线； ② 直线 AM 与 NB 是平行直线； ③ 直线 BN 与MB 1 是异面直线； ④ 直线 AM 与 DD 1 是异面直线．此中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 C 【分析】 【剖析】 依据正方体的几何特点，可经过判断每个选项中的两条直线字母表示的点能否共面；假如 共面，则可能是订交或许平行；若不共面，则是异面 . 【详解】 ① ： CC 1 与 DM 是共面的，且不平行，因此必然订交，故正确； ② ：若 AM 、 BN 平行，又 AD 、BC 平行且 AM AD A, BN BC B ，因此平面 BNC P 平面 ADM ，明显不正确，故错误； ③ ： BN 、MB 不共面，因此是异面直线，故正确； 1 ④ ： AM 、DD 1 不共面，因此是异面直线，故正确； 应选 C. 【点睛】 异面直线的判断方法：一条直线上两点与此外一条直线上两点不共面，那么两条直线异 面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是订交 . 2．设 α、 β是两个不一样的平面， m 、 n 是两条不一样的直线，以下说法正确的选项是（ A ．若 α⊥ β， α∩β＝ m ， m ⊥n ，则 n ⊥ β B ．若 α⊥ β，n ∥α，则 n ⊥β C ．若 m ∥ α，m ∥ β，则 α∥ β D ．若 m ⊥ α， m ⊥ β， n ⊥ α，则 n ⊥ β ） 【答案】 D 【分析】 【剖析】 2021年高考数学一轮复习第7章立体几何7.6空间向量及运算课后作业理 一、选择题 1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA → ＋OB →－OC → ，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA → B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C 解析 根据题意得OC →＝1 2(a －b )，所以OC → ，a ，b 共面．故选C. 2．有4个命题： ①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB → ，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA → ＋yMB → . 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ①正确；②中，若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确； ④中，若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP → ＝xMA → ＋yMB → 不正确．故选B. 3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→ ＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→ ，则x ＋y ＋z ＝ ( ) A ．1 B.76 C.56 D.23 答案 B 解析 ∵AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→ ＝xAB → ＋2yBC →－3zCC ′→ ， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝－1 3， ∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7 6 .故选B. 4．已知四边形ABCD 满足AB →·BC → >0，BC → ·CD → >0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形 D ．空间四边形 答案 D 解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D. 5. (xx·北京东城模拟)如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则|PC → |等于( ) A ．6 2 B ．6 空间直线、平面的平行 考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明. 2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用． 知识梳理 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理如果平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，那么该 直线与此平面平行 错误!⇒a∥α 性质定理一条直线与一个平面平行，如 果过该直线的平面与此平面 相交，那么该直线与交线平行 错误!⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理如果一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行，那么这 两个平面平行 错误! ⇒β∥α 性质定理两个平面平行，如果另一个平 面与这两个平面相交，那么两 条交线平行 错误! ⇒a∥b 常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ×) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( ×) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √) 教材改编题 1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( ) A．直线a上有无数个点不在平面α内 B．直线a与平面α内的所有直线平行 C．直线a与平面α内无数条直线不相交 D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 答案 D 解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交． 2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( ) A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b⊂α，则a∥α D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α 答案 D 解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错； 若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错； 若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错； 若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对． 3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______． 答案平行四边形 解析∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 4.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a， n 〉|＝ |a ·n | |a ||n | . 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A ，求向量AB → 到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ，点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) 空间动态问题突破 题型一 空间位置关系的判定 例1 (1)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝1，AB ＝x ，BD 和AC 交于点O ，将△BAD 沿直线BD 翻折，则下列说法中错误的是( ) A ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得A B ⊥O C B ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC ⊥B D C ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AB ⊥平面ACD D ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC ⊥平面ABD 答案 D 解析 当AB ＝x ＝1时，此时矩形ABCD 为正方形，则AC ⊥BD ， 将△BAD 沿直线BD 翻折，若使得平面ABD ⊥平面BCD 时， 由OC ⊥BD ，OC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 所以OC ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥OC ，故A 正确； 又OC ⊥BD ，OA ⊥BD ，且OA ∩OC ＝O ，OA ，OC ⊂平面OAC ， 所以BD ⊥平面OAC ，又AC ⊂平面OAC ，所以AC ⊥BD ，故B 正确； 在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，AC ＝1＋x 2 ， 所以将△BAD 沿直线BD 翻折时， 总有AB ⊥AD ， 取x ＝12，当将△BAD 沿直线BD 翻折到AC ＝32时，有AB 2＋AC 2＝BC 2 ， 即AB ⊥AC ，且AC ∩AD ＝A ，AC ，AD ⊂平面ACD ， 则此时满足AB ⊥平面ACD ，故C 正确； 若AC ⊥平面ABD ，又AO ⊂平面ABD ，则AC ⊥AO ， 所以在△AOC 中，OC 为斜边，这与OC ＝OA 相矛盾，故D 不正确. (2)(多选)(2022·烟台质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是( ) 2020 年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型重点】 向量证明平行与垂直的 4 步骤 (1)成立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)成立空间图形与空间向量之间的关系， 用空间向量表示出问题中所波及的点、 直线、 平面的因素； (3)经过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)依据运动结果解说有关问题． 【例 1】如图，在直三棱柱 ADE —BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且相互垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面 BCF ； (2)平面 MDF ⊥平面 EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得 AB ， AD ， AE 两两垂直，以点 A 为原点成立如图所 示的空间直角坐标系． 设正方形边长为 1，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,1,0) ，D (0,1,0) ，F(1,0,1) ， M 1 ,0,0 ， 2 O 1 , 1 , 1 . 2 2 2 → 1 1 → OM ＝ 0, , 2 ，BA ＝ (－ 1,0,0)， 2 → → → → ∴ OM ·BA ＝ 0, ∴ OM ⊥BA. ∵棱柱 ADE — BCF 是直三棱柱， → ∴ AB ⊥平面 BCF ，∴ BA 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF . (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝ (x 1，y 1，z 1)， n 2＝ (x 2， y 2， z 2)． → → ∵ DF ＝ (1，－ 1,1)， DM ＝ 1 → → ，－ 1,1)， , 1,0 ， DC ＝ (1,0,0) ，CF ＝(0 2 → x 1－ y 1＋ z 1＝0， n 1·DF ＝ 0， 得 1 由 → 2x 1－ y 1＝ 0， n 1·DM ＝ 0， 令 x 1＝ 1，则 n 1＝ 1, 1 , 1 .同理可得 n 2＝ (0,1,1) ． 2 2 ∵ n 1·n 2＝ 0，∴平面 MDF ⊥平面 EFCD . 方法二 → → → → 1 → → 1 → (1)OM ＝ OF ＋FB ＋ BM ＝ DF － BF ＋ 2 BA 2 1→→→ 1 → 1 → 1 → 1 → ＝ (DB ＋ BF)－ BF ＋ BA ＝－ 2 BD － BF ＋ BA 2 2 2 2 1 → → 1 → 1 → ＝－ ( BC ＋ BA)－ BF ＋ BA 2 2 2 1 → 1 → ＝－ 2BC －2BF. ∴向量 → 与向量 →，→ 共面， OM BF BC 又 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF . (2)由题意知， BF ， BC ， BA 两两垂直， → → → → → ∵ CD ＝BA ， FC ＝BC －BF ， → → 1 1 BF → ∴ OM ·CD ＝ 2 BC BA ＝ 0， 2 → → 1 1 OM ·FC ＝ 2 BCBF 2 → → ·(BC － BF) 1 → 2 1 → 2 ＝ 0. ＝－ BC ＋ BF 2 2高中数学讲义第七章立体几何初步(超级详细)
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