电路的暂态分析

t 10
)W
t 0
6.2.3 RC电路的全响应
S
i

u U
t 0
U
R u C
uC
O
t
换路前电容储能不为零，uC (0 ) U 0 0
duC 因为换路后的电路与零状态 t 0时， U RC uC 响应的电路相同，所以微分方程相同。 dt
通解
uC U Ae
U i L ( 0 ) R uL ( 0 )
uL (0 ) 20 0 20V
例2 电路原已稳定，t=0时开关断开，求 iC(0+) 。 解：(1) 由0-电路求 uC(0-)。 + + i 10k 40k uC + + 10k 10V iC K u uC(0-)=8V 40k 10V C (2) 由换路定则 uC (0+) = uC (0-)=8V + i(0+) 10k + 8V
1 2 WL uidt Li 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电 感的电路存在过渡过程。
结
论
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路 参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进
必须采取防范措施。
{end}
6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
换路定则
换路: 电路状态的改变。如：
1 . 电路接通、断开电源
2 . 电路中电源电压的升高或降低
3 . 电路中元件参数的改变
…………..
换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 --- 换路前瞬间 0 --- 换路后瞬间
-
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)。 10V 10 8 iC(0+) iC ( 0 ) 0.2mA 10 t=0+等效电路 iC(0--)=0 iC(0+)
{end}
6.2
t=0
1 +
RC电路的响应
6.2.1 RC电路的零输入响应
K 2 R C
duC RC uC 0 dt
U0 U
U0 O t
U O t
如果U=U0,曲线 会是什么形状？
uC
U U0
U＝U 0
无过渡过程
t
O
例1 图示电路t=0时开关闭合，已知 uC (0) 5V,求 t 0 时的uC(t)。 解：由于电容的初始电压不为0，且 10Ω + + t>0时外加输入也不为0，故本题是求 S 1F u 解完全响应的问题。 10V C uC(t)的零输入响应为 t
duC iC (t ) C 2.5e dt
t 10
uC (t ) 25(1 e
A t0
u 5iC uC 12 .5e


t 10
)V
t0
t 10
t 10
25(1 e
t 10
) t0
( 25 12 .5e
)V
p 5u (125 62.5e
uC1 (t ) uC (0)e
uC(t)的零状态响应为

RC
5e0.1t V
t 0
t 0
uC 2 (t ) uC ()(1 e
故完全响应为

t RC
) 10(1 e 0.1t )V
uC ( t ) uC 1 ( t ) uC 2 ( t ) 5e 0.1t 10(1 e 0.1t ) 10 5e 0.1tV t0
例 图示电路中，若t=0时开关S打开，求uC (t )和电流源发 出的功率。 5Ώ 解：分析可知所求为零状态响应 t iC 5A uC (t ) uC ()(1 e ) + + S 5Ώ 1F uC u uC () 5 5 25V (5 5) 1 10 s
例1 t=0时，开关从a投向b，求电容电压和电流。 a + 5V 1Ώ
iC b + u 1Ώ 1F - C
解：该电路为求零输入响应
uC (t ) uC (0)e
由电路得：

t

t≥0时电路 1Ώ
iC + u 1Ώ 1F - C
uC (0) uC (0) 5V
(1 1) 1 2s
电容电路
K + _E R
储能元件
uC
E
C
uC
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ， 其大小为：
1 2 WC 0 uidt Cu 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在过渡过程。
电感电路
K
R iL
储能元件
+ t=0 E _ L
iL
t
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
研究过渡过程的意义：过渡过程是一种自然现象, 对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有 利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的 波形或改善波形；不利的方面，如在暂态过程发生 的瞬间，可能出现过压或过流，致使电气设备损坏，
1 t RC Ae
A U
uC U
1 t RC ) U (1 e
uC U (1 e
u

1 t RC
) uc ()(1 e
S
uC
1 t RC
)
i
稳态分量
U
t 0
U

0.632U
uC
R
u

0.368 R U
O
C
uC

uC
t
暂态分量
U
uC
不能突变
1 2 LiL ） 电感L储存的磁场能量 （WL 2 WL 不能突变 i 不能突变
L
*
从电路关系分析 K R i 若 c 发生突变，
+ _E
uC
C
u
K 闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
duC E iR uC RC uC dt du (i C ) 所以电容电压 dt
uC (t ) uC (0)e
由电路得：

t

uC (0) uC (0) 10V
Req C
Req 12
9 Ώ
Req
Req 为换路后从电容两端看进去的等效电阻
4 Ώ 3 Ώ
Req C 12 s
t 12
8 Ώ
1 ΏLeabharlann uC (t ) 10e V
t0
则：
( uC ( 0 ) uC ( 0 )
0) iL ( 0 ) iL ( 0 )
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因：
* 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或
衰减需要一定的时间。所以
1 2 电容C存储的电场能量 Wc （ Cuc ） 2
WC
不能突变
t≥0时电路
9 1F + Ώ uC i1
uC (t ) 10e V
4 Ώb a 8 Ώ 3 Ώ i2 1 Ώ
uC (t ) 1 i1 (t ) 93 4
5 12 e A 24
t

t 12
t 0
t0
t uC (t ) 3 15 12 i2 (t ) e A 9 3 4 24

1 t RC
将 uC (0 ) uC (0 ) U 0 代入
得
强制响应(稳态响应)
A U0 U
固有响应(暂态响应)
所以
uC U ( U 0 U
t
1 t )e RC
uC U 0e
全响应

U (1 e

t

)
零状态响应
零输入响应
uC U
U U0
uC U0
uR
t=0
U
iL uL
i L (0 ) i L (0 ) 0 A
t=0＋时等效电路：
已知: R=1kΩ, L=1H , U=20 V、 U
uR(0+)
iL(0+) uL(()+)
开关闭合前 iL 0 A
设 t 0 时开关闭合 由KVL可得 :
iL (0 ), 求: u L (0 )
O
t

0.368U 0
O
2
1
t
2
1
小结：
（1） 一阶RC电路的零输入响应是由储能元件的 初始储能所引起的响应,为由初始值衰减为零的指 数衰减函数。
y( t ) y(0 )e

t

（2） 衰减快慢取决于时间常数 = RC R为换路后从电容两端看进去所对应 无源网络的等效电阻。 （3） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
t

f (t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
三要素： 初始值
t

f (0 )、稳态值 f () 、 和时间常数 。 可以是电路中的 f
不能跃变
i
初始值的确定
初始值：电路中 u、i 在 t=0+时的大小。 求解要点：
1.
u C (0 ) u C ( 0 ) i L (0 ) i L (0 )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
+ uC(0+) iL(0+)
-
例1
K
解:
根据换路定则
uC (t ) 5e V
t 2
t 0
t uC (t ) iC (t ) 2.5e 2 A 2
t0
例2
t 电路如图所示，t=0时开关打开，求 uab (t ) ， 0 。
解：该电路为求零输入响应 4 Ώb a 8 Ώ 3 Ώ 1 Ώ
9 1F + Ώ uC + 10V -
零状态响应和全响应的分析方法。
{end}
概述
“稳态”与 “暂态”的概念:
K
+ _
R
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
uC
过渡过程 :
暂态
稳态
旧稳态
新稳态
E
t
产生过渡过程的电路及原因? 电阻电路
K + E _ R t=0 I
I
无过渡过程
t
电阻是耗能元件，其上电流随电压成比例变化， 不存在过渡过程。

A U0
uC U 0
t e RC
U 0e

t

RC 具有时间的量纲, 称为时间常数。
t

2
3
4
5
uC 0.368U 0 0.050U 0 0.018U 0 0.007U 0 0.002U 0
时间常数决定了
uC U0
uC U0
过渡过程的快慢
1 2
36.8%U 0
第6章 电路的暂态分析
6.0 概述 6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定 6.2 RC电路的响应 6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法 6.4 微分电路与积分电路 6.5 RL电路的响应
第6章 电路的暂态分析
本章要求: 1.理解电路的暂态与稳态，以及电路时间常数的物理 意义； 2. 掌握一阶线性电路的零输入响应及在阶跃激励下的
duc U iC e dt R
1 t RC
小结：
（1） 一阶RC电路的零状态响应是由激励所引起 的储能元件的能量存储,其电容电压一般计算式
uc ( t ) uc ()(1 e

t

)
（2） 衰减快慢取决于时间常数 = RC R为换路后从电容两端看进去所对应 无源网络的等效电阻。 （3） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
{end}
6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
根据经典法推导的结果：
uC ( t ) u'C u"C uC ( ) [uC ( 0 ) uC ( )] e
t RC
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
E
-
uC
uC 0 U 0

微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一 阶电路中一般仅含一个储能元件。）
1 特征方程 RCp 1 0 p RC
微分方程通解：u C
duC RC uC 0 dt
Ae
pt
1 t RC Ae
由初始条件 uC 0 U 0 确定A:
t0
25 12 uab (t ) 8i1 (t ) i2 (t ) e V 24
t
t0
6.2.2 RC电路的零状态响应
S
i

u U
t 0
U
R u C
uC
O
t
u 零状态：换路前电容储能为零， C (0 ) 0
duC t 0时， U RC uC dt
通解uC＝特解uC 补函数uC
特解与已知函数U具有相同形式，设 uC K
dK U RC K dt

K U
通解为相应的齐次微分方程的通解
uC Ae
pt
1 t Ae RC
通解uC＝特解uC 补函数uC
uC uC uC U
1 t Ae RC
由初始条件 uC (0 ) uC (0 ) 0 可得