基于Hamilton原理的柔性多体系统动力学建模方法

u 为柔性梁轴向位移的广义坐标; v 为柔件梁的横向位
移的广义坐标; x 为点 Q 距臂根处的距离。则 Q ′点在 随动坐标系 O a1a2 下的位置矢量 ϕr 为
rϕ= [ (a + x + u) co sΗ- v sinΗ]γi + [ (a + x + u) sinΗ+ vco sΗ] γj
其对时间的一阶导数 ϕr 为
2 一般柔性体的 H am ilton 原理建模方法
H am ilton 原理的基本形式如下:
∫t2 (∆3 2∆V + ∆W ) d t = 0
(1)
t1
其中 t1, t2 为任意的时刻; ∆T 为系统动能的变分; ∆V 为系统势能的变分; ∆W 为作用于弹性
体上外力所做的功的变分。
图 1 表示具有大范围刚体运动的任意柔件体 B 。
1999 年第 5 期 总第 211 期
导弹与航天运载技术
M ISS IL ES AND SPA CE V EH ICL ES
N o. 5 1999 Sum N o. 211
基于 H am ilton 原理的 柔性多体系统动力学建模方法α
刘才山 陈 滨 阎绍泽
(北京大学力学与工程科学系, 北京 100871) (清华大学精密仪器系, 北京 1000871)
5rϕ 5qs
∑ ∑ -
1 2M
Ξτ
5 Jτ→ 5qs
Ξτ
+
2Ξτ n
r= 1
55qrϕr qγ
r
×
5rϕ 5qs
]
∆qsdm
-
∆V + ∆W }d t = 0
(6)
在方程 (6) 的推导过程中, 没有对柔性体的变形作任何假设, 因此, 式 (6) 适合于任意形
状、任意假设条件下的柔性体。
3 Euler2B ernoulli 梁模型的一致线性化动力学方程
∫ ∫ +
v + (a + x + u) Η+ 2Ηαuα- vΗα2 ]∆v}dx +
L
[ E Iv ′′′′∆v - EA u′′∆u ]dx d t} = 0 (10)
0
忽略惯性力作用下柔性梁产生的轴向应变, 即认为弹性体在中性轴上为一轴向不可伸
长的柔性梁, 则梁上任意一点Q 在变形前后存在如下的几何约束条件。
Abstract In the first p lace, the no rm al flex ible body dynam ics m odelling m ethod of con tinous system is built based on ham ilton p rincip le. A nd then tak ing the flex ible beam tunn ing in the ho rizon tal p lan fo r exam p le, in the assum p tion of Euler2 B ernoulli beam , the iden tical linearilized vibration differen tial equation is deduced acco rding to geom etry con strain t condition s . T he flex ible beam fin ite discrete dynam ic m odel w ith rigid2elastic coup ling behavio r is deduced by discretizating the equation w ith assum p tion m odal m ethod. T he effectiveness is verified by com putational sim ulation at last.
(15)
式中 M ee = d iag (m 1, m 2, …, m n) 为系统的广义主质量对角阵;
∫L
m i = ΘA Υ2i (x ) dx ; 0
K ee = d iag (k1, k2, …, kn) 为系统的广义主刚度对角阵;
∫L
ki =
E
I
Υ′′2 i
(x
)
d
x
;
0
本文从 H am ilton 基本原理入手, 首先建立起一般柔性体的动力学建模方法, 进而以 Euler2B ernoulli 梁模型为例, 根据轴向不伸长的柔性梁的几何约束条件, 推导出柔性体一致 线性化的连续系统的振动微分方程, 利用假设模态法导出考虑刚弹耦合作用的柔性体有限 维动力学模型。 仿真算例验证了该方法的有效性。
图 2 在水平面作回转运动的 柔件机械臂系统
(7)
rϕ=
[
5u 5t
co
sΗ-
(a + x + u) sinΗ Ηα-
5v 5t
sin
Η-
vco sΗ Ηα]γi
+ [ (a + x + u) co sΗ Ηα-
5u 5t
sinΗ+
5v 5t
co
sΗ-
v sinΗ Ηα] jγ
(8)
忽略重力的影响, 则系统总的势能即为系统的应变能
式:
n
∑ v (x , t) =
Υi (x ) qi ( t)
(14)
i= 1
式中 Υi (x ) 为柔性梁横向振动的第 i 阶模态振型函数; qi ( t) 为 i 阶模态广义坐标; n 为模态
阶数。可得系统如下的离散化动力学方程:
M ee q + K eeq + M re Η+ N e = 0
Yan Shaoze
(D epartm en t of P recision In strum en t, Q inghua U n iversity, B eijing 100871)
W u D elong
(B eijing In stitute of A stronautical System s Engineering)
1 2
(Ξτ
Jτ→
τΞ)
∫ ∑ ∑ ∑∑ + {Vτ 0 B
n r= 1
5qϕrr qαr +
Ξτ (ϕr ×
n r= 1
55qϕrr qαr )
+
1 2
n r= 1
n t= 1
55qϕrrqαr 55qϕrtqαt}dm
(5)
式中 M 为柔性体B 的质量; ϕrc 和 Jτ 分别为体B 的质心和惯性矩并矢量。
Key W ords F lex ib le body, D ynam ics, +M u ltibody, M athem atical m odel.
α 收稿日期: 1998211220 本课题为航天高科技资助项目 (863- 2- 3- 4)、国家教委博士点基金项目、中国博士后基金资助项目
第 5 期 刘才山等 基于 H am ilton 原理的柔性多体系统动力学建模方法 33
陈滨等[2]以带有中心刚体作大范围回转运动的 Eu1er, B ernou11i 梁为例, 指出当大范围 刚体运动的速度超过梁的一阶固有频率时, 数值求解会发生失稳和分岔现象, 解释产生这种 错误现象的原因主要是由于忽略了重要的刚柔耦合离心惯性力项的作用。
文献[ 3, 4 ]利用结构的中性轴和中性面不伸长的几何约束条件, 将轴向位移或面内位 移表示为广义坐标的二阶小量, 通过附加几何刚度项考虑刚弹耦合项。 文献[ 5, 6 ]在几何非 线性应变2位移关系中引入小变形假设, 通过将一般弹性体的弹性位移表示为广义坐标的二 阶小量, 推导出一般柔性体的一致线性化模型。
考虑如图 2 所示的在水平面内作回转运动的柔
件 机械臂系统。杆件的总长度为 L ; 截面积为 A ; 质量
密 度为 Θ; 弹性模量为 E; 固定端处的集中惯性矩为
I h; 电机轴中心距柔性梁固定端的距离为 a; 电机的驱
动力矩为 Σ; Η为刚体大范围运动的转角位移; l 为截面
惯性矩; O ij 为固定坐标; O a1a2 为随动坐标系。 设柔性梁上任意一点Q 经变形运动后到达Q ′点;
方程 (13) 是基于几何约束条件, u 关于 v 为二阶精确描述的基础上进行的, 从而使得动 力学方程中关于 v 及其 vα的一次项和零次项是精确的, 因此, 方程 (13) 称之为一致线性化动
力学方程。
基于假设模态法对方程 (13) 进行离散化, 将 v (x , t) 用模态广义坐标 qi ( t) 表示成如下形
1 引 言
机器人技术和航空航天技术的发展, 使得弹性体的大范围运动与其自身变形之间相互 耦合的非线性惯性力项的作用变得不容忽视。Kane[1]等于 1987 年指出, 当弹性体的大范围 运动的速度接近或超过柔性体的固有频率时, 传统的线性化的动力学建模方法将会导致较 大的计算偏差, 甚至会得出完全错误的计算结果。这一现象的发现引起了国内外众多学者的 广泛关注, 并成为柔性多体动力学建模的热点问题之一。
吴德隆
(北京宇航系统工程设计部, 北京 100076)
摘要 首先基于 H am ilton 原理建立起一般柔性体连续系统的动力学建模方 法, 进而以水平面内作大范围回转运动的柔性梁为例, 在 Eu1er2B em oulli 梁模型的 假设前提下, 根据轴向不可伸长的柔性梁的几何约束条件, 推导出作大范围刚体运 动的柔性梁连续系统的一致线性化振动微分方程。采用假设模态法对其离散化, 导 出考虑刚弹耦合作用的柔性梁有限维离散化动力学模型。 文中最后给出了仿真算 例, 验证了该方法的有效性。
P 为体B 上的任意一点; O a1a2a3 为固定在体B 上并随 其一起运动的随动坐标系框架; Rτ 0 为随动坐标系相对 于固定坐标系的位置矢量; ϕr 为柔件体 B 上的任意一
点 P 相对于随动坐标系的位置矢量。
则点 P 相对于固定坐标系位置矢量 Rτ 为
Rτ = Rτ 0 + ϕr
(2)
位置矢量 ϕr 依赖于柔性体弹性变形的广义坐标 qj , ( j
∫ ∫ V =
1 2
EA
L 0
(
5u 5x
)
2dx
+
1 2
E
I
L 0
来自百度文库
(
52v 5x 2
)
2dx
(9)
将式 (8) , (9) 代入式 (6) 可得
∫ ∫ t2
L
{ΘA { [ u -
v Ηα-
(a + x + u) Ηα2 -
2Ηαvα]∆u
t1
0
第 5 期 刘才山等 基于 H am ilton 原理的柔性多体系统动力学建模方法 35
将式 (5) 代入方程 (1) , 并进行分步积分, 可得弹性体变形运动的振动微分方程如下:
∫∫∑ ∑ ∑∑ l2 { l1
B
n
n
[
s= 1 r= 1
55qrϕr q r
5rϕ 5qs
+
nn r= 1 t= 1
52 rϕ 5qr5q
t
qαrqαt
5rϕ 5qs
+
Ξθ ( rϕ× 55qrϕs) +
(Vθ0 + τΞ × Vτ 0)
∫ u = -
1 2
L x
( 5v
(Ρ, 5Ρ
t)
) 2dΡ
(11)
式中 Ρ 为哑元变量。
对上式求变分
∫L
∆u = - v ′′∆vdΡ
(12)
x
将式 (12) 代人式 (10)
ΘA
52v 5t2
-
ΘA vΗα2 -
(S v ′) ′Ηα2 + ΘA (a + x ) Η= 0
(13)
∫L
式中 S = ΘA (a + x ) dx。 x
τΞ
(4) 为随动坐标系
34 导 弹 与 航 天 运 载 技 术 1999 年
框架在固定坐标中的角速度矢量; qαi 为柔件体弹性变形的广义坐标的速率。
整个系统的动能 T 为:
T = 12M Vτ 0 Vτ 0 + M Vτ 0
(Ξτ × ϕrc) +
主题词 柔性体 , 动力学, + 多体系统, 数学模型。
The M odel l ing M ethod of Flex ible M ul tibody D ynam ics Ba sed on Ham il ton Pr inc iple
L iu Caishan Chen B in
(D epartm en t of M echan ics & Engineering Science, B eijing U n iversity, B eijing 100871)
= 1, 2, …, n 为广义坐标的数目)。
ϕr = ϕr (q1, q2, …, qn)
(3)
图 1 具有大范围运动的 任意柔性体
点 P 在固定坐标系的速度可表达为:
∑ 式中 Vτ
0
dRτ dt
=
Vτ 0 +
Ξτ × ϕr +
n i= 1
55qϕriqαi
为系统的随动坐标系的原点O 在固定坐标系中的平动速度矢量;