线性代数 1-7 第1章7讲-克莱姆法则

an1x1 an2 x2 ann xn 0
则它的的系数行列式为零.
8
克莱姆法则
x y z 0
例1
为何值时，方程组
x
y
z
0
有非零解？
2x y z 0
解
1 1
D 1 1 3 1 2 2 3 1 0 1
2 1
故当 1时，方程组有非零解.
9
克莱姆法则
故 x D1 2，y D2 3，z D3 4.
D
D
D
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克莱姆法则
例3 证 定理2
(a11
1 2
)
x1
a12 x2
a1n xn 0
证明方程组
a21x1
(a22
1 2
)
x2
a2n xn 0 有唯一解，其中aij都是整数。
an1x1 an2 x2
(ann
1 2
)
xn
0
根据定义，除主对角线 上的元素之乘积为奇数， 其余乘积均是偶数
例2
x2 2x3 5
解方程组
x1
x2
4x3
11
2x1 x2 1
012
解
系数行列式 D 1 1 4 2 0 根据克莱姆法则知方程组有唯一解
2 1 0
5 1 2 D1 11 1 4 4
1 1 0
0 5 2
0 1 5
D2 1 11 4 6 D3 1 1 11 8
210
2 1 1
Dn x12
x22
x32
1
xn
xn2
( xi x j )
1 jin
x x x n1
n 1
n 1
1
2
3
x n 1 n
(xi xj )
1 jin
(x2 x1 )(x3 x1 )(x4 x1 ) (xn x1 ) (x3 x2 )(x4 x2 ) (xn x2 )
(xn xn1)
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第七讲 克莱姆法则
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本讲内容
克莱姆法则
克莱姆法则
定理1.1（克莱姆法则）
若方程组
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 的系数行列式
ann xn bn
a11 a12 D a21 a22
a1n a2n 0，则方程组有唯一解
an1 an2
ann
a11
a21
x1
D1 D
，x2
D2 D
，
，xn
Dn D
，其中D j
an1
a1, j1
b1
a1, j1
a2, j1
b2
a2, j1
an1, j1 an, j1
bn1 bn
an1, j1 an, j1
a1n a2n
an1,n
ann
3
克莱姆法则
证 用系数行列式 D 的第 j 列元素的代数余子式依次乘方程组的n 个方程得
12
克莱姆法则 范德蒙行列式
结论：范德蒙行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 xn
x22 xn2 0 x1、x2、 、xn互不相同.
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 n
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克莱姆法则
例4
求解线性方程组
x1 x1 x1
a1x2 a2 x2 a3 x2
a12 x3 a22 x3 a32 x3
a1n1xn 1
a n 1 2
xn
1
a n 1 3
xn
1
x1 an x2 an2 x3 ann1xn 1
其中ai a j (i j, i, j 1, 2, , n).
1 a1 a12
解
1 a2 a22
D 1 a3 a32
1 an an2
a n 1 1
a n 1 2
定理1.2
a11x1 a12 x2 若齐次线性方程组 a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
则齐次线性方程组有唯一零解.
a1n xn 0 a2n xn 0的系数行列式不为零，
ann xn 0
推论
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
若齐次线性方程组 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 有非零解，
4
克莱姆法则
接 上
根据行列式展开定理及推论得 xj D Dj ( j 1, 2, , n)
因为D 0，所以有
xj
Dj D
(j
1, 2,
, n)
即
x1
D1 D
，x2
D2 D
，
，xn
Dn D
.
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
5
克莱姆法则 再证唯一性 设x1 c1，x2 c2， ，xn cn是方程组的任一解
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11c1 a12
a1n
a11c1 a12c2 a1ncn a12
a1n
c1D a21c1 a22
a2n a21c1 a22c2 a2ncn a22
a11
1 2
D a21
a12
a22
1 2
an1
an 2
a1n
a2n
ann
1 2
2a11 1
1 2n
2a21
2an1
2a12 2a22 1
2an2
2a1n
2a2n
故方程组有
0 唯一零解.
2ann 1
若齐次线性方程组的系数行列式不为零，则方程组有唯一零解。
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克莱姆法则
范德蒙行列式
111
x1
x2
x3
a2n
an1c1 an2
ann
an1c1 an2c2 anncn an2
ann
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克莱姆法则
b1 a12 b2 a22
bn an2
a1n a2n D1.
ann
于是
c1
D1 D
同理可得
c2
D2 D
，
，cn
Dn D
唯一性得证.
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 j x1 a12 A1 j x2 a21A2 j x1 a22 A2 j x2 an1Anj x1 an2 Anj x2
a1n A1 j xn b1A1 j a2n A2 j xn b2 A2 j
ann Anj xn bn Anj
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
竖式相加得 (a11 A1 j a21 A2 j an1 Anj )x1 (a12 A1 j a22 A2 j an2 Anj )x2 (a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj )x j (a1n A1 j a2n A2 j ann Anj )xn b1 A1 j b2 A2 j bn Anj