函数与方程思想在数列中应用

典例4 [2015·湖北高考]设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)当d >1时，记c n ＝a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)由题意有，⎩

⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100， a 1d ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1＋9d ＝20， a 1d ＝2， 解得{ a 1＝1， d ＝2或⎩⎨⎧ a 1＝9，

d ＝29.

故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1， b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝19(2n ＋79)， b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.

(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12

n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12

n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋9

25＋…＋2n －12n .②

①－②可得

12T n ＝2＋12＋122＋…＋1

2－－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，

故T n ＝6－2n ＋32

n －1.

数列问题函数(方程)化法

数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意

数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：

第一步：分析数列式子的结构特征．

第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式． 第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．

第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．

【针对训练4】 [2016·东城模拟]已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．

(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1

S n ＋2

＋…＋1S 2n

，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．

解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故公差d ≥0，

所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，

解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，

所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .

(2)因为S n ＝n (n ＋1)，

b n ＝1S n ＋1＋1

S n ＋2＋…＋1S 2n

＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)

＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1

＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1

＝12n ＋1n ＋3

，

令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，

则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，

所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，

故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，

即当n ＝1时，(b n )max ＝16，

要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，

所以实数k 的最小值为16.

数列

1．等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.

2．等差数列前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2

. 3．等比数列通项公式：a n ＝a 1·q n －1.

4．等比数列前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1

(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).

5．等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．

6．等比中项公式：a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．

7．数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. [重要结论]

1．通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m ·q n －m .

2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．

(2)等比数列中，若a 1>0且q >1或a 1<0且00且01，则数列为递减数列．

3．等差数列{a n }中，S n 为前n 项和．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列；等比数列{b n } 中，T n 为前n 项和．T n ，T 2n －T n ，T 3n －T 2n ，…一般仍成等比数列．

[失分警示]

1．忽视等比数列的条件：

判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．

2．漏掉等比中项：

正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .

3．忽略对等比数列的公比的讨论：

应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公式q 是否等于1.

4．a n －a n －1＝d 或a n a n －1

＝q 中注意n 的范围限制． 5．易忽略公式a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2.

6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n 项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．

7．等差数列的单调性只取决于公差d 的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q ，又要考虑首项a 1的正负.

考点

数列的概念、表示方法及递推公式

典例示法