统计学第五章 平均指标和标志变异指标

n
fi i
四、位置平均数──中位数和众数 1、 中位数 由未分组资料确定中位数 总体单位数为奇数时： 中位数是处在第 (n+1)/2 项位置的标志值 例10 、 一个科室有9人，年龄分别为24、25、25、26、26、27、 28、29、55岁，则中位数为26岁 总体单位数为偶数时： 中位数是第 n/2 项和第（ n+2）/2 项两个标志值的平均数 如例10去掉24，则中位数是第4项和第5项标志值26和27的平均数 (26+27)÷2=26.5岁
第五章 平均指标和标志变 异指标
本章主要内容
• 第一节 平均指标的意义和种类 • 第二节 平均指标的计算与分析 • 第三节 标志变异指标的计算与分析
第一节 平均指标的意义和种类
一、平均指标的意义 （一）平均指标的概念 将总体各单位之间的数量差异抽象化； 将总体各单位之间的数量差异抽象化； 是一个代表值，代表总体各单位数量特征 一般水平 是一个代表值， （二）作 用 平均指标可以反映总体的一般水平 可以对不同时间和空间的平均指标进行比较 算术平均数可以反映总体分布的集中趋势。 算术平均数可以反映总体分布的集中趋势。
G =
5
1 × 3 × 6 × 7 × 9 = 4 . 08
（2 ） x
me
m0
的关系
x = me = m 0
对称分布
x m em 0
左偏分布
m 0 me x
右偏分布
六、计算和应用平均指标应注意的问题 1、 同质性 、 2、 总平均数与组平均数结合 、 3、 总平均数与分布数列结合 、 4、 平均数与典型事例结合 、 5、 平均数与变异分析相结合 、
1、 简单几何平均数 简单几何平均数是N个变量值（比率）连乘积的N次方根，计 算公式为：
G = n x1 ⋅ x 2 L x n = n
∏x
例8 希望机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间 才能完成。2003年一季度第一车间铸造产品的合格率 为95%，第二车间粗加工产品的合格率为93%，第三车 间精加工产品的合格率为90%，第四车间组装的合格率 为86%，则该企业的产品合格率为多少？
中位数的位置为1000/2 = 500，可知月消费金额位居第500位的学生 在月消费额400—500元这个组，中位数为：
1000 − 260 × 100 = 455.93 M e = 400 + 2 430
2、 众数 出现次数最多的变量值即为众数 （1） 根据单项数列确定众数 例12：佳美超市2004年3月各种包装的味精销售情况：
批次 价格（ 公斤 公斤） 金额（ 购进数量（公斤） 价格（元/公斤） 金额（元） 购进数量（公斤） x m m /x 50 55 60 — 11000 27500 18000 56500 220 500 300 1020
第一批 第二批 第三批 合计
∑ m = 56500 = 55.396公斤 H= m 1020 ∑x
例2：某厂金工车间20名工人加工某种零件的产量资料如下： 20名工人零件生产数量分组资料 产量x（件）人数f（人） 总产量x*f （件） 14 2 28 15 4 60 16 8 128 17 5 85 18 1 18 合计 总产量 20 319 319
平均产量 =
人数
=
20
= 15.95 （件）
以公式表示： 对于变量数列 x1 x2 x3 … xn 有
∑ (x − x )
0
2
− nc = ∑ ( x − x )
2
2
Q c ≠ 0 ∴ nc > 0
∑ (x − x ) > ∑ (x − x )
2 0
2
平均数的这一性质说明： 平均数的这一性质说明： 以任意不为平均数的数值为中心计算的离差平方和总大 于以平均数为中心计算的离差平方和，因此， 于以平均数为中心计算的离差平方和，因此，算术平均数是 误差最小的总体代表值。 误差最小的总体代表值。
x =
∑ xf ∑ f
如果掌握的资料是组距式数列，应先计算各组的 组中值以代表该组内各单位的一般水平，而后 按上述方法计算其平均数 例3：某贸易公司60名员工月工资分组资 某贸易公司60名员工月工资分组资 料如下：
工 资 （元） 800以下 800~1000 1000~1200 1200~1500 1500以上 合计
第一节 平均指标的意义和种类
二、平均指标的种类 数值平均数：算术平均数、调和平均 数、几何平均数 位置平均数：中位数、众数
第二节 平均指标的计算和分析
一、算术平均数 1、 基本公式 算术平均数 = 总体标志总量÷总体单位总量 注意： 分子与分母是同一总体的两个总量指标， 分子中的每个标志值须由分母的每一个总体单 位来承担。 总体标志总量的标志是数量标志。
G = 4 95% × 93% × 90% × 86% = 4 0.6838 = 90.94%
2、 加权几何平均数 当计算几何平均数的每个变量值（比率）的 次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计 算公式为：
∑ f x f1 ⋅ x f 2 L x f n = ∑ G = 1 2 n
f
∏xFra Baidu bibliotek
i =1
按包装分组（ 按包装分组（克） 10 25 50 75 100 500 1000 销售量（ 销售量（袋） 30 52 357 146 43 17 2
众数为50克 众数为 克
（2）由组距数列计算众数 先根据各组次数确定众数所在的组，这时应注意各组组距是 否相等，如不等则要考虑组距对次数的影响，然后利用下列公式 计算众数。 下限公式
组中值 x 700 900 1100 1350 1650 —
人数（人） f 6 14 26 10 4 60
工资总额（元） x·f 4200 12600 28600 13500 6600 65500
∑ xf x= ∑f
65500 = = 1091.67(元) 60
注意： 注意 1、权数对算术平均数数值的影响并不取决于各组次数本 身绝对数值的大小，而是取决于各组次数占总次数的比重大 小（权重）。若标志值小的一方权重大，计算结果就将偏向 于小的一方；若标志值大的一方权重大，计算结果就将偏向 于大的一方。 2、各组标志值不变，各组次数扩大或缩小相同的倍数， 其平均数值不变。 3、 如果各组次数相等，加权算术平均数就等于简单算 术平均数。
∑ xf x= ∑f
65500 = = 1091.67(元) 60
加权算术平均数不仅受各组标志值x 加权算术平均数不仅受各组标志值x 大小的影响， 大小的影响，而且受各组次数 f 多少的 影响， 影响，它对平均数的影响有权衡轻重的 作用，所以又称为权数。 作用，所以又称为权数。 权数的意义
4、算术平均数的数学性质
第三节
标志变异指标
一、标志变异指标的概念和作用 1、概念 ：反映总体各标志值间差异程度的,且能 反映总体各标志值间差异程度的, 、 衡量总体平均数的代表性。 衡量总体平均数的代表性。 2、作用： 、作用： （1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺 ） 度 （2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的 ） 节奏性和均衡性
2、简单算术平均数 、 例1： 有6名学生的《英语》考试成绩分别为：81、 82、85、89、92、93分，则平均考试成绩为: （81+82+85+89+92+93）÷ 6 = 87 （分） 以公式表示：对于变量数列 x1 x2 x3 … xn 有
n
x
=
∑
x n
i = 1
i
3、加权算术平均数 、
① 各个变量值与平均数离差之和等于零
简单算术平均数 证明
∑ (x − x ) = 0
∑ x =∑ x−∑ x =0 ∑ (x − x ) = ∑ x − n ⋅ x = ∑ x − n ⋅
n
加权算术平均数 证明
∑ (x − x ) f
= 0
∑ (x − x ) f = ∑ xf − ∑ xf = ∑ xf − x ∑ f ∑ xf ⋅ ∑ f = ∑ xf − ∑f = ∑ xf − ∑ xf = 0
②各个变量值与平均数离差平方之和为最小值
∑ (x − x ) = min 2 ∑ (x − x ) ⋅ f = min
2
证 明：设x0为不等于平均数的任意值，则：
x − x0 = c
Q x − x0 = c
x0 = x − c
代入以x0 为中心的离差平方和，得
(x − x0 )2 = ∑ [x − (x − c )]2 ∑ 2 = ∑ [( x − x + c )] 2 = ∑ [( x − x ) + 2c ( x − x ) + c 2 ] 2 = ∑ ( x − x ) + 2c ∑ ( x − x ) + nc 2 2 = ∑ (x − x ) + nc 2
五、各种平均数之间的关系 1、 算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系 如果根据同一资料计算，则调和平均数最小，几何平均数居中，算术平均 数最大，即： 算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 例13： 有1、3、6、7、9五个数，计算：
X =
∑x
n
=
1+ 3+ 6 + 7 + 9 = 5 .2 5
5 H = = 2 . 85 1 1 1 1 1 + + + + 1 3 6 7 9
3、由相对数或平均数计算平均数 、 一般原则：根据算术平均数的基本公式，如果掌握了基 一般原则 本公式的分母资料，缺少分子资料，应以分母资料作权数， 采用加权算术平均法；如果掌握了基本公式的分子资料，缺 少分母资料，应以分子资料作权数，采用加权调和平均法。
三、几何平均数 它是计算平均比率或平均速度最适用的一种方法。 因为几何平均数的数学性质与社会经济现象发展的平 均比率和平均速度形成的客观过程是一致的。 凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的场合 都适宜用几何平均法计算平均比率或平均速度。 几何平均数也分简单几何平均数和加权几何平均 数两种
×i
例11 2004年某地大学生消费支出调查资料
月消费额 300以下 以下 300~400 400~500 500~600 600~700 700以上 以上 合计 组中值（ 组中值（元） 250 350 450 550 650 750 —— 调查人数（ 调查人数（人） 80 180 430 220 70 20 1000 累计人数（ 累计人数（人） 80 260 690 910 980 1000 ——
∆1 Mo = L + ×i ∆1 + ∆ 2
L：众数组的下限 ∆1 ：众数组次数与下一组次数之差 ∆2 ：众数组次数与上一组次数之差 I：众数组的组距 上限公式
Mo =U −
∆2 ×i ∆1 + ∆ 2
根据例11资料计算
M o = 400 +
430 − 180 × 100 = 454.35(元) (430 − 180) + (430 − 220)
在许多情况下， 在许多情况下，我们可以直接用各组次数 占总次数的比重来求加权算术平均数
x = x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f2 + L + xk ⋅ fk
∑f
f
∑f
∑f
= ∑x⋅
∑f
例4：某贸易公司60名员工月工资分组资料
工资（元） 800以下 800~1000 1000~1200 1200~1500 1500以上 合计 组中值（元） 人数比重（%） 工资×比重 X ƒ / ∑ƒ 700 900 1100 1350 1650 — 10.0 23.3 43.3 16.7 6.7 100.0 70.00 209.70 476.30 225.45 110.55 1092
由已分组资料确定中位数 单项数列： 首先确定中位数位次， ∑ f / 2； 然后确定中 位数组，该组的变量值就是中位数 组距数列： 首先确定中位数位次， ∑ f / 2； 然后按照公 式计算中位数
∑
下限公式
M
e
f
= L+
2
− s m −1 fm
×i
上限公式
∑f
Me =U − 2
− s m +1 fm
二、调和平均数
根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两 种。 1、 简单调和平均数 例5：有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午 0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的蔬菜， 则当天所买的蔬菜平均价格是多少？
平 价 = 均 格 商 销 额 品 售 1+1+1 = = 0.18(元) 1 1 1 商 销 量 品 售 + + 0.5 0.2 0.1
以公式表示
H=
n 1 1 1 + +L+ x1 x 2 xn
=
n 1 ∑x
2、加权调和平均数
简单调和平均数是在各标志总量对平均数起同等 作用的条件下应用的，但在许多条件下，各标志总量 对平均数的作用是不同的
例6 前进化工厂2004年11月购进三批A原料，每批的价 格及金额如下：
A原料的购入价格和金额资料