立体几何中的向量方法完整版

平面PBC的一个法向量为
1 1 DE (0, , ) 2 2
F
D
G
E
平面PBD的一个法向量为
1 1 CG ( , , 0) 2 2
A X
C B
Y
cos DE1 , GC 1/ 2
cos 1/ 2, 60
【练习2】
在 底 面 是 直 角 梯 形 的 四

棱 锥 S ABCD中 ，
a

l


u
3、二面角
②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 n ，m ，
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
m, n
m
n
L
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos
平行与垂直
l
m
a b
l // m a // b a b
a
u
l

l // a u a u 0
u


// u // v u v
v
l
a b
m
l m a b ab 0
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
| AD n | | sin | | AD || n |
4 得n (1,1, ) 又 AD (0,8,0), 3
| 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
A1 1 B1 1 M
z
NN
D1 1
相交
巩固性训练3
1、设平面 α的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为 k= (-2,-4,k),若 // ，则 ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
ABC 90 , SA 平 面 ABCD, SA AB BC 1, 1 AD .求 平 面 SCD与 平 面 SBA所 成 的 二 面 角 的 2 z y 正 切 值.
S
2 2
A
C B
D
x
【典例剖析】 例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC 上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。


注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角

uv u v
.
基础训练: 1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面 ABC的一个法向量是______ . 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1， 1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
l
直线l的方向向量 a
B
A
三、平面的确定：
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
b
O
a
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l
n

A
面面平行
∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
设直线l的方向向量为a (a1 , b1 , c1 ), 平面的
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
若两直线 l , m 所成的角为 (0 ≤ ≤

2
), 则
cos
ab a b
l
l
a

m
a b
m
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 u ，且 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则
2
a u

sin
au a u
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的.
平面的法向量：
l 注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行;
n

例1：已知A(0, 2,3), B (2, 0, -1), C (3,-4,0) 求平面ABC的法向量.
求法向量的步骤：
600
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为______ 1350 .
【典例剖析】
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. 解：如图建立坐标系A-xyz,则
,
11
平面向量
推广到
空间向量
立体几何问题
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
z P
A B E D x C y
解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分 别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系， 设BE=m，则 A(0,0,0), P(0,0,1), D( 3,0,0), E(m,1,0), AP (0,0,1), DP ( 3,0,1), DE (m 3,1,0)
l
a

u
l a // u a u
u

v

u v uv 0
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行
线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ； l ∥ a u a u 0 ；
设平面PDE的法向量为n ( x, y, z ), 则n DP, n DE , 3 x z 0, z 3 x, 解得 ( m 3) x y 0, y ( 3 m ) x,
令x 1, 得n (1, 3 m, 3), PA与平面PDE所成角的大小为45 sin 45
C
O
B y
D
x
A
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB
P F
D A
平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
E
C B
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求二面角C-PB-D Z 的大小。 解2 如图所示建立 P 空间直角坐标系，设DC=1.
C1 1
D D
A
y
x
B B
C C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
【练习1】
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四 0 ABCD。已知 ABC 边形，侧面SBC 底面 AB=2 ， 45 BC= ，SA=SB= . 2 2 3 (1)求证
SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z S
练习： 在空间直角坐标系中 ,已知 A(3,0,0), (0,4,0) B C (0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n (x, y, z ) 则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0,2) 3 y x ( 3,4,0) 0 ( x, y, z) 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0,2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4,3,6) ∴ n (4,3,6) 是平面 ABC 的一个法向量 .
3.2立体几何中的向 量方法
法向量
思考：
如何确定一个点、一条直线、一个平面 在空间的位置？
一、点的确定：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
P
O
a
二、直线的确定：
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
C1 1
D D
A
y
x
B B
C C
即
6x 2 y 6z 0 4 y 3z 0
| sin |
| AD n | | AD | | n |
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
若a (a1, b1, c1 ), u (a2 , b2 , c2 ),则 l a // u a ku a1 ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 .
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
五、垂直关系： 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,a // u a2 b2 c2
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB
P F
D A
平面EFD
E
C B

空间角
复习引入
1.异面直线所成角
设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
A1 1 B1 1 M
z
NC
D1 1
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面 的法向量n ( x, y, z),由
AM n 0 AN n 0
A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N 5, 可得 N (0,4,3)
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。