工件加工的排序问题

我们的参赛报名号为：4
参赛队员 (签名) ：
队员 1：刘 硕
队员 2：杨 杰
队员 3：龙治安
湖南工学院数学建模竞赛
编号专用页
参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）： 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
湖南工学院数学建模竞赛
题目
工件加工的排序问题
问题一（2）： 我们根据一个排序标准 s j (工件的最迟加工时间： s j = wj − t j )，将完
工时间与加工时间一起综合考虑，对数据进行预处理。然后运用 0-1 规划建立了最大工 件价值的非线性数学模型。求得最大工件价值为 117，加工顺序：9－1－12－3－7－10 －4－6－11－8
4
0—1 矩阵第一阶段到最后一阶段的加工工件的顺序。这样我们问题的模型得以建立。 符号及说明： xij ：i 阶段是否生产工件 j; tij ：i 工件在 j 机床上的加工时间； rij ：i 工件在 j 机床上加工的完成时间； Mij ：重新排序后 i 工件在 j 机床上的加工时间；
12
∑ m in z = r1, 2 + (m a x ( ri1 , ri −1, 2 ) + M i 2 ) i=2
n;
∑ ⎪
⎪
i =1
xi j
=1
(i = 1, 2 ⋯ ,n )
⎪m
∑ ⎪
⎪
j =1
xi j
=1
( j = 1, 2 ⋯ ,n )
⎪
⎪⎩ xi j = 1, 0
j = 1, 2 ⋯ m )
五 模型的求解
问题一（1）：利用 LINGO:编写相应的程序（源代码见附录 lingo 代码 1）得到最省 总时间为 171.9h，得到最终的工件加工的排序组合：6—3—9—7—10—5—1—2—8—11 —4—12 或者 6—3—9—10—7—5—1—2—8—11—4—12
1）就单工序的情况，给出合理的安排顺序 2）要经过两个，三个机床上加工的情形，给出合理的安排顺序 3）推广到一般情形。即研究 n 个工件在 m 台机器上有序的加工问题
二 模型假设
1） 在第一台机器上加工顺序已定后，工件在后面的加工顺序不变。 2） 每个机器在同一时间只能加工一个零件。 3） 每个零件加工在上班时连续的，不中途不插入其它零件。 4） 忽略工件在转换工序时的运输时间。即每个零件在上道工序加工完毕之后，立 即转移到下道工序继续加工。 5） 每个零件在每台机床上加工的时间为已知，且不受偶然事件的干扰。 6） n 个零件在 m 台机器上加工排序问题，不考虑零件完工时间限制，对应的目标 函数为总时间最短（即最终完工时间最短）。
1
完成加工时间为前一阶段加工工件的完成加工时间与此阶段加工工件的加工时间之和 组成，对每阶段的加工工件的完成加工时间求和即得总时间，再对总时间求最小，即得 我们的目标。
相关符号说明及数据：
i ：加工阶段
j ：工件的编号
t j ：j 工件的加工时间
xij ：第 i 阶段是否加工工件 j（1，加工，0，不加工）
vk ：k 号工件的价值；
sk ：k 号工件的最迟加工时间；
3
新序号 k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
原序号 i
2 9 1 12 5 3 7 10 4 6 11 8
加工时间 tk 完工时间 wk 工件价值 vk
3.2
7.5
4
1.7
7
7
2.8
9
8
4.7
11
18
2.7
10
7
1.2
vj ：j 工件的价值 wj ：j 工件的完工时间
工件 j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
加工时间 t j （h） 完工时间 wj (h)
2.8
9
3.2
7.5
1.2
15
4
23
2.7
10
0.9
22
2.5
17
3.3
33
1.7
7
2.5
18
3.6
25
4.7
11
模型的数学表达式：
工件价值 vj
三 问题分析
问题一：属于单工序问题，可按 SPT 规则进行排序。可以建立数学模型来实现 STP 原理。对于后面的在完工时间的约束下求价值最大，用最迟加工时间来给工件排序 ，用 0-1 变量考虑是否加工工件，也建立了一个 0-1 规划模型。
问题二、三、四：问题讨论的是流水线工件的加工顺序问题，对问题二的两道工序 问题延伸到问题三的三道工序问题最后扩展到 n 个工件在 m 台机器上加工的一般的工件 排序问题
四 模型的建立
问题一（1）模型：由于机床每次只能加工一个工件所以 12 个工件要分 12 次完成， 将这 12 次看成 12 个阶段，每个阶段完成一个工件的加工，由此建立一个 0—1 变量矩 阵 xij 用来表示第 i 阶段是否加工工件 j。由于每个阶段加工工件的完成加工时间（非工 件的完工时间）受前面阶段加工工件的完成加工时间影响，由此得出每阶段加工工件的
摘要
本文建立了一个加工优化模型，研究了车间作业中 n 个工件在 m 个机床上有序加工 时，完成这批工件加工任务所需的总时间最省或选择加工的工件价值最大的最优安排。 采用 0-1 规划建立非线性规划模型，并运用 lingo 软件对模型进行求解。
问题一（1）：属于单工序排序问题，建立了 0-1 规划模型，解决了最省总时间的加 工安排，并用 SPT 规则检验了求解结果。求得最省总时间为 171.9h，加工顺序为：6—3 —9—7—10—5—1—2—8—11—4—12 或者 6—3—9—10—7—5—1—2—8—11—4— 12
题目要求得是求最小的总时间，所以还要对工件加工顺序进行一个排序。对于此问 题还要做类似于问题一（1）中的分析：机床每次只能加工一个工件所以 12 个工件要分 12 次完成，将这 12 次看成 12 个阶段，每个阶段完成一个工件的加工，由此建立一个 0 —1 变量矩阵 用来表示第 i 阶段是否加工工件 j。上面求总时间的工件的加工次序为由
⎧ r1, 2 = r1,1 + M 1, 2
⎪
i
∑ ⎪
⎪
rij
⎪
=
M ij
k =1
12
( j = 1, 2 )
∑ s.t
.
⎪ ⎪⎪ ⎨
M
12
ij
=
xik tkj
k =1
(i = 1, 2,⋯ ,1 2; j =1,2 )
∑ ⎪
⎪
j= 1
xij
=1 (i =1,2,⋯
,1 2 )
⎪ 12
⎪ ⎪
∑
xij =1 (
⎪ ⎪
xij
=0或1
⎩
问题一（2）模型：考虑工件必须在它们要求的时间内完工，还受到加工时间的限
制，在这里引入一个排序标准 s j (最迟加工时间： s j = wj − t j )，将完工时间与加工时
间综合考虑在一起，只有加工该工件的开始加工时间在最迟加工时间之内开始加工才能
保证工件按时完工，其次考虑使得最大价值，可以引入一个 0-1 变量 xk ，表示加不加工
问题二、三、四：属于多工序排序问题，建立了 0-1 规划非线性模型，解决了工件 加工顺序问题和最省总时间的加工安排。第三问的模型根据第二问的模型做相应的修改 即可建立。第四问则是对第二，三问的推广和一般化，三问的模型形式是一样的。求得 第二问的最省总时间为 224.5h, 加工顺序：6—2—3—10—5—8—7—9—4—1—11—12 第三问的最省总时间 241.9h, 加工顺序：3—6—11—10—7—5—2—9—8—4—1—12
新序列中的工件，如果价值大的工件排到了后面，可以通过控制 xk ，来调整前面的系统
加工时间使得工件按时完工来保证总价值最大，这和题目的要求吻合。 按最迟加工时间排序后的相关符号表示：
k ：新的加工序号；
xk ：是否加工 k 号工件；
tk ：k 号工件的价值；
wk ：k 号工件的完工时间（备注：即为模型中的 wi ）；
5
12
∑ min z = r1,3 + (max(ri1, ri−1,2 ) + Mi 2 )
i=2
⎧r1,3 = r1,2 + M1,3
⎪
i
∑ ⎪⎪rij
⎪
=
M ij
k =1
12
( j = 1, 2,3)
∑ s.t.
⎪ ⎪⎪ ⎨
M
12
ij
=
k =1
xik tkj
(i = 1, 2,⋯,12; j=1,2,3)
∑ ⎪
⎪
j=1
xij
=1(i=1,2,⋯,12)
∑ ⎪
⎪
12
⎪
xij =1( j=1,2,⋯,12)
⎪ i=1
⎪⎩xi j = 1或0
问题四模型：此问题为模型的推广，分析与问题二和问题三类似，将问题二中总时 间改为在最后一种机床上的加工完成时间的和，最后一种机床的开始时间与问题二类 似，将问题二中与车床有关的考虑改为倒数第二种机床，与钻床有关的考虑改为最后一 种机床。倒数第二种机床的完工时间也与问题三类考虑钻床的完工时间类似，将问题三 中考虑车床改为考虑倒数第三种机床，考虑钻床改为考虑倒数第二种机床，其他的机床 的加工完成时间 依次类推，顺序考虑与问题二和问题三相同，这样模型得以建立。
湖南工学院数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了第五届湖南工学院数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料 ），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
8 4 16 3 7 20 17 11 7 12 5 18
2
∑ ∑ ∑( ) ⎛ 12 12 i
⎞
min Z = ⎜
xkjt j ⎟
⎝ i =1 j =1 k =1
⎠
∑ ⎧ 12
⎪
xij =1(
j =1,2,⋯,12 )
⎪ i=1
∑ ⎪ 12
s.t. ⎨
xij =1(i=1,2,⋯,12)
⎪ j=1
6
n
∑ m in z = r1 m + (m a x ( ri m −1 , ri −1,m ) + M i m ) i=2
⎧ r1 ,m = r1,m −1 + M 1,m
⎪
i
⎪
∑ ⎪
ri
j
⎪
∑ s
.t
.
⎪ ⎪⎪ ⎨
M
n
=
ij
Mij (j
k =1
n
=
xik tk j
k =1
= 1, 2 ⋯ ,m ) (i = 1, 2 .......,
关键字：0-1 规划、lingo、SPT 规则、工件加工
一 问题重述
计划排序问题中的车间作业问题，研究 n 个工件在 m 台机器上有序的加工问题。每 种工件在不同的机器上的加工时间可能都不一样，机器一次只能加工一种工件。 .车间 作业计划研究一个工厂生产工序的计划和安排，需要计划与合理安排各个工件在这些机 器上加工的先后次序，即拟订加工工序，通过各个工件在各种机器上加工次序的合理安 排，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省或要求整个选择加工的工件价值最 大。
j =1,2,⋯
,1 2 )
⎪ i=1
⎪⎩ xi j = 1或 0
问题三模型：类似问题二的分析，只是总时间为给工件在铣床的完成加工的时间的
和，在铣床的加工时间题中已经给出，在铣床的开始时间与问题二中类似，将问题二中
与车床有关的考虑改为钻床，与钻床有关的考虑改为铣床，在钻床的完工时间和顺序考 虑与问题二相同，这样模型得以建立。沿用问题二模型的符号及说明
⎪ k =1
∑ ⎪
12
s.t.⎨0 ≤ xk ≤ 12
⎪ k =1
⎪ ⎪
xk
= 1或0
⎩
问题二模型：在两台机床上加工，问题假设在车床上的加工顺序和在钻床上加工的 顺序相同，问题要求的是总时间，总时间由各工件在钻床完成加工的时间的和，而各件 在钻床上完成加工的时间不仅与自身在钻床的加工时间有关还与在钻床加工的开始时 间有关，自身在钻床的加工时间问题中已经给出，在钻床加工的开始时间分两种情况讨 论：第一种该工件应经完成了在车床上的加工而在该工件前一个加工工件在钻床还未加 工完，此情况该工件在钻床加工的开始时间为该工件前一个加工工件在钻床上的加工时 间；第二种在该工件前一个加工工件已经完成了在钻床上的加工，而该工件还未完成在 车床上的加工，此情况该工件在钻床上的加工开始时间即为在车床上的完成加工时间， 取这两种在钻床上加工开始时间的较大值即为该工件的在钻床上的开始时间。
15
16
2.5
17
17
2.5
18
12
4
23
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.9
22
20
3.6
25
5
3.3
33
11
最迟加工时间 sk
4.3 5.3 6.2 6.3 7.3 13.8 14.5 15.5 19 21.1 21.4 29.7
12
∑ max z = xkvk
k =1
∑ ⎧
⎪
i
tk xk ≤ wi (i = 1, 2,⋯,12)