数值分析ppt第8章_矩阵特征值问题计算
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定理12 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量， 主特征值λ1满足条件 |λ1|>|λ2|≥≥|λn|，
则对任何非零向量v0(a10)，幂法的算式成立. 如果A的主特征值为实的重根, 即λ1=λ2==λr, 且
|λr|>|λr+1|≥≥|λn|， 又设A有n个线性无关的特征向量，λ1对应的r个线性 无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
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例1 用幂法计算矩阵 2 3 2 A 10 3 4 3 6 1 的主特征值与其对应的特征向量. 解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v1 2,4,1 , 1 4, u1
T
v k Auk 1 k max v k u v / k k k
1 i n
则max(v)=vq，且q为所有绝对值最大的分量中的最小 下标.
在定理12的条件下幂法可这样进行：任取一初 始向量v00(a10)，构造规范化向量序列为
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Av0 v1 u1 ， v1 Au0 Av0 , max( v1 ) max( Av0 ) A2v0 A2v0 v2 , u2 ， v 2 Au1 2 max( Av0 ) max( v 2 ) max( A v 0 ) ...... ...... Ak v0 vk Ak v0 , uk . v k Auk 1 k 1 k max( A v 0 ) max( v k ) max( A v 0 )
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解 矩阵A的特征方程为 2 1
0 1
( ) det( I A) 1
0
3
1
2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0. 求得矩阵A的特征值为： 1, 2, 4. 对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为： 1 1 1 x1 1 , x 2 0 , x 3 2 . 1 1 1
由(2.3)式
n k k k A v0 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi . i2
( 2.8)
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n k k 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi k A v0 i2 uk k n max( A v 0 ) k k max 1 a1 x1 a i (i / 1 ) x i i2
r n k k k v k A v0 1 ai xi ai (i / 1 ) xi , i r 1 i 1
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设有一向量v0，将其规范化得向量为
v u , max( v )
其中max(v)表示v的绝对值最大的分量. 即如果有
vq max v i ,
n k 1 max a1 x1 ai (i / 1 ) xi i2 ( k ). max v k 1 n max a1 x1 ai (i / 1 )k 1 xi i2
收敛速度由比值r=|λ2/λ1|确定. 总结上述结论，有
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迭代公式实质上是由矩阵A的乘幂 Ak与非零向
量v0相乘来构造向量序列{vk}={Akv0}，从而计算主特 征值λ1及其对应的特征向量，这就是幂法的思想.
vk 1 i vk i
1 ( k ).
的收敛速度由比值
2 r , 1
来确定，r越小收敛越快，但当r≈1时收敛可能很慢.
注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现. ⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A) x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量. 例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1 0 1 2
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则 ⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的 1 2 , P T AP n 且λ1,λ2,,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un) 列向量 uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
x1 ( k ). n max( x1 ) k max a1 x1 ai (i / 1 ) xi i2
i 2
a1 x1 ai (i / 1 ) xi
k
n
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同理，可得到
n k k 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi k A v0 i2 vk n max( Ak 1v 0 ) k 1 k 1 max 1 a1 x1 a i (i / 1 ) x i i2
取 v0=u0=(0,0,1)T , 则
( k 1,2,)
1
1
v1 0.5, 1,0.25
T
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直到k=8 时的计算结果见下表 T k vk k 1 2 3 4 5 6 7 8 2, 4, 1, 4.5, 9, 7.75 5.7222, 11.4444, 8.361 5.4621, 10.9223, 8.2306 5.5075, 11.0142, 8.2576 5.4987, 10.9974, 8.2494 5.5002, 11.0005, 8.2501 5.5000, 11.0000, 8.2500 4 9 11.4444 10.9223 11.0142 10.9974 11.0005 11.0000
定理12 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量， 主特征值λ1满足条件 |λ1|>|λ2|≥≥|λn|，
则对任何非零向量v0(a10)，幂法的算式成立. 如果A的主特征值为实的重根, 即λ1=λ2==λr, 且
|λr|>|λr+1|≥≥|λn|， 又设A有n个线性无关的特征向量，λ1对应的r个线性 无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
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例1 用幂法计算矩阵 2 3 2 A 10 3 4 3 6 1 的主特征值与其对应的特征向量. 解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v1 2,4,1 , 1 4, u1
T
v k Auk 1 k max v k u v / k k k
1 i n
则max(v)=vq，且q为所有绝对值最大的分量中的最小 下标.
在定理12的条件下幂法可这样进行：任取一初 始向量v00(a10)，构造规范化向量序列为
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Av0 v1 u1 ， v1 Au0 Av0 , max( v1 ) max( Av0 ) A2v0 A2v0 v2 , u2 ， v 2 Au1 2 max( Av0 ) max( v 2 ) max( A v 0 ) ...... ...... Ak v0 vk Ak v0 , uk . v k Auk 1 k 1 k max( A v 0 ) max( v k ) max( A v 0 )
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解 矩阵A的特征方程为 2 1
0 1
( ) det( I A) 1
0
3
1
2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0. 求得矩阵A的特征值为： 1, 2, 4. 对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为： 1 1 1 x1 1 , x 2 0 , x 3 2 . 1 1 1
由(2.3)式
n k k k A v0 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi . i2
( 2.8)
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n k k 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi k A v0 i2 uk k n max( A v 0 ) k k max 1 a1 x1 a i (i / 1 ) x i i2
r n k k k v k A v0 1 ai xi ai (i / 1 ) xi , i r 1 i 1
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设有一向量v0，将其规范化得向量为
v u , max( v )
其中max(v)表示v的绝对值最大的分量. 即如果有
vq max v i ,
n k 1 max a1 x1 ai (i / 1 ) xi i2 ( k ). max v k 1 n max a1 x1 ai (i / 1 )k 1 xi i2
收敛速度由比值r=|λ2/λ1|确定. 总结上述结论，有
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迭代公式实质上是由矩阵A的乘幂 Ak与非零向
量v0相乘来构造向量序列{vk}={Akv0}，从而计算主特 征值λ1及其对应的特征向量，这就是幂法的思想.
vk 1 i vk i
1 ( k ).
的收敛速度由比值
2 r , 1
来确定，r越小收敛越快，但当r≈1时收敛可能很慢.
注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现. ⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A) x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量. 例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1 0 1 2
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则 ⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的 1 2 , P T AP n 且λ1,λ2,,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un) 列向量 uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
x1 ( k ). n max( x1 ) k max a1 x1 ai (i / 1 ) xi i2
i 2
a1 x1 ai (i / 1 ) xi
k
n
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同理，可得到
n k k 1 a1 x1 ai (i / 1 ) xi k A v0 i2 vk n max( Ak 1v 0 ) k 1 k 1 max 1 a1 x1 a i (i / 1 ) x i i2
取 v0=u0=(0,0,1)T , 则
( k 1,2,)
1
1
v1 0.5, 1,0.25
T
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直到k=8 时的计算结果见下表 T k vk k 1 2 3 4 5 6 7 8 2, 4, 1, 4.5, 9, 7.75 5.7222, 11.4444, 8.361 5.4621, 10.9223, 8.2306 5.5075, 11.0142, 8.2576 5.4987, 10.9974, 8.2494 5.5002, 11.0005, 8.2501 5.5000, 11.0000, 8.2500 4 9 11.4444 10.9223 11.0142 10.9974 11.0005 11.0000