01_handout_绪论

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今天，代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。例如 整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结 构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什 么”这样的问题并不关心。实际上，数学上重要的并不是对象，而 是对象间的关系。例如几何可以看成是图形的代数，而代数也不外 是符号的几何。故此，代数被定义为对各种集合的元素施行代数运 算的科学（有点语义重复，初学者可能莫名其妙） 。而代数结构， 即定义有代数运算的集合（例如：群、环、域、线性空间、代数等 等） ，成为代数学研究的主体。 ——抽象代数（近世代数）
崔建伟 (华中科大物理学院) 数学物理基础
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March 29, 2013 10 / 27
教材和参考书
线性代数工科教材多，适合理科的不多。教材：
《大学数学》上下册，陈仲等编著，南京大学出版社 1998。
《线性代数》第三版，华中科技大学数学系，刘先忠，杨明编著， 高教出版社。 参考书：
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线性代数三大块：行列式、矩阵、线性空间。核心在线性空间（与 工科数学的区别） 。
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崔建伟 (华中科大物理学院)
线性代数的历史
行列式出现于线性方程组的求解。一元多次方程求解发展出群论， 进而发展出抽象代数；多元一次方程（线性方程组）求解发展出行 列式、矩阵等。 矩阵这个概念在诞生之前就发展地很好了。矩阵的基本性质是在行 列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概 念，但在历史上次序正相反。这就是为什么在矩阵引进的时候它的 基本性质就已经清楚了的原因。 线性空间：起源于三维向量分析，物理学家的创造。数学上起源于 四元数，但与之分裂（后者发展出超复数——费米场量子化） 。
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《高等代数》第三版，北京大学，王萼芳等编著，高教 2003。 《数理物理基础》 ，彭桓武，北大出版社 2001。 《常微分方程教程》 ，丁同仁、李承治，高教出版社 1991。
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第一课的内容
. 1 . . 集合论简介 集合的定义和运算 映射 关系、次序关系、等价关系、分类、等价类 . 2 . . 常见代数系统简介 群 群的同态和同构 环和域
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集合的定义和运算
什么是集合？集合论的创始人，康托（George Cantor）给出的定义： . .. “把一些明确的（确定的） ，彼此有区别的，具体的或想象中的抽象的 东西看作一个整体， 叫做集合” . .. . 这个定义实际并不合适。 “集合”与“看作一个整体”几乎就是同 义语，除康托之外，再也没有别人对集合下过定义。 简单说，若干个（有限或无限）固定的事物的全体就叫一个集合 （A, B, · · · ,） 。各个事物成为元素或者元a, b, · · · ,。元素和集合的从 属关系用符号 ∈，例如 a ∈ A。 集合是个极其根本的概念，也是个极其重要的概念。根本是因为用 任何数学概念都不能定义它，重要是因为由它可定义出所有的数学 概念（借助数理逻辑）从而将全部数学建立在集合论之上。 概括原则（把满足一给定条件的一切东西聚合起来，必然可以组成 一个集合） ；罗素悖论（剃头匠悖论， A = {x : x ∈ x}） / ；朴素集合 论与公理集合论。
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描述法：用集合中的元素所具有的性质来表示。例：
具有某性质 P 的集合 S 可记作： S = {x : P(x)}，上述集合 A 可记作： A = {x : x4 = 1} 自然数集： N = {1, 2, 3, · · · }；整数数集： Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }； 有理数集： Q = {p/q : p, q ∈ Z & q ̸= 0}；实数集： R；复数集： C，三 维转动群集合： SO(3)；等等 . .. . . . 一些逻辑记号： .. A&B, A or B, A ⇒ B, A ⇔ B, (∃x)P, (∀x)P . .. .
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说明
物理系的课程安排很难涉及数学基础的内容，但对（理论）物理工 作者来说，有必要了解一些现代数学的整体概观。故课程开头将补 充一点数学基础的知识。 除分析之外，纯代数和纯几何方法相继进入现代物理学。例如广义 相对论、规范场论都大量用到群论和微分几何。不同于分析方法的 塑性，代数方法为物理理论提供一定的刚性，使得理论必须如此 （例如：牛顿引力 vs 广义相对论） ，这也是现代物理中“美”的来 源之一。 以上内容不做要求。能听懂多少是多少，留个印象，以后学到时会 自己串起来。
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一些资料（far from a full list）
分析的算术化，从皮亚诺公理构造各种数系，以及实数理论可见： 《分析基础》 ，Edmund Landau，高教出版社，1958。 《数学分析》第 1 卷第 2 章，卓里奇，高教，俄罗斯数学选译丛 书。 数学基础，从集合论构造数系，三次数学危机，可见： 《数学基础》 ，莫绍揆，高教，1991。 《第三次数学危机》 ，胡作玄，四川人民，1985。 可计算性理论和图灵机，可见： 《数学 · 计算 · 逻辑》 ，陆汝钤，湖南教育，1993。 《皇帝新脑》第 2、4 章，彭罗斯，湖南科技，第一推动丛书系列。 代数学一般理论和抽象代数基础，可见： 《代数学引论》 ，柯斯特利金，高教，俄罗斯数学选译丛书。 《代数学引论》 ，聂灵沼，丁石孙，高教，2000。 对现代物理要用到的数学感兴趣的同学，可参考： 《物理学中的几何方法》 ，余扬政，冯承天，高教，1998。 《通向实在之路：宇宙法则的完全指南》 ，彭罗斯，湖南科技， 2004。
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课程说明
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本课程的内容：线性代数、变分法、常微分方程。核心内容 + 补充 内容（课堂上分别说明） 。
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.. 教学形式：投影 + 黑板，课后自学； （穿插一点 Mathematica 求解 线性代数问题） ； .. 关于证明：关键定理的证明需了解。有时最好的理解就是证明。 3
定义 1.1 (集合)
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集合的定义和运算
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集合的表示方法：
列举法：用列出全部的元素来表示集合。例： 由 ±1 和 ±i 构成的集合，可标记为： A = {1, −1, i, −i}
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数学的“代数化”和数学基础
抽象代数的思想和方法已渗透到数学各个分支的理论和应用中，一 定意义上甚至可以谈论数学的“代数化” 。这种抽象集合的思想可 用来统一数学的不同分支，将数学主体建立在一个公共的基石上， 类似几何原本建立起数学的公理化系统。数学的一种定义完全类似 于代数的定义：数学就是研究集合上各种结构（关系）的科学 （见：Bourbaki 的《数学简史》 。 ） 现代数学的两大特点：抽象和统一。抽象意味着普适，只要符合定 义，结论自然适用（不重对象而重结构） 。统一意味着简洁，从一 个公理化系统通过逻辑推导构建出整个体系。公理化也是追求数学 严格性的产物（不重算术而重推理） 。 代数、几何、分析三大块都可归结为集合论之上（几何可解析化， 分析可算术化） 。可以说，现代数学的主体就是建立在“集合论” 的基础之上（数理逻辑是另一块基石，但可划作逻辑学） 。而集合 论自身矛盾（悖论）和数学基础的公理化研究（公理系统的三性 质：自洽性、完备性、独立性） ，不仅推动了整个数学的进步，而 且导致了哥德尔的不完备定理和图灵的可计算性理论（图灵机） ， 这些是现代计算机和人工智能的基础。
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为什么说线性空间才是线性代数的核心内容？
虽然行列式和矩阵在 19 世纪受到很大的注意，但它们在数学上并不是 大的改革：
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合， 然而它以力或速度等作为直接的物理意义，并且在数学上用它能立 刻写出物理上所说的事情。 相反地，行列式和矩阵却完全是语言上的改革。对于已经比较扩展 的形式存在的概念，它们是速记的表达式。它们本身不能直接说出 方程或变换所没有说出的任何东西。尽管矩阵在领悟群论的一般定 理方面具有作为具体的群的启发作用（特别是“群的表示”的概 念） ，但它们都没有深刻地影响数学的进程。 然而行列式和矩阵这两个概念是高度有用的工具，现在是数学工具 的一部分。
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符号法：有时用符号来表示集合。例如：
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集合的定义和运算
. 集合的一些概念： .. 相等： A = B；相异： A ̸= B 子集： A ⊆ B；真子集： A ⊂ B 空集： Ø .
幂集： P(A) = {X : X ⊆ A} . .. . . . 集合的运算： .. 集合的并、交、差、补： A ∪ B、 A ∩ B、 X − A、当 A ⊆ X 时差 X − A 称补 Ac = X − A . .. . ..
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线性空间概念的重要性举例
数学上： 线性空间，向量=⇒ 引入线性泛函之后，得到对偶空间和对偶向量=⇒ 由笛卡尔积的多重线性泛函引入张量积空间，将张量（逆变和协变）定 义为张量积空间中的元素；或者，先由多重线性泛函定义基的张量积 （类似矩阵的直积） ，张量是由这些张量基来张成的线性空间中的元 素=⇒ 向量基的变换，给出变换群=⇒ 由向量是不变量，基变换诱导出 向量的分量变换规则（逆变向量）=⇒ 由对偶基的定义，诱导出对偶向 量的分量变换规则（协变向量）=⇒ 向量和张量可等价地由分量的变换 规则定义，由于此原因，又被称为某变换群的向量和张量=⇒ 变换群的 多值表示给出旋量=⇒ 引入度量（内积），可在向量和对偶向量（逆变 和协变向量）间建立同构，因而逆变和协变向量可看成是同一个向量 的不同表现形式=⇒ 在流形的切空间引进方向导数作为向量，发展出微 分几何=⇒ 引入反对称化，可引入外代数、外微分，得到stokes 定理 物理上： 向量的概念遍布整个经典力学 广义相对论需要的张量概念，属于多重线性空间 量子力学的态空间，也是一个线性空间
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最后成绩： 0.8× 考试成绩 +0.2× 平时成绩。
ห้องสมุดไป่ตู้
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课程说明
主要内容：线性代数。变分法和常微分方程视学时数讲授。
什么是线性？简单说：一次方，成比例。课程中给出精确定义。
为什么研究线性？本身就有很多理论是线性的（例如量子力学） 。 另外线性较简单，非线性也可局域化为线性（微分几何） 。
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线性代数、变分法、常微分方程概论
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课程背景——什么是代数？
粗略地说，代数起源于加法、乘法和求整数次方幂的计算艺术（算 术） 。如果用字母代替数（汉语翻译的由来） ，就能使我们能够在 更广泛的系统中用类似的法则进行计算。算术和方程。 ——初等代 数