最优化库存模型论述(ppt 36页)

C(T )


p1 T 2

p2r 2

0
由(7.1.1)式可解得（舍去负值）：
(7.1.1)
T 2 p1 p2r
(7.1.2)
而且T 是函数 C(T)在定义域{T | T>0}内的唯一驻点.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
然后，根据定理 7.1.2，因为对任意的 T>0，都有 C(T ) 2 p1 T 3 0 ，所以T 是函数 C(T)的极小值点.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
r ~ 需求率（件/时间单位）； p0 ~ 每件货物的价格（货币单位/件）； p1 ~ 每次订货的固定费用（货币单位）； p2 ~ 每单位时间每件货物的存货费用（货币单位
/(件∙时间单位)）； C ~ 每单位时间的总费用； C ~ 不允许缺货时，每单位时间总费用的最小值.
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
相应的，每单位时间的总费用的最小值为
C p0r 2 p1 p2r
(7.1.4)
注 7.1.3 因为假设每件货物的价格 p0 是与订货
量 Q 无关的常数，所以在以上模型的叙述当中可以省
略 p0 和购买费用；但是如果 p0 与订货量 Q 有关，例
如分段价格： p0

p01 p02
, ,
若Q 若Q

q q
(p01 p02 ) ，那么在
制定最优订货策略的时候就必需考虑每件货物的价
格和购买费用.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
注 7.1.4 以上模型假设订货的时候即时补货， 实际上，从发出新的订单到收到货物之间存在提前时 间 L（L>0），相应的订货时间应该修改为：
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
不允许缺货时的模型假设（见图 7.1）：
（1） p0 、 p1 、 p2 和 r 都是正的常数；（2）T 和 Q 都是正的连续量；
（3）在库存量下降到 0 时立即订货，并即时补货，订货量为 Q=rT.
不允许缺货的确定性静态库存模型的库存模式 订货时刻
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作

f x1x1
f x1x2
H


f x1x2
f x2x2

fx1xn
f x2xn
f x1xn

f x2xn
在连续一阶偏导数，(a,b)是定义域的内点. 如果 f(x,y)
在点(a,b)处取得极值，则在点(a,b)处有 fx fy 0 .
定理 7.1.4（充分条件） 设函数 f(x,y)在定义域
内存在连续二阶偏导数，点(a,b)是定义域的内点.
（i）如果 f(x,y)在点(a,b)处有 fx fy 0 ，fxx 0 且

p1 T

p2rT 2
按照库存模型的建模目的，订货周期 T 的最优值
应该由每单位时间的总费用 C 关于 T 的最小值得出.
既然已经假设 T 是连续量，所以可以用微分法求解.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
首先，根据定理 7.1.1，C 在T T 取得极值的必 要条件为
Q
库存量
0 T=Q/r
时间
图 7.1
平 均 库 存 = Q/2
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
根据假设，一个订货周期内的平均库存量等于 Q/2，所以库存费用是 p2QT 2 . 于是每单位时间的总 费用为
C

1 T

p0Q
p1

p2QT 2


p0r
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条 件，并且在点(a,b)处有 fx f y 0 .
如果在点(a,b)处有 fxx fyy fx2y 0 ，则点(a,b)称为 f(x,y)的鞍点，即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内 既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得 f(x,y)< f(a,b)；
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
最简单的库存模型是不允许缺货的确定性静态 库存模型，即假设货物的单价不随订货量而改变，假 设需求率为常数，在库存下降到 0 的时候立即订货， 并即时补货，不会出现缺货的情况.
引入以下记号： Q ~ 订货量（货物件数）； Q ~ 不允许缺货时的最优订货量； T ~ 订货周期长度（时间单位）； T ~ 不允许缺货时的最优订货周期；
第7章最优化模型
7.1节库Baidu Nhomakorabea模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数 是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充 分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算 方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可 以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较.
定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续二阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 且 2 f ( X0 ) 正（负）定，则 f(X) 在点 X0 处取得极小（大）值.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 产经营正常进行而必需的库存水平.
既然函数 C(T)在定义域内只有T 一个驻点，所以 C 在T T 取得最小值.
于是，不允许缺货的确定性静态库存模型的最优
订货策略是：最优订货周期为T ，而最优订货量为
Q rT ，即
Q 2 p1r p2
(7.1.2)和(7.1.3)式就是 EOQ 公式.
(7.1.3)
7.1.2 确定性静态库存模型
定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b)
处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵
H


f xx f xy
fxy
f
yy

称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X (x1, x2,, xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数，则 f(X)的梯度 为
其中
f fx1 , fx2 , , fxn
fxk f xk (k 1, 2, , n)
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点），就发出新订单.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量），在实际情况中，库存模型的需求模 式可以分为三类： （1）确定性的，静态（需求率是与时间无关的常数）； （2）确定性的，动态（需求率是时间的确定性函数）； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）.
库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小.
库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一；

fxnxn
其中 fxixj
2 f xi x j
(i, j 1, 2,
, n) （H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.5 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续一阶偏导数，点 X0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X0 处取得极值，则 f(X)在点 X0 处有 f ( X0 ) 0 .
fxx
f yy

f
2 xy

0
，则
f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；
（ii）如果 f(x,y)在点(a,b)处有 fx fy 0 ，fxx 0 且
fxx
f yy

f
2 xy

0
，则
f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在以上三类模式中，从建立库存模型的角度来 看，第（1）类最简单，第（3）类最复杂；但是在实 际情况下，第（1）类最少发生，第（3）类最普遍.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
在建立库存模型的时候，要在模型简化和模型精 确性两方面进行平衡，并且要注意灵敏度分析和强健 性分析.
下面介绍确定性静态库存模型和经济订货批量 （economic-order-quantity，EOQ）公式.
（1）如果 L T ，则订货时刻要比订货周期结束 时刻提前长度为 L 的时间；
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 必要条件可以改写为“ f 0 ”；
在定理 7.1.4 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极小（大） 值的充分条件可以改写为“ f 0 且 2 f 正（负）定”.
从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)，要用 f(x,y) 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数，用 f(x,y)的黑塞矩阵 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1. 一元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.1（必要条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处可导. 如果 f(x)在 x=a 处取得极值，则 f (a) 0 .
定理 7.1.2（充分条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处具有二阶导数. 如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x) 在 x=a 处取得极小值；如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x)在 x=a 处取得极小值.
（2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， 与订货量无关；
（3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 资金利息、存储费、维护费和管理费；
（4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡.
注 7.1.1 如果函数 f(x)满足定理 7.1.2 的前提条 件，并且 f(x)在点 x=a 处有 f (a) f (a) 0 ，则需要 另想办法判断 f(x)在 x=a 处的局部性质.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.3（必要条件） 设 f(x,y)在定义域内存
如果在点(a,b)处有 fxx fyy fx2y 0 ，则需要另想办 法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述：
定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数
fx 和 f y ，则 f fx, fy 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度.