第3章A图像处理中的正交变换1
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相位谱 (u, v) arctg I (u, v)
R(u, v)
能量谱 E(u,v) R2 (u,v) I 2 (u, v)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.2 傅里叶变换的性质
傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算 处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里叶变 换为例列出其主要的几个性质。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy (3-9)
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv (3-10)
第3章 图像处理中的正交变换
幅度谱 F(u,v) R2 (u,v) I 2 (u,v)
第3章 图像处理中的正交变换
1. 离散傅里叶变换的定义
如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正变换定
义由下式来表示
N 1
j 2mn
X (m) x(n)e N
n0
(3-29)
傅里叶反变换定义由下式来表示
x(n)
1
N 1
j 2 mn
X (m)e N
N m0
(3-30)
第3章 图像处理中的正交变换
F a1 f1(x, y) a2 f2 (x, y) a1F f1(x, y) a2F f2 (x, y)
如果 F(u,v) 是 f ( x, y ) 的傅里叶变换，F * (u,v) 是 f (x,y) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F(u, v) F * (u,v)
f (, )g(x , y )dd
第3章 图像处理中的正交变换
由此，可得到傅里叶变换的卷积定理如下
f (x, y) g(x, y) F(u,v) G(u,v) f (x, y) g(x, y) F(u, v) G(u, v)
式中 F(u,v) 和 G(u,v) 分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换。
(3-8)
把 F() 叫做 f (x) 的傅里叶谱，而 () 叫相位谱。
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换广泛用于频谱分析。 例：求图3-1所示波形f(x)的频谱。
f(x) A
-
x
2
2
图3-1 函数f(x)波形
A
f
(
x)
0
0
x
2
2
x
2
x
此性质说明变换前后能量守恒。
第3章 图像处理中的正交变换
(7) 相关定理 如果，f(x), g(x)为两个一维时域函数；f(x,y)和g(x,y)为 两个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数
f (x) g(x) f ( )g(x )d
f (x, y) g(x, y)
则 式中
xn k X mW km
j 2
W e N
(4) 频率移位
如果 xn X m
则 xnW kn X m k
第3章 图像处理中的正交变换
(5) 周期性
如果 xn X m
x(n rN) x(n)
(6) 偶函数
如果 xe n xe n
F (n) e jn0 e jxdx F (n) e j(n0 )dx
n
n
2 F (n) ( n0 ) n
图3-3 周期函数的傅里叶谱
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里叶变换 对存在：
2(2n 1) 4(n 1)
n 0,1, 2
第3章 图像处理中的正交变换
例：求周期函数的傅里叶谱。
一个周期为T 的信号 f (x) 可用傅里叶级数来表示，
即 f (x) F (n)e jn0x
式中
F(n) 1 T
T
2 T
f (x)e jn0xdx
(1) 具有可分性 一个二维傅里叶变换可用二次一维傅里叶变换来实现。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy F y{F x[ f (x, y)]}
第3章 图像处理中的正交变换
(3) 共轭对称性 (2) 线性 傅里叶变换是线性算子，即
(3-1)
f (x) F (u)e j2ux du
(3-2)
第3章 图像处理中的正交变换
如令 2 u ， 则有
F () f (x)e jxdx
f (x) 1 F ()e jxd
2
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
(3-3) (3-4)
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
变换处理一般是线性变换，其基本线性运算 式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件， 因此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理 技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码 等处理中。本章将对几种主要的正交变换进行 较详细地讨论。
FIFT
g(x,y)
空域 图像
一般情况下，整个图像的对比度和动态范围取决于图 像信息的低频部分（指整个图像）。图像相邻像素的 对比度及灰度变化较缓慢的部分对应于图像的低频部 分。而图像中的边缘及局部细节取决于高频部分。可 采用高通滤波器以突出图像边缘轮廓和图像细节部分； 采用低通滤波器来减少图像噪声。
3.1.6 二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数 字图像处理主要是二维数据处理。二维离散傅里叶变换 的定义可用下面二式表示。
正变换式为：
F(u,v)
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ux
M
vy N
u 0,1,2,, M 1
第3章 图像处理中的正交变换
3. 1 傅里叶变换
3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念 傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的 函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积。
则有下列二式成立
F(u)
f (x)e j2ux dx
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
（第一讲）
第3章 图像处理中的正交变换
数字图像处理的方法主要分为两大类： 空间域处理法(或称空域法)， 频域法(或称变换域法)。
在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。
第3章 图像处理中的正交变换
输入 f(x,y)
空域 处理
输出 g(x,y)
2
第3章 图像处理中的正交变换
F()
f (x)e j xdx
2
Ae j
xdx
2
A
j
(e 2
e
j 2
)
2A
sin
j
2
幅度谱
F ()
2A sin 2
A
sin
2
相位谱
2
0
4n 2(2n 1)
2
0
2
T
因此，傅里叶变换可写成下式:
F () F[ f (x)] F[ F (n)e jn0x ] F (n)F [e jn0x ]
第3章 图像处理中的正交变换
F () F[ f (x)] F[ F (n)e jn0x ] F (n)F [e jn0x ]
g(x, y) 的共轭。
第3章 图像处理中的正交变换
(8) 卷积定理 如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f(x, y)和g(x, y)是二 维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，即
f (x) g(x) f ()g(x )d
f (x, y) g(x, y)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.3 离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这 在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换 使得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅 里叶变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽 阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值，而且在某 种意义上说它也有了更重要的实用价值。
也成立。
第3章 图像处理中的正交变换
(9) 相关定理
如果
x(n) X (m) y(n) Y(m)
则 x(n) y(n) X (m) Y (m)
(10) 帕斯维尔定理
如果 x(n) X (m)
则
N 1
x2 (n)
1
N 1
2
X (m)
n0
N m0
第3章 图像处理中的正交变换
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量,则
F() R() jI()
(3-5)
或写成指数形式
F () F() e j()
(3-6)
第3章 图像处理中的正交变换
指数形式
F() F() e j()
(3-6)
F() R2() I2()
(3-7)
() arctg I () R()
f
(x,
y)
1 MN
图像处理的空间域法
空间域法是指在空间域内直接对图像像素灰度值进行 运算处理。主要有：灰度变换、直方图修正、图像平 滑、图像锐化、伪彩色处理、边缘检测、模识识别等。
第3章 图像处理中的正交变换
f(x,y)
空域 原图像
FFT
F(u,v)
低通滤波器 G(u,v) H(u,v)
频谱 图像
ຫໍສະໝຸດ Baidu
频谱 图像
低通滤波法的系统框图
f (, )g(x , y )dd
第3章 图像处理中的正交变换
由以上定义可引出傅里叶变换的一个重要性质。这 就是相关定理，即
f (x, y) g(x, y) F (u, v) G*(u, v)
f (x, y) g*(x, y) F (u, v) G(u, v) 式中 F(u,v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换，G(u, v)是 g(x, y) 的傅里叶变换，G* (u, v) 是 G(u,v) 的共轭，g*(x, y) 是
f (ax,by) 1 F u , v ab a b
第3章 图像处理中的正交变换
(6) 帕斯维尔（Parseval）定理 这个性质也可称为能量保持定理。如果 F(u,v) 是
f (x, y) 的傅里叶变换，那么有下式成立
f (x, y) 2 dxdy F (u, v) 2 dudv
2. 离散傅里叶变换的性质
(1) 线性 如果时间序列x(n)与y(n)各有傅里叶变换X(m)和Y(m)，
则 ax(n) by(n) aX(m) bY(m)
(2) 对称性 如果
则
xn X m
1 X (n) x(m) N
第3章 图像处理中的正交变换
(3) 时间移位 如果序列向右（或向左）移动k位，
第3章 图像处理中的正交变换
(4) 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为0 ，那么在变换域
中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即
f (r, 0) F(k, 0)
(5) 比例变换特性 如果 F(u, v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换。a和b分 别为两个标量，那么
af (x, y) aF(u, v)
v 0,1,2,, N 1
(3-63)
第3章 图像处理中的正交变换
正变换：
F(u,v)
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2
ux M
vy N
u 0,1,2,, M 1
v 0,1,2,, N 1
(3-63)
反变换：
则
Xe (m)
(7) 奇函数
N 1
n0
xe
(n)
c
os(
2
mn
N
)
如果 x0 n x0 n
则
X0 (m)
N 1
j
n0
x0
(n)
sin(
2
N
mn
)
第3章 图像处理中的正交变换
(8) 卷积定理
如果 x(n) X (m), y(n) Y (m)
则 x(n) y(n) X (m)Y(m) 反之 x(n) y(n) X (m)Y(m)
R(u, v)
能量谱 E(u,v) R2 (u,v) I 2 (u, v)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.2 傅里叶变换的性质
傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算 处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里叶变 换为例列出其主要的几个性质。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy (3-9)
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv (3-10)
第3章 图像处理中的正交变换
幅度谱 F(u,v) R2 (u,v) I 2 (u,v)
第3章 图像处理中的正交变换
1. 离散傅里叶变换的定义
如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正变换定
义由下式来表示
N 1
j 2mn
X (m) x(n)e N
n0
(3-29)
傅里叶反变换定义由下式来表示
x(n)
1
N 1
j 2 mn
X (m)e N
N m0
(3-30)
第3章 图像处理中的正交变换
F a1 f1(x, y) a2 f2 (x, y) a1F f1(x, y) a2F f2 (x, y)
如果 F(u,v) 是 f ( x, y ) 的傅里叶变换，F * (u,v) 是 f (x,y) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F(u, v) F * (u,v)
f (, )g(x , y )dd
第3章 图像处理中的正交变换
由此，可得到傅里叶变换的卷积定理如下
f (x, y) g(x, y) F(u,v) G(u,v) f (x, y) g(x, y) F(u, v) G(u, v)
式中 F(u,v) 和 G(u,v) 分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换。
(3-8)
把 F() 叫做 f (x) 的傅里叶谱，而 () 叫相位谱。
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换广泛用于频谱分析。 例：求图3-1所示波形f(x)的频谱。
f(x) A
-
x
2
2
图3-1 函数f(x)波形
A
f
(
x)
0
0
x
2
2
x
2
x
此性质说明变换前后能量守恒。
第3章 图像处理中的正交变换
(7) 相关定理 如果，f(x), g(x)为两个一维时域函数；f(x,y)和g(x,y)为 两个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数
f (x) g(x) f ( )g(x )d
f (x, y) g(x, y)
则 式中
xn k X mW km
j 2
W e N
(4) 频率移位
如果 xn X m
则 xnW kn X m k
第3章 图像处理中的正交变换
(5) 周期性
如果 xn X m
x(n rN) x(n)
(6) 偶函数
如果 xe n xe n
F (n) e jn0 e jxdx F (n) e j(n0 )dx
n
n
2 F (n) ( n0 ) n
图3-3 周期函数的傅里叶谱
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里叶变换 对存在：
2(2n 1) 4(n 1)
n 0,1, 2
第3章 图像处理中的正交变换
例：求周期函数的傅里叶谱。
一个周期为T 的信号 f (x) 可用傅里叶级数来表示，
即 f (x) F (n)e jn0x
式中
F(n) 1 T
T
2 T
f (x)e jn0xdx
(1) 具有可分性 一个二维傅里叶变换可用二次一维傅里叶变换来实现。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy F y{F x[ f (x, y)]}
第3章 图像处理中的正交变换
(3) 共轭对称性 (2) 线性 傅里叶变换是线性算子，即
(3-1)
f (x) F (u)e j2ux du
(3-2)
第3章 图像处理中的正交变换
如令 2 u ， 则有
F () f (x)e jxdx
f (x) 1 F ()e jxd
2
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
(3-3) (3-4)
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
变换处理一般是线性变换，其基本线性运算 式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件， 因此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理 技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码 等处理中。本章将对几种主要的正交变换进行 较详细地讨论。
FIFT
g(x,y)
空域 图像
一般情况下，整个图像的对比度和动态范围取决于图 像信息的低频部分（指整个图像）。图像相邻像素的 对比度及灰度变化较缓慢的部分对应于图像的低频部 分。而图像中的边缘及局部细节取决于高频部分。可 采用高通滤波器以突出图像边缘轮廓和图像细节部分； 采用低通滤波器来减少图像噪声。
3.1.6 二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数 字图像处理主要是二维数据处理。二维离散傅里叶变换 的定义可用下面二式表示。
正变换式为：
F(u,v)
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ux
M
vy N
u 0,1,2,, M 1
第3章 图像处理中的正交变换
3. 1 傅里叶变换
3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念 傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的 函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积。
则有下列二式成立
F(u)
f (x)e j2ux dx
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
（第一讲）
第3章 图像处理中的正交变换
数字图像处理的方法主要分为两大类： 空间域处理法(或称空域法)， 频域法(或称变换域法)。
在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。
第3章 图像处理中的正交变换
输入 f(x,y)
空域 处理
输出 g(x,y)
2
第3章 图像处理中的正交变换
F()
f (x)e j xdx
2
Ae j
xdx
2
A
j
(e 2
e
j 2
)
2A
sin
j
2
幅度谱
F ()
2A sin 2
A
sin
2
相位谱
2
0
4n 2(2n 1)
2
0
2
T
因此，傅里叶变换可写成下式:
F () F[ f (x)] F[ F (n)e jn0x ] F (n)F [e jn0x ]
第3章 图像处理中的正交变换
F () F[ f (x)] F[ F (n)e jn0x ] F (n)F [e jn0x ]
g(x, y) 的共轭。
第3章 图像处理中的正交变换
(8) 卷积定理 如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f(x, y)和g(x, y)是二 维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，即
f (x) g(x) f ()g(x )d
f (x, y) g(x, y)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.3 离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这 在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换 使得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅 里叶变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽 阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值，而且在某 种意义上说它也有了更重要的实用价值。
也成立。
第3章 图像处理中的正交变换
(9) 相关定理
如果
x(n) X (m) y(n) Y(m)
则 x(n) y(n) X (m) Y (m)
(10) 帕斯维尔定理
如果 x(n) X (m)
则
N 1
x2 (n)
1
N 1
2
X (m)
n0
N m0
第3章 图像处理中的正交变换
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量,则
F() R() jI()
(3-5)
或写成指数形式
F () F() e j()
(3-6)
第3章 图像处理中的正交变换
指数形式
F() F() e j()
(3-6)
F() R2() I2()
(3-7)
() arctg I () R()
f
(x,
y)
1 MN
图像处理的空间域法
空间域法是指在空间域内直接对图像像素灰度值进行 运算处理。主要有：灰度变换、直方图修正、图像平 滑、图像锐化、伪彩色处理、边缘检测、模识识别等。
第3章 图像处理中的正交变换
f(x,y)
空域 原图像
FFT
F(u,v)
低通滤波器 G(u,v) H(u,v)
频谱 图像
ຫໍສະໝຸດ Baidu
频谱 图像
低通滤波法的系统框图
f (, )g(x , y )dd
第3章 图像处理中的正交变换
由以上定义可引出傅里叶变换的一个重要性质。这 就是相关定理，即
f (x, y) g(x, y) F (u, v) G*(u, v)
f (x, y) g*(x, y) F (u, v) G(u, v) 式中 F(u,v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换，G(u, v)是 g(x, y) 的傅里叶变换，G* (u, v) 是 G(u,v) 的共轭，g*(x, y) 是
f (ax,by) 1 F u , v ab a b
第3章 图像处理中的正交变换
(6) 帕斯维尔（Parseval）定理 这个性质也可称为能量保持定理。如果 F(u,v) 是
f (x, y) 的傅里叶变换，那么有下式成立
f (x, y) 2 dxdy F (u, v) 2 dudv
2. 离散傅里叶变换的性质
(1) 线性 如果时间序列x(n)与y(n)各有傅里叶变换X(m)和Y(m)，
则 ax(n) by(n) aX(m) bY(m)
(2) 对称性 如果
则
xn X m
1 X (n) x(m) N
第3章 图像处理中的正交变换
(3) 时间移位 如果序列向右（或向左）移动k位，
第3章 图像处理中的正交变换
(4) 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为0 ，那么在变换域
中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即
f (r, 0) F(k, 0)
(5) 比例变换特性 如果 F(u, v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换。a和b分 别为两个标量，那么
af (x, y) aF(u, v)
v 0,1,2,, N 1
(3-63)
第3章 图像处理中的正交变换
正变换：
F(u,v)
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2
ux M
vy N
u 0,1,2,, M 1
v 0,1,2,, N 1
(3-63)
反变换：
则
Xe (m)
(7) 奇函数
N 1
n0
xe
(n)
c
os(
2
mn
N
)
如果 x0 n x0 n
则
X0 (m)
N 1
j
n0
x0
(n)
sin(
2
N
mn
)
第3章 图像处理中的正交变换
(8) 卷积定理
如果 x(n) X (m), y(n) Y (m)
则 x(n) y(n) X (m)Y(m) 反之 x(n) y(n) X (m)Y(m)