有限差分法与有限元法对比及FLAC3D应用
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h2 ∂2 f ∂f f1 = f 0 + h + 2 ∂x 2 ∂x 0
f − f3 ∂f = 1 2h ∂x 0
∂2 f 2 ∂x
0
0
f + f3 − 2 f0 = 1 h2 0
FLAC3D软件介绍与实例分析
FLAC3D是美国ITASCA咨询集团公司开发的三维快速拉格朗日分析程序。三维快 速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法。它可以模拟岩土 或其他材料的三维力学特性。这种分析方法可以将计算区域分为许多四面体单元， 每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系。 如果单元的应力使材料屈服进而产生塑性流动，那么单元网格就会随着材料的变 形而变形。这种算法适合于模拟大变形问题。 FLAC3D采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程 FLAC3D可以很好的模拟岩土达到破坏极限的受力特性，它有自己内置的11种 材料的本构模型，如弹性模型，Mohr一Coulomb模型，D-P模型。此外，还有 丰富的架构单元，如梁(beam)、锚索(cable)、桩(pile)、衬砌(liner)、上工格栅 (geogrid)等。为模拟各种复杂的岩土工程问题提供了方便
单 元 号
局部节点i 局部节点j对 对应的总体 应的总体节 点编号 节点编号
局部节点m对 应的总体节点 编号
① ②
2 4
4 2
1 3
单元分析
有限元法中，通常采用位移法进行计算，即取节点的位移分量为基 木未知量，单元中的位移、应变、应力等物理量，都和基本未知量 相关联。 1.确定每个节点处的位移分量，并利用节点位移分量表示单元内部位移分量 2.利用几何方程求出位移与应变的关系，求出应变分量 [ε ]=[B][δ ]e [σ ]=[D][B][δ ]e e 3.利用物理方程求出应力应变关系，求出应力分量 [σ ]=[D][ε ] T 4.利用虚功方程 [(δ )e ]T [ F ]e =得出 [σ ]dA [ F ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA[δ ]e ∫∫ [ε ] 其中 [ k ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA
结构离散化
根据几何近似和物理近似，利用不同的单元类型将真实结构离散为有 限个单元的集合体 1.给每个单元、节点编号，建立单元局部节点编号与总体节点编号 之间的关系 2.建立整体坐标系并计算各节点的坐标值。 3.准备好单元几何和材料特性数据 4.将外载荷均按照虚功等效的原则移置到节点上，即载荷移置 5.在位移受约束的节点上根据实际情况设置约束条件，即约束简化。
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + 2! ∂ x 2 ∂x 0 1 ∂3 f 2 ( x − x0 ) + 3! ∂ x 3 0 ( x − x 0 ) 3 + ... 0
将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小
gen zone brick p0 0 30 -10 p1 100 30 -10 p2 0 60 -10wenku.baidu.comp3 0 30 0 size 25 10 5 group clay4
gen zone brick p0 0 0 0 p1 32 0 0 p2 0 60 0 p3 0 0 5 p4 32 60 0 p5 0 60 5 p6 20 0 5 p7 20 60 5 size 8 20 5 group clay5
FLAC3D中命令句法 所有在flac3d里输入的命令都有严格的语法约定，一般的形式为一个 主命令后面跟一个或多个关键词以及关键词附带的参数，即 主命令 关键词 <参数值>…<关键词参数值…> COMMAND keyword value...<keyword value...>... 例如：app nstress -10e4 range z 3 x 1 2 y 1 2 自定义变量和函数 通过FLAC3D中自带的编程语言，FISH。以def开始，end结束。 选择语句：CASE OF… CASE n1 CASE n2 ENDCASE 条件语句：IF…THEN ELSE ENDIF 循环语句：LOOP var(exp1 exp2) ENDLOOP 命令语句：COMMAND ENDCOMMAND
对所有的网格节点 速度 平衡方程 (动量方程)
d u ∂σ ρ i = ij + ρ gi dt ∂x j
•
节点力
Gauss定律 对所有单元 应力—应变关系 (本构模型) 应变率
单元积分
新的应力
有限元与有限差分对比
显式差分：首先调用运动方程从应力和外力导出新 的速度和位移，求出应变率，由应变率得出新的应 力或力。循环里的每一个周期，采用一个时步，上 图中每个方框内根据已知值更新自身网格变量。 显式差分法的优点是即使本构方程是高度非线性的，通过一个单元的应变计算其 应力时，这个过程也不需要迭代。 相对于有限元程序，在一次求解步骤中，每个单元和其他单元发生联系，达到相 容平衡前要进行几次迭代循环。 显式差分 无需反复迭代实现非线性本构关系 不形成矩阵，无带宽限制 对于大位移，大应变问题无需额外计算 时步选择需恰当，过大会使解不稳定 有限元 需要反复迭代 需存储刚度矩阵，占用内存较大 对于大位移，大应变需进行大量计算 时步任意选择，没有稳定条件控制
整体分析
建立总刚度矩阵，荷载列阵，位移列阵，引入边界条件，解线 性方程组
有限差分法
差分法的基本思想是把要求解问题的微分方程及其边界条件利用离 散的，只含有有限个未知数的差分方程（代数方程组）来表示，把 求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，并用代数方程的 解作为微分方程的近似解。 步骤：1.在求解域做有限差分网格剖分 2.选择逼近方程定解问题的差分格式 3.将计算网格内所有节点的对应差分方程联立，求解联立代数方程组。 在弹性体上用相隔等间距h而平行于坐标轴 的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h， 如图。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该 函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结 点０处，函数f可展为泰勒级数如下：
f + f4 − 2 f0 = 2 2h 0
中心差分 特点是在连续的两端 网格区间内，把函数 简化为f的二次函数
同理
∂f f2 − f4 ∂y = 2h 0
∂2 f ∂y 2
若f简化为按直线变化，则得出向前差分和向后差分的偏心差分， 若要得到更高精度的差分公式，将函数的级数展开式中再多取几项 以四面体为基本单元（常应力，常应变）， 四面体内任意一点的速度分量vi，利用高斯 公式
gen zone brick p0 0 0 -10 p1 100 0 10 p2 0 30 -10 p3 0 0 0 size 25 10 5 group clay2
gen zone brick p0 0 30 -50 p1 100 30 -50 p2 0 60 -50 p3 0 30 -10 size 25 10 12 group clay3
在FLAC3D中，有一个网格形状库，提供了12种最基本的原始网格形状。有矩形网 格(Brick)、退化矩形网格 (Degenerate Brick)、形网格(Wedge) (Pyramid)、四面体形 网格(Tetrahedron)、圆柱体形网格(Cylinder)、、金字塔形网格矩形体外环绕放射状 网格(Radial Brick)、平行六面体外环绕放射状网格(Radial Tunnel)、圆柱体外环绕放 射状网格(Radial Cylinder)、柱形壳体网格(Cylindrical Shell)、交叉圆柱体网格 (Cylinder Intersection)、交叉平行六面体网格(Tunnel Intersection)。通过这12种基本 的模型就可以组合成复杂的岩土工程的模型。 FLAC3D的生成网格用generate zone命令 FLAC3D的模型定义采用model命令，材料参数用property命令 FLAC3D的边界条件，初始条件采用fix，free，initial命令 FLAC3D的计算求解采用step，solve，set mech命令 FLAC3D的施加外荷载采用apply命令
命令栏
分析问题过程
建立网格
初始条件 前处理 边界条件
初始应力平衡
外荷载 求解 后处理
实例分析
三维加筋土路堤处治不均匀 沉降模型 在不同地基路段的结合处， 地基刚度差异较大，经常产 生差异沉降。地基的这种差 异沉降将加剧路面结构的破 坏
土层的参数： 模型 软弱土层 硬粘土层 路堤土
ρ（kg/m^3） C（kpa） ϕ （o） E(kpa)
结构离散化
单元分析
整体分析
离散化： 离散化：将无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体 单元分析：建立单元受力与变形之间的平衡关系， 单元分析：建立单元受力与变形之间的平衡关系，即单元节 点位移和单元节点力之间的转换关系 整体分析：建立整体结构受力与变形之间的平衡关系， 整体分析：建立整体结构受力与变形之间的平衡关系，即对 所有节点列写力平衡方程式
∫v
V
i, j
dV =
∫ v n dS
i i S
对于常应变单元 运动方程
vi , j
1 =− 3V
∑vn
i =1 i
4
j
S
∂vi Fi (t ) = ∂t m
vi (t +
以节点为计算对象，通过运动方程在 时域内进行求解
采用中心差分来近似 单元应变增量
∆t ∆t F (t ) ) = vi (t − ) + i ∆t 2 2 m 1 由速率求某一时步内单 ∆ eij = ( v i , j + v j , i ) ∆ t 2 元应变增量
有限差分法及FLAC3D应用
上海大学土木工程系
报告人：方醒 学号：11722137
1.有限单元法与有限差分法基本理论对比 1.有限单元法与有限差分法基本理论对比
2.FLAC3D软件介绍与实例分析 2.FLAC3D软件介绍与实例分析
3.FLAC3D最新进展 3.FLAC3D最新进展
有限单元法
有限元分析基本步骤：
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + ∂x 0 2! ∂ x 2 ( x − x0 ) 2 0
在结点３，x=x0-h,，在结点1， x=x0+h
h2 ∂2 f ∂f f3 = f 0 − h + 2 ∂x 2 ∂x 0
FLAC3D不像有限元软 件，它在建模过程中 就划分了网格，不需 要再重新划分网格。 一般在需要分析的区 域网格建的密一点， 这样会提高计算的精 度。 在建模过程中，在生成相邻的两个网格时，两个网格的单元数必须要相 同，要不然就会造成网格的不连续性
定义边界条件，材料特性 针对三维模型，固定x=0和x=100处x向位移，y=0和y=60处y向位移，模型底 面固定x，y，z三个方向位移。 土体的本构关系定义为mohr-coulomb模型，针对此模型需要定义的参 数分别为体积模量K,剪切模量G，摩擦角，粘聚力c，抗拉强度，剪胀角。
1600 1800 1800 8.5 12 17 10 20 20 950 1800 2700
ν
0.33 0.30 0.30
gen zone brick p0 0 0 -50 p1 100 0 -50 p2 0 30 -50 p3 0 0 -10 size 25 10 12 group clay1
综上，显式差分由于其方程等式右边值均为已知的，故不用解方程组，可将右边 表达式求值后赋值给左边的未知数就可以了，这个过程同时更新所有变量。某一 时步的所有“老”变量为其后一时步“新”变量所代替，而时间又前进一步。 但是由于所要定的时间步需要短，，意味着必须多次运算。所以一般显式方式 对于病态系统：非线性，大变形，物理不稳定问题是最适用。而对于模拟线性 的，小变形问题效率并不高。
f − f3 ∂f = 1 2h ∂x 0
∂2 f 2 ∂x
0
0
f + f3 − 2 f0 = 1 h2 0
FLAC3D软件介绍与实例分析
FLAC3D是美国ITASCA咨询集团公司开发的三维快速拉格朗日分析程序。三维快 速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法。它可以模拟岩土 或其他材料的三维力学特性。这种分析方法可以将计算区域分为许多四面体单元， 每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系。 如果单元的应力使材料屈服进而产生塑性流动，那么单元网格就会随着材料的变 形而变形。这种算法适合于模拟大变形问题。 FLAC3D采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程 FLAC3D可以很好的模拟岩土达到破坏极限的受力特性，它有自己内置的11种 材料的本构模型，如弹性模型，Mohr一Coulomb模型，D-P模型。此外，还有 丰富的架构单元，如梁(beam)、锚索(cable)、桩(pile)、衬砌(liner)、上工格栅 (geogrid)等。为模拟各种复杂的岩土工程问题提供了方便
单 元 号
局部节点i 局部节点j对 对应的总体 应的总体节 点编号 节点编号
局部节点m对 应的总体节点 编号
① ②
2 4
4 2
1 3
单元分析
有限元法中，通常采用位移法进行计算，即取节点的位移分量为基 木未知量，单元中的位移、应变、应力等物理量，都和基本未知量 相关联。 1.确定每个节点处的位移分量，并利用节点位移分量表示单元内部位移分量 2.利用几何方程求出位移与应变的关系，求出应变分量 [ε ]=[B][δ ]e [σ ]=[D][B][δ ]e e 3.利用物理方程求出应力应变关系，求出应力分量 [σ ]=[D][ε ] T 4.利用虚功方程 [(δ )e ]T [ F ]e =得出 [σ ]dA [ F ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA[δ ]e ∫∫ [ε ] 其中 [ k ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA
结构离散化
根据几何近似和物理近似，利用不同的单元类型将真实结构离散为有 限个单元的集合体 1.给每个单元、节点编号，建立单元局部节点编号与总体节点编号 之间的关系 2.建立整体坐标系并计算各节点的坐标值。 3.准备好单元几何和材料特性数据 4.将外载荷均按照虚功等效的原则移置到节点上，即载荷移置 5.在位移受约束的节点上根据实际情况设置约束条件，即约束简化。
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + 2! ∂ x 2 ∂x 0 1 ∂3 f 2 ( x − x0 ) + 3! ∂ x 3 0 ( x − x 0 ) 3 + ... 0
将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小
gen zone brick p0 0 30 -10 p1 100 30 -10 p2 0 60 -10wenku.baidu.comp3 0 30 0 size 25 10 5 group clay4
gen zone brick p0 0 0 0 p1 32 0 0 p2 0 60 0 p3 0 0 5 p4 32 60 0 p5 0 60 5 p6 20 0 5 p7 20 60 5 size 8 20 5 group clay5
FLAC3D中命令句法 所有在flac3d里输入的命令都有严格的语法约定，一般的形式为一个 主命令后面跟一个或多个关键词以及关键词附带的参数，即 主命令 关键词 <参数值>…<关键词参数值…> COMMAND keyword value...<keyword value...>... 例如：app nstress -10e4 range z 3 x 1 2 y 1 2 自定义变量和函数 通过FLAC3D中自带的编程语言，FISH。以def开始，end结束。 选择语句：CASE OF… CASE n1 CASE n2 ENDCASE 条件语句：IF…THEN ELSE ENDIF 循环语句：LOOP var(exp1 exp2) ENDLOOP 命令语句：COMMAND ENDCOMMAND
对所有的网格节点 速度 平衡方程 (动量方程)
d u ∂σ ρ i = ij + ρ gi dt ∂x j
•
节点力
Gauss定律 对所有单元 应力—应变关系 (本构模型) 应变率
单元积分
新的应力
有限元与有限差分对比
显式差分：首先调用运动方程从应力和外力导出新 的速度和位移，求出应变率，由应变率得出新的应 力或力。循环里的每一个周期，采用一个时步，上 图中每个方框内根据已知值更新自身网格变量。 显式差分法的优点是即使本构方程是高度非线性的，通过一个单元的应变计算其 应力时，这个过程也不需要迭代。 相对于有限元程序，在一次求解步骤中，每个单元和其他单元发生联系，达到相 容平衡前要进行几次迭代循环。 显式差分 无需反复迭代实现非线性本构关系 不形成矩阵，无带宽限制 对于大位移，大应变问题无需额外计算 时步选择需恰当，过大会使解不稳定 有限元 需要反复迭代 需存储刚度矩阵，占用内存较大 对于大位移，大应变需进行大量计算 时步任意选择，没有稳定条件控制
整体分析
建立总刚度矩阵，荷载列阵，位移列阵，引入边界条件，解线 性方程组
有限差分法
差分法的基本思想是把要求解问题的微分方程及其边界条件利用离 散的，只含有有限个未知数的差分方程（代数方程组）来表示，把 求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，并用代数方程的 解作为微分方程的近似解。 步骤：1.在求解域做有限差分网格剖分 2.选择逼近方程定解问题的差分格式 3.将计算网格内所有节点的对应差分方程联立，求解联立代数方程组。 在弹性体上用相隔等间距h而平行于坐标轴 的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h， 如图。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该 函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结 点０处，函数f可展为泰勒级数如下：
f + f4 − 2 f0 = 2 2h 0
中心差分 特点是在连续的两端 网格区间内，把函数 简化为f的二次函数
同理
∂f f2 − f4 ∂y = 2h 0
∂2 f ∂y 2
若f简化为按直线变化，则得出向前差分和向后差分的偏心差分， 若要得到更高精度的差分公式，将函数的级数展开式中再多取几项 以四面体为基本单元（常应力，常应变）， 四面体内任意一点的速度分量vi，利用高斯 公式
gen zone brick p0 0 0 -10 p1 100 0 10 p2 0 30 -10 p3 0 0 0 size 25 10 5 group clay2
gen zone brick p0 0 30 -50 p1 100 30 -50 p2 0 60 -50 p3 0 30 -10 size 25 10 12 group clay3
在FLAC3D中，有一个网格形状库，提供了12种最基本的原始网格形状。有矩形网 格(Brick)、退化矩形网格 (Degenerate Brick)、形网格(Wedge) (Pyramid)、四面体形 网格(Tetrahedron)、圆柱体形网格(Cylinder)、、金字塔形网格矩形体外环绕放射状 网格(Radial Brick)、平行六面体外环绕放射状网格(Radial Tunnel)、圆柱体外环绕放 射状网格(Radial Cylinder)、柱形壳体网格(Cylindrical Shell)、交叉圆柱体网格 (Cylinder Intersection)、交叉平行六面体网格(Tunnel Intersection)。通过这12种基本 的模型就可以组合成复杂的岩土工程的模型。 FLAC3D的生成网格用generate zone命令 FLAC3D的模型定义采用model命令，材料参数用property命令 FLAC3D的边界条件，初始条件采用fix，free，initial命令 FLAC3D的计算求解采用step，solve，set mech命令 FLAC3D的施加外荷载采用apply命令
命令栏
分析问题过程
建立网格
初始条件 前处理 边界条件
初始应力平衡
外荷载 求解 后处理
实例分析
三维加筋土路堤处治不均匀 沉降模型 在不同地基路段的结合处， 地基刚度差异较大，经常产 生差异沉降。地基的这种差 异沉降将加剧路面结构的破 坏
土层的参数： 模型 软弱土层 硬粘土层 路堤土
ρ（kg/m^3） C（kpa） ϕ （o） E(kpa)
结构离散化
单元分析
整体分析
离散化： 离散化：将无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体 单元分析：建立单元受力与变形之间的平衡关系， 单元分析：建立单元受力与变形之间的平衡关系，即单元节 点位移和单元节点力之间的转换关系 整体分析：建立整体结构受力与变形之间的平衡关系， 整体分析：建立整体结构受力与变形之间的平衡关系，即对 所有节点列写力平衡方程式
∫v
V
i, j
dV =
∫ v n dS
i i S
对于常应变单元 运动方程
vi , j
1 =− 3V
∑vn
i =1 i
4
j
S
∂vi Fi (t ) = ∂t m
vi (t +
以节点为计算对象，通过运动方程在 时域内进行求解
采用中心差分来近似 单元应变增量
∆t ∆t F (t ) ) = vi (t − ) + i ∆t 2 2 m 1 由速率求某一时步内单 ∆ eij = ( v i , j + v j , i ) ∆ t 2 元应变增量
有限差分法及FLAC3D应用
上海大学土木工程系
报告人：方醒 学号：11722137
1.有限单元法与有限差分法基本理论对比 1.有限单元法与有限差分法基本理论对比
2.FLAC3D软件介绍与实例分析 2.FLAC3D软件介绍与实例分析
3.FLAC3D最新进展 3.FLAC3D最新进展
有限单元法
有限元分析基本步骤：
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + ∂x 0 2! ∂ x 2 ( x − x0 ) 2 0
在结点３，x=x0-h,，在结点1， x=x0+h
h2 ∂2 f ∂f f3 = f 0 − h + 2 ∂x 2 ∂x 0
FLAC3D不像有限元软 件，它在建模过程中 就划分了网格，不需 要再重新划分网格。 一般在需要分析的区 域网格建的密一点， 这样会提高计算的精 度。 在建模过程中，在生成相邻的两个网格时，两个网格的单元数必须要相 同，要不然就会造成网格的不连续性
定义边界条件，材料特性 针对三维模型，固定x=0和x=100处x向位移，y=0和y=60处y向位移，模型底 面固定x，y，z三个方向位移。 土体的本构关系定义为mohr-coulomb模型，针对此模型需要定义的参 数分别为体积模量K,剪切模量G，摩擦角，粘聚力c，抗拉强度，剪胀角。
1600 1800 1800 8.5 12 17 10 20 20 950 1800 2700
ν
0.33 0.30 0.30
gen zone brick p0 0 0 -50 p1 100 0 -50 p2 0 30 -50 p3 0 0 -10 size 25 10 12 group clay1
综上，显式差分由于其方程等式右边值均为已知的，故不用解方程组，可将右边 表达式求值后赋值给左边的未知数就可以了，这个过程同时更新所有变量。某一 时步的所有“老”变量为其后一时步“新”变量所代替，而时间又前进一步。 但是由于所要定的时间步需要短，，意味着必须多次运算。所以一般显式方式 对于病态系统：非线性，大变形，物理不稳定问题是最适用。而对于模拟线性 的，小变形问题效率并不高。