有限差分法与有限元法对比及FLAC3D应用
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FLAC3D不像有限元软 件,它在建模过程中 就划分了网格,不需 要再重新划分网格。 一般在需要分析的区 域网格建的密一点, 这样会提高计算的精 度。 在建模过程中,在生成相邻的两个网格时,两个网格的单元数必须要相 同,要不然就会造成网格的不连续性
定义边界条件,材料特性 针对三维模型,固定x=0和x=100处x向位移,y=0和y=60处y向位移,模型底 面固定x,y,z三个方向位移。 土体的本构关系定义为mohr-coulomb模型,针对此模型需要定义的参 数分别为体积模量K,剪切模量G,摩擦角,粘聚力c,抗拉强度,剪胀角。
命令栏
分析问题过程
建立网格
初始条件 前处理 边界条件
初始应力平衡
外荷载 求解 后处理
实例分析
三维加筋土路堤处治不均匀 沉降模型 在不同地基路段的结合处, 地基刚度差异较大,经常产 生差异沉降。地基的这种差 异沉降将加剧路面结构的破 坏
土层的参数: 模型 软弱土层 硬粘土层 路堤土
ρ(kg/m^3) C(kpa) ϕ (o) E(kpa)
在FLAC3D中,有一个网格形状库,提供了12种最基本的原始网格形状。有矩形网 格(Brick)、退化矩形网格 (Degenerate Brick)、形网格(Wedge) (Pyramid)、四面体形 网格(Tetrahedron)、圆柱体形网格(Cylinder)、、金字塔形网格矩形体外环绕放射状 网格(Radial Brick)、平行六面体外环绕放射状网格(Radial Tunnel)、圆柱体外环绕放 射状网格(Radial Cylinder)、柱形壳体网格(Cylindrical Shell)、交叉圆柱体网格 (Cylinder Intersection)、交叉平行六面体网格(Tunnel Intersection)。通过这12种基本 的模型就可以组合成复杂的岩土工程的模型。 FLAC3D的生成网格用generate zone命令 FLAC3D的模型定义采用model命令,材料参数用property命令 FLAC3D的边界条件,初始条件采用fix,free,initial命令 FLAC3D的计算求解采用step,solve,set mech命令 FLAC3D的施加外荷载采用apply命令
单 元 号
局部节点i 局部节点j对 对应的总体 应的总体节 点编号 节点编号
局部节点m对 应的总体节点 编号
① ②
2 4
4 2
1 3
单元分析
有限元法中,通常采用位移法进行计算,即取节点的位移分量为基 木未知量,单元中的位移、应变、应力等物理量,都和基本未知量 相关联。 1.确定每个节点处的位移分量,并利用节点位移分量表示单元内部位移分量 2.利用几何方程求出位移与应变的关系,求出应变分量 [ε ]=[B][δ ]e [σ ]=[D][B][δ ]e e 3.利用物理方程求出应力应变关系,求出应力分量 [σ ]=[D][ε ] T 4.利用虚功方程 [(δ )e ]T [ F ]e =得出 [σ ]dA [ F ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA[δ ]e ∫∫ [ε ] 其中 [ k ]e = ∫∫ [ B ]T [ D][ B ]dA
1600 1800 1800 8.5 12 17 10 20 20 950 1800 2700
ν
0.33 0.30 0.30Байду номын сангаас
gen zone brick p0 0 0 -50 p1 100 0 -50 p2 0 30 -50 p3 0 0 -10 size 25 10 12 group clay1
整体分析
建立总刚度矩阵,荷载列阵,位移列阵,引入边界条件,解线 性方程组
有限差分法
差分法的基本思想是把要求解问题的微分方程及其边界条件利用离 散的,只含有有限个未知数的差分方程(代数方程组)来表示,把 求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题,并用代数方程的 解作为微分方程的近似解。 步骤:1.在求解域做有限差分网格剖分 2.选择逼近方程定解问题的差分格式 3.将计算网格内所有节点的对应差分方程联立,求解联立代数方程组。 在弹性体上用相隔等间距h而平行于坐标轴 的两组平行线织成正方形网格,Δx=Δy=h, 如图。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该 函数在平行于x轴的一根网线上,如在3-01上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结 点0处,函数f可展为泰勒级数如下:
∫v
V
i, j
dV =
∫ v n dS
i i S
对于常应变单元 运动方程
vi , j
1 =− 3V
∑vn
i =1 i
4
j
S
∂vi Fi (t ) = ∂t m
vi (t +
以节点为计算对象,通过运动方程在 时域内进行求解
采用中心差分来近似 单元应变增量
∆t ∆t F (t ) ) = vi (t − ) + i ∆t 2 2 m 1 由速率求某一时步内单 ∆ eij = ( v i , j + v j , i ) ∆ t 2 元应变增量
f + f4 − 2 f0 = 2 2h 0
中心差分 特点是在连续的两端 网格区间内,把函数 简化为f的二次函数
同理
∂f f2 − f4 ∂y = 2h 0
∂2 f ∂y 2
若f简化为按直线变化,则得出向前差分和向后差分的偏心差分, 若要得到更高精度的差分公式,将函数的级数展开式中再多取几项 以四面体为基本单元(常应力,常应变), 四面体内任意一点的速度分量vi,利用高斯 公式
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + ∂x 0 2! ∂ x 2 ( x − x0 ) 2 0
在结点3,x=x0-h,,在结点1, x=x0+h
h2 ∂2 f ∂f f3 = f 0 − h + 2 ∂x 2 ∂x 0
结构离散化
根据几何近似和物理近似,利用不同的单元类型将真实结构离散为有 限个单元的集合体 1.给每个单元、节点编号,建立单元局部节点编号与总体节点编号 之间的关系 2.建立整体坐标系并计算各节点的坐标值。 3.准备好单元几何和材料特性数据 4.将外载荷均按照虚功等效的原则移置到节点上,即载荷移置 5.在位移受约束的节点上根据实际情况设置约束条件,即约束简化。
gen zone brick p0 0 30 -10 p1 100 30 -10 p2 0 60 -10 p3 0 30 0 size 25 10 5 group clay4
gen zone brick p0 0 0 0 p1 32 0 0 p2 0 60 0 p3 0 0 5 p4 32 60 0 p5 0 60 5 p6 20 0 5 p7 20 60 5 size 8 20 5 group clay5
综上,显式差分由于其方程等式右边值均为已知的,故不用解方程组,可将右边 表达式求值后赋值给左边的未知数就可以了,这个过程同时更新所有变量。某一 时步的所有“老”变量为其后一时步“新”变量所代替,而时间又前进一步。 但是由于所要定的时间步需要短,,意味着必须多次运算。所以一般显式方式 对于病态系统:非线性,大变形,物理不稳定问题是最适用。而对于模拟线性 的,小变形问题效率并不高。
有限差分法及FLAC3D应用
上海大学土木工程系
报告人:方醒 学号:11722137
1.有限单元法与有限差分法基本理论对比 1.有限单元法与有限差分法基本理论对比
2.FLAC3D软件介绍与实例分析 2.FLAC3D软件介绍与实例分析
3.FLAC3D最新进展 3.FLAC3D最新进展
有限单元法
有限元分析基本步骤:
对所有的网格节点 速度 平衡方程 (动量方程)
d u ∂σ ρ i = ij + ρ gi dt ∂x j
•
节点力
Gauss定律 对所有单元 应力—应变关系 (本构模型) 应变率
单元积分
新的应力
有限元与有限差分对比
显式差分:首先调用运动方程从应力和外力导出新 的速度和位移,求出应变率,由应变率得出新的应 力或力。循环里的每一个周期,采用一个时步,上 图中每个方框内根据已知值更新自身网格变量。 显式差分法的优点是即使本构方程是高度非线性的,通过一个单元的应变计算其 应力时,这个过程也不需要迭代。 相对于有限元程序,在一次求解步骤中,每个单元和其他单元发生联系,达到相 容平衡前要进行几次迭代循环。 显式差分 无需反复迭代实现非线性本构关系 不形成矩阵,无带宽限制 对于大位移,大应变问题无需额外计算 时步选择需恰当,过大会使解不稳定 有限元 需要反复迭代 需存储刚度矩阵,占用内存较大 对于大位移,大应变需进行大量计算 时步任意选择,没有稳定条件控制
FLAC3D软件介绍与实例分析
FLAC3D是美国ITASCA咨询集团公司开发的三维快速拉格朗日分析程序。三维快 速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法。它可以模拟岩土 或其他材料的三维力学特性。这种分析方法可以将计算区域分为许多四面体单元, 每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系。 如果单元的应力使材料屈服进而产生塑性流动,那么单元网格就会随着材料的变 形而变形。这种算法适合于模拟大变形问题。 FLAC3D采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程 FLAC3D可以很好的模拟岩土达到破坏极限的受力特性,它有自己内置的11种 材料的本构模型,如弹性模型,Mohr一Coulomb模型,D-P模型。此外,还有 丰富的架构单元,如梁(beam)、锚索(cable)、桩(pile)、衬砌(liner)、上工格栅 (geogrid)等。为模拟各种复杂的岩土工程问题提供了方便
FLAC3D中命令句法 所有在flac3d里输入的命令都有严格的语法约定,一般的形式为一个 主命令后面跟一个或多个关键词以及关键词附带的参数,即 主命令 关键词 <参数值>…<关键词参数值…> COMMAND keyword value...<keyword value...>... 例如:app nstress -10e4 range z 3 x 1 2 y 1 2 自定义变量和函数 通过FLAC3D中自带的编程语言,FISH。以def开始,end结束。 选择语句:CASE OF… CASE n1 CASE n2 ENDCASE 条件语句:IF…THEN ELSE ENDIF 循环语句:LOOP var(exp1 exp2) ENDLOOP 命令语句:COMMAND ENDCOMMAND
1 ∂2 f ∂f f = f0 + ( x − x0 ) + 2! ∂ x 2 ∂x 0 1 ∂3 f 2 ( x − x0 ) + 3! ∂ x 3 0 ( x − x 0 ) 3 + ... 0
将只考虑离开结点0充分近的那些结点,即(x-x0)充分小
结构离散化
单元分析
整体分析
离散化: 离散化:将无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体 单元分析:建立单元受力与变形之间的平衡关系, 单元分析:建立单元受力与变形之间的平衡关系,即单元节 点位移和单元节点力之间的转换关系 整体分析:建立整体结构受力与变形之间的平衡关系, 整体分析:建立整体结构受力与变形之间的平衡关系,即对 所有节点列写力平衡方程式
h2 ∂2 f ∂f f1 = f 0 + h + 2 ∂x 2 ∂x 0
f − f3 ∂f = 1 2h ∂x 0
∂2 f 2 ∂x
0
0
f + f3 − 2 f0 = 1 h2 0
gen zone brick p0 0 0 -10 p1 100 0 10 p2 0 30 -10 p3 0 0 0 size 25 10 5 group clay2
gen zone brick p0 0 30 -50 p1 100 30 -50 p2 0 60 -50 p3 0 30 -10 size 25 10 12 group clay3