高斯光束的传输变换

2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和 ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间
和通过近轴光学元件的传输变换。
2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。
该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传 输。
图 2-22 近轴光线通过长度 L 均匀空间的传输
r2 = r1 + θ1L θ2 = θ1
这个方程组可表示成下述矩阵形式
（2.7.1）
⎜⎜⎝⎛θr22
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
L 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
（2.7.2）
即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离 L 时所引起的坐标变换
平面反射镜
⎜⎜⎝⎛
1 0
0 1
⎟⎟⎠⎞
直角全发射棱镜
⎜⎜⎝⎛
−1 0
−
2d / −1
n ⎟⎟⎠⎞
当光线通过由n个光学元件组合而成的复杂光学系统，依光线通过顺序，各元件的传输 矩阵分别为，M1,M2,…,Mn，入射系统前光束参数为r1和θ1，出射后变为rn和θn,则有
⎜⎜⎝⎛θrnn ⎟⎟⎠⎞ = M n LM 2M1⎜⎜⎝⎛θr11 ⎟⎟⎠⎞
将其代入高斯光束传输变换公式（2.7.19），并利用 q0
= i πw02 λ
= iZ 01 ，可求得
1
=
[(1 −
l )(l F
+
l'− ll') − F
Z2 01 F
(1 −
l' F
)]
−
iZ
01[(l
+ l'− ll') F
1 F
+
(1 −
l )(1 − F
l' )] F
q0 '
(l + l'− ll')2 + Z 2 (1 − l' )2
折射率 n，长度 L 的均匀介质
⎜⎜⎝⎛
1 0
L/ 1
n ⎟⎟⎠⎞
折射率突变的平面
⎜⎜⎝⎛
1 0
n1
0 / n2
⎟⎟⎠⎞
折射率突变的球面 焦距 f 的薄透镜
⎜⎛ ⎜
n2
1 −
n1
⎝ Rn2
0 ⎟⎞ n1 / n2 ⎟
⎠
⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
f
0 1
⎟⎟⎠⎞
曲率半径 R 的球面反射镜
⎜⎜⎝⎛
−
1 2/
R
10⎟⎟⎠⎞
w0 ' =
λF πw0
， l'=
F
（2.7.34）
只有当F<Z01时，才有聚焦效果。 2. l一定时w0′与F的变化关系，如图 2-28。
图 2-28 l一定时w0′随F的变化关系 将（2.7.29）式对 F 求一阶偏导，
∂w0 ∂F
'
=
w0
Z
2 01
+
l(l
−
F)
[Z
2 01
+
(l
−
F)2
]3 /
F
01
F
=
1 R0 '
−
i
λ πw0
'
2
利用R0′=∞,可得到
（2.7.27）
l' = F + (l − F )F 2 (l − F )2 + (πw02 )2 λ
（2.7.28）
w0 '2 = (1 −
w02 l )2 + 1
(πw02 )2
F F2 λ
（2.7.29）
（2.7.28）式和（2.7.29）式揭示了物方和像方高斯光束之间的关系。下面我们对透镜的聚焦 特性进行讨论。
=
⎜⎛ 1 ⎜⎜⎝ 0
0 n1
n2
⎟⎞ ⎟⎟⎠
（2.7.7） （2.7.8）
表 3-1 为一些光学元件的传输矩阵。其中曲率半径为 R 的凹面镜与焦距 f=R/2 的薄透镜
对近轴光线的传输矩阵是相同的，两者是等效的。
表 3-1 一些光学元件的传输矩阵
距离为 L 的均匀介质
⎜⎜⎝⎛
1 0
L 1
⎟⎟⎠⎞
（2.7.21）
L为z1和z2之间的距离。该式与将自由空间光线变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果相同。 2. 高斯光束经过薄透镜的变换
如图 2-25，一高斯光束经过一薄透镜变换后变成另一高斯光束，设入射光束到达透镜前 表面时等位面M1 的曲率半径为R1，光斑半径为w1，出射高斯光束离开透镜后表面的等位面M2 的曲率半径为R2，光斑半径为w2，有
2
(2.7.35)
当F=R(l)时，w0′取得最大值
w1 = w2
图 2-25 高斯光束经过薄透镜的变换
（2.7.22）
同时规定沿光传输方向的发散球面波曲率半径 R 为正，汇聚球面波 R 为负，由透镜成像公 式，我们有
1− 1 =1 R1 R2 F
其中 F 为透镜焦距。由（2.7.22）式变换可得
( 1 −i λ )−( 1 −i λ )= 1
R1 πw12
⎜⎜⎝⎛ CA
B D
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
L1 ⎟⎟⎠⎞
（2.7.3）
2. 近轴光线通过薄透镜的变换 如图 2-23 所示，近轴光线通过一个焦距为f的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两
参考面P1和P2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r1和θ1，出射后变为r2和θ2，由透镜成 像公式，可写成如下关系式
（2.7.16）
则式（2.7.11）可写为
U 00 (x,
y, z)
=
c w( z )
−ik r 2 1
e e 2 q( z) −i(kz+Φ)
（2.7.17）
参数 q(z)称为高斯光束的复曲率半径，它将描述高斯光束基本特征的两个参数 w(z)和 R(z)统 一在一个表达式中，是表征高斯光束的又一个重要参数。已知坐标 z 处的 q(z)可很方便的求 出该处的 w(z)和 R(z)，从而确定整个高斯光束的结构。
1. F一定时，按照（2.7.29）式可画出w0′与l的变化关系，如图 2-27。
图 2-27 F一定时， w0′随l的变化关系 将（2.7.29）式对 l 求一阶偏导
∂w0 ' = w0 F (F − l)
∂l
[Z
2 01
+
(l
−
F)2
]3/ 2
（2.7.30）
其中 Z 01
=
πw02 λ
当l<F时， ∂w0 ' / ∂l >0，w0′随l减小而单调减小，当l=0 时，w0′取得最小值。
w0 ' =
w0
=
1 + (πw02 / λF )2
w0 1 + (Z 01 / F )2
此时不论F为多大，只要F>0，总有w0′> w0，总有一定的会聚效果。
(2.7.31)
当l>F时， ∂w0 ' / ∂l <0，w0′随l增大而减小，当l→∞时，由(2.7.28)和(2.7.29)式，有
w0′→0，l′→F 一般情况下，l>>F 时有
q(z)
= i πw02 λ
+
z
=
q0
+
z
（2.7.20）
其中q0为z=0 点的复曲率半径，设光束由z1处传输到z2，z1和z2出的q参数分别为q1和q2，则有
q2 = q(z2 ) = q0 + z2 q1 = q(z1 ) = q0 + z1
则
q2 = q1 + (z2 − z1 ) = q1 + L
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
式中w(l)为入射在透镜表面上高斯光束光斑半径。若同时满足l>>Z01时，有
w0 ' =
F l
w0
（2.7.33）
当入射高斯光束腰斑离透镜距离较大时，l 越大，F 越小，聚焦效果越好
当l=F时，这时w0′取得最大值
图 2-23 光线通过薄透镜的变换
r2 = r1
θ2
= θ1
−
r1 f
（2.7.4）
表示成下述矩阵形式
⎜⎜⎝⎛θr22
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
f
则薄透镜的传输矩阵为
0 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
（2.7.5）
⎜⎜⎝⎛ CA
B D
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
f
10⎟⎟⎠⎞
（2.7.6）
这里设会聚透镜 f>0,发散透镜 f<0。 3. 近轴光线经过不同折射率的界面
若以q0=q(0)表示腰斑z=0 处的q参数值，此位置R(0)→∞,w(0)=w0，由式（2.7.16）有
q0
= i πw02 λ
= iZ 0
（2.7.18）
其中 Z 0
=
πw02 λ
。
上述介绍的三组参数都可以用来表征高斯光束，但利用 q 参数研究高斯光束的传输变换 更为简便。
2.7.3 高斯光束的传输变换
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
用透镜或凹面镜，从这两者的变换矩阵可以看出，它们的效果是一致的，这一节主要讨论高 斯光束通过薄透镜的聚焦。一个理想的透镜并不改变高斯光束横向场分布，即高斯模经过透 镜后仍将保持为相同阶次的模，但透镜将改变光束参数 w(z)和 R(z)。
如图 2.26 所示，设束腰半径为w0的高斯光束入射到焦距为F的薄透镜，束腰与透镜的 距离为l,经由透镜出射的高斯光束束腰半径变为w0′，其束腰与透镜的距离变为l′。同时 假设入射光束和出射光束束腰处的q参数分别为q0和q0′。
某光学系统对傍轴光线的变换矩阵为
⎜⎜⎝⎛
A C
B D
⎟⎟⎠⎞
，某高斯光束入射该光学系统前的q参数
值为q1，出射高斯光束的q参数值为q2，则有
q2
=
Aq1 + B Cq1 + D
（2.7.19）
成为高斯光束传输变换的 ABCD 定律。现通过两个简单例子说明其有效性。 1. 高斯光束在自由空间的传输
高斯光束在自由空间传输时，其 w(z)和 R(z)服从（2.7.12）和（2.7.13）式，将其代 入 q 参数定义式（2.7.16），可推导出
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
λz
z
（2.7.12） （2.7.13）
z0
=
πw02 λ
（2.7.14）
式中z0成为高斯光束的瑞利长度或共焦参数，w(z),R(z)分别为z处光斑半径和等相位面的曲 率半径。若已知高斯光束腰斑大小w（0 或共焦参数z0）及其位置，可由式（2.7.12）和(2.7.13) 确定与束腰相距z处的光斑半径w(z) 和等相位面曲率半径R(z)，从而可以确定整个高斯光束 的结构，并由式（2.7.11）得到空间任意一点处的场强。同样，若已知轴上z处w(z)和R(z)， 则可以确定高斯光束腰斑大小和位置，从而确定整个高斯光束。
R2 πw22 F
即
（2.7.23） （2.7.24）
1−1 =1 q1 q2 F
（2.7.25）
将薄透镜的变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果与（2.7.25）式相同 利用 q 参数分析高斯光束传输，形式简洁，对于复杂的光学系统，也可很方便地求出各
处的 q 参数，从而求出该光束的参数特征。
Fra Baidu bibliotek
2.7.4 高斯光束的聚焦 在实际应用中，如激光打孔、激光切割和焊接中需要将激光束进行聚焦，聚焦一般采
=
c
e e − r2 w2 (z)
−i[k ( z+ r2 )+Φ] 2R(z)
w( z )
（2.7.11）
其中 C 为常数因子， r 2 = x 2 + y 2 ，其他参量分别表示为
w(z) = w0
1 + ( λz )2 πw02
=
w0
1+ ( z )2 z0
R(z) = z[1 + (πw02 )2 ] = z[1 + ( z0 )2 ]
（2.7.9）
由 n 个光学元件组合而成的复杂光学系统的传输矩阵为
⎜⎜⎝⎛ CA
B D
⎟⎟⎠⎞
=
M
n
L
M
2
M
1
（2.7.10）
2.7.2 高斯光束的基本性质和 q 参数 由（2.3.16），（2.3.33）和（2.3.19）式，沿 z 向传输的基模高斯光束均可表示以相同
的形式
U 00 (x, y, z)
如图 2-24 所示，近轴光线经过一个界面发生折射。设光线由折射率n1的介质射入折射 率为n2的介质，入射界面前光束参数为r1和θ1，出射后变为r2和θ2，由折射定律，可写成如 下关系式
图 2-24 光线通过界面的变换
r2 = r1
θ2
=
n1 n2
θ1
在界面发生折射的传输矩阵为
⎜⎜⎝⎛ CA
B D
⎟⎟⎠⎞
另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。将（2.7.11）式中与 r 有关的因子放在一起
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)