矩阵级数与矩阵数

第七讲 矩阵级数与矩阵函数
一、 矩阵序列
1. 定义: 设有矩阵序列{
}()k A , 其中()
()()k k ij A a =, 且当k →∞时()
k ij ij a a →,
则称{
}()k A 收敛, 并把()ij
A a =叫做{}()
k A 的极限, 或称{}()
k A 收敛于A , 记
为
()lim k k A A →∝
= 或 ()k k A A →∝
→
不收敛的级数则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设()k A ,()k B 分别收敛于A ,B 则 (1) ()()k k k A B A B αβαβ→∝
+→+
(2) ()()k k k A B AB →∝
→
(3) ()11()k k A A --→∝
→，若()11(),k A A --存在
(4) ()k k PA Q PAQ →∝
→
3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时0k A →, 则称A 为收敛矩阵. [定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形
12
s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦, 1
010
i i
i
i J λλλ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1112
k k
k k k s J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢
⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
11
!...
(1)!(1)!
,i k m k
k i i i i i k
i k k m k m J λλλ-+-⎡⎤
⎢⎥
--+⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
当i k m > 0k A →就等价于0(1,2,...,)k i J i s →=, 等价于0(1,2,...,)k i i s λ→=, 而这只有
1i λ<才可能也必能.
[得证]
二、 矩阵级数
1.定义: 矩阵序列{}()k A 的无穷和(1)(2)()k A A A ++++
叫做矩阵级数, 而
()
()1
N
N k k S
A ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}()N S 收敛,且有极限S , 则称该级
数收敛,且有极限S . 记为
()
1k k A S ∝
==∑ 不收敛的级数必为发散的.
若矩阵级数()
1
k k A ∝
=∑的所有元素()
1
k ij k a ∝
=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.
2. 绝对收敛矩阵的性质
(1) 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有
相同的和.
(2) ()
1k k A ∝
=∑绝对收敛,则()
1
k k PA Q ∝
=∑也绝对收敛且等于()1
k k P A Q ∝
=∑
(3) ()1
k k A ∝
=∑, ()1
k k B ∝
=∑均绝对收敛,且和分别为12,S S 则
()(1)
121
1()k
i k i k i A B S S ∝
+-===∑∑ 三、 方阵的幂级数
A 为方阵, 0
,()k
k k c A A I ∝==∑称为A 的幂级数. 0
k k A ∝
=∑称为A 的Neumann
级数.
1. Neumann 级数收敛的充要条件
[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为
1()I A --. 证明: [必要性]
级数0k k A ∝
=∑收敛, 其元素为
23()()()ij ij ij ij A A A δ+++
+
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故
()0k ij k A →∝
→，即0k k A →∝
→
也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:
A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, ()I A -的特征值为μ. 则由
det(())det((1))(1)det((1))n I I A I A I A μμμ--=-+=---
可见11μλμλ-=→=-
故020μμ<<→≠, ()I A -的行列式不为零,1()I A --存在. 而21(...)()k k I A A A I A I A +++++-=- 右乘1()I A --得
211...()()k k I A A A I A I A +-++++=--
当k →∝时, 10k A +→, 故11()0k A I A +--→. 所以
1
lim ()k
i
i k i i A A I A ∝
-→∝
====-∑∑ 即Neumann 级数收敛于1()I A --.
2. 收敛圆
[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数0()k k k z c z ϕ∝
==∑的收敛圆内, 则矩阵
幂级数00
(),()k k k A c A A I ϕ∝
===∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在()z ϕ的收
敛圆外的特征值, 则()A ϕ是发散的. 证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , ()A ϕ均收敛.
四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A
以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”) 我们知道,
2
01112!
!
z
n
n e z z z n ∝
==+++=∑
21
0(1)sin()(21)!
n n n z z n ∝
+=-=+∑
20(1)cos()(2)!
n n
n z z n ∝
=-=∑
均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A
01!
A
n
n e A n ∝
==∑
210(1)sin()(21)!n
n n A A n ∝
+=-=+∑
20(1)cos()(2)!
n n
n A A n ∝
=-=∑
均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。

[性质]
cos sin jA e A j A =+
1
cos ()2
jA jA A e e -=+
1sin ()2jA
jA A e e j
-=
- cos()cos A A -= sin()sin A A -=-
cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin A B A B A B AB BA A B A B A B ±=⎫
←=⎬±=±⎭
但是一般来说A B e e , B A e e , A B e +三者互不相等. 例如
1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 1100B -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
, 则
2
34
1100A A A ⎡⎤====⎢⎥
⎣
⎦
2
34
1100B B B -⎡⎤====⎢⎥
⎣
⎦
111
()(1)!01A
n e e e I A I e A n ∝
=-⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦∑ 111
()(1)!0
1B
n e e e I B I e B n ∝
=-⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦∑
可见A B B A e e e e ≠
2000A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 220()22()00A B A B ⎡⎤+==+⎢⎥
⎣⎦
, 32
()2()A B A B +=+,
212
1011(2)()(1)()!201A B
n n e e I A B I e A B n ∝
+-=⎡⎤=++=+-+=⎢⎥⎣⎦
∑
所以, A B A B e e e +≠ , A B B A e e e +≠ [定理] 若AB BA =, 则A B A B B A e e e e e +== 证明:
22
22
32232
311(...)(...)
2!2!
11()(2)(33)...2!3!11()()()...2!3!
A B
A B
e e I A A I B B I A B A AB B A A B AB B I A B A B A B e +=++++++=++++++++++=+++++++=
22222()()()2A B A B A B A AB BA B A AB B +=++=+++=++ 33223()33A B A A B AB B +=
=+++
同理, 有B A A B e e e +=
[推论] 0A A A A e e e e e I --===, 1(),()A A A m mA e e e e --==，A e 总存在逆阵。

五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley 定理
n 阶矩阵A 是其特征多项式的零点, 即令
111()det()n n n n I A c c c ϕλλλλλ--=-=++
++
则111()0n n n n A A c A c A c I ϕ--=++
++=
[证明]: 设A 的特征值为12n ,,
,λλλ, 则()ϕλ又可写成
12()()()()n ϕλλλλλλλ=---
由Schur 引理知, 存在酉矩阵U , 使得
12
1*0
n U AU λλλ-⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
而111112()()()()()n A U AU U AU I U AU I U AU I ϕϕλλλ----==---
1212123132
1120
*
*
*0
...0000n
n
n n
n n λλλλλλ
λλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣
⎦⎣
⎦13
123
243
100
*
*
...*
00000n
n
n n
λλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 14124
234
1000**000...*0
000
0n n
n n
λλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
0000000000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即()0A ϕ=
2.零化多项式
多项式()f z ,若()0f A =,则称其为A 的零化多项式。

由以上定理可知，方阵A 的特征多项式为A 的零化多项式。

3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算
例: 已知四阶矩阵的特征值是π、π-、 0、 0, 求sin A 、 cos A 、A e 解: 422()()()(0)(0)ϕλλπλπλλλπλ=-+--=-
故42242252362442()0,,,
A A A A A A A A A A ϕπππππ=-=→====
21
2(1)3
11213
31323
3
(1)(1)sin()(21)!(21)!
1(1)()(21)!1
(sin )n n n n n n n
n n A A A A A n n A A n A A A A ππππππ
∝
∝
+-==∝+=---=+=+++-=+π+=+
-=-∑∑∑
22(1)2
11222
2(1)(1)cos()(2)!(2)!1
(cos 1)2n n n n n n A I A I A
n n I A I A ππππ
∝
∝-==---=+=+=+-=-∑∑
221
0112(1)22(1)3
1123
2
3
111!(2)!(21)!11
(2)!(21)!
cosh 1
sinh A
n n
n n n n n n n n e A I A A A n n n I A A A n n I A A A πππππ
ππ∝
∝∝
+===∝
∝
--====++++=++++--=++
+
∑∑∑∑∑
作业 P163 3, 4, 5。