矩阵级数与矩阵数

第七讲 矩阵级数与矩阵函数

一、 矩阵序列

1. 定义: 设有矩阵序列{

}()k A , 其中()

()()k k ij A a =, 且当k →∞时()

k ij ij a a →,

则称{

}()k A 收敛, 并把()ij

A a =叫做{}()

k A 的极限, 或称{}()

k A 收敛于A , 记

为

()lim k k A A →∝

= 或 ()k k A A →∝

→

不收敛的级数则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设()k A ,()k B 分别收敛于A ,B 则 (1) ()()k k k A B A B αβαβ→∝

+→+

(2) ()()k k k A B AB →∝

→

(3) ()11()k k A A --→∝

→，若()11(),k A A --存在

(4) ()k k PA Q PAQ →∝

→

3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时0k A →, 则称A 为收敛矩阵. [定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形

12

s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦, 1

010

i i

i

i J λλλ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1112

k k

k k k s J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢

⎥

⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

11

!...

(1)!(1)!

,i k m k

k i i i i i k

i k k m k m J λλλ-+-⎡⎤

⎢⎥

--+⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

当i k m > 0k A →就等价于0(1,2,...,)k i J i s →=, 等价于0(1,2,...,)k i i s λ→=, 而这只有

1i λ<才可能也必能.

[得证]

二、 矩阵级数

1.定义: 矩阵序列{}()k A 的无穷和(1)(2)()k A A A ++++

叫做矩阵级数, 而

()

()1

N

N k k S

A ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}()N S 收敛,且有极限S , 则称该级

数收敛,且有极限S . 记为

()

1k k A S ∝

==∑ 不收敛的级数必为发散的.

若矩阵级数()

1

k k A ∝

=∑的所有元素()

1

k ij k a ∝

=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.

2. 绝对收敛矩阵的性质

(1) 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有

相同的和.

(2) ()

1k k A ∝

=∑绝对收敛,则()

1

k k PA Q ∝

=∑也绝对收敛且等于()1

k k P A Q ∝

=∑

(3) ()1

k k A ∝

=∑, ()1

k k B ∝

=∑均绝对收敛,且和分别为12,S S 则

()(1)

121

1()k

i k i k i A B S S ∝

+-===∑∑ 三、 方阵的幂级数

A 为方阵, 0

,()k

k k c A A I ∝==∑称为A 的幂级数. 0

k k A ∝

=∑称为A 的Neumann

级数.

1. Neumann 级数收敛的充要条件

[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为

1()I A --. 证明: [必要性]

级数0k k A ∝

=∑收敛, 其元素为

23()()()ij ij ij ij A A A δ+++

+

显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故

()0k ij k A →∝

→，即0k k A →∝

→

也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:

A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, ()I A -的特征值为μ. 则由

det(())det((1))(1)det((1))n I I A I A I A μμμ--=-+=---

可见11μλμλ-=→=-

故020μμ<<→≠, ()I A -的行列式不为零,1()I A --存在. 而21(...)()k k I A A A I A I A +++++-=- 右乘1()I A --得

211...()()k k I A A A I A I A +-++++=--

当k →∝时, 10k A +→, 故11()0k A I A +--→. 所以

1

lim ()k

i

i k i i A A I A ∝

-→∝

====-∑∑ 即Neumann 级数收敛于1()I A --.

2. 收敛圆

[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数0()k k k z c z ϕ∝

==∑的收敛圆内, 则矩阵

幂级数00

(),()k k k A c A A I ϕ∝

===∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在()z ϕ的收

敛圆外的特征值, 则()A ϕ是发散的. 证明略.

[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , ()A ϕ均收敛.

四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A

以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”) 我们知道,

2

01112!

!

z

n

n e z z z n ∝

==+++=∑