复合材料细观力学-1讲解

复合材料细观力学(1)
哈尔滨工业大学 梁军
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
连续体：基体 分散体：增强材料 两相之间存在界面相
复合材料的分类 按增强相材料形态分类
连续纤维复合材料 短纤维复合材料 晶须增强复合材料 颗粒增强复合材料 编织复合材料
– 1、单层材料设计，选择增强材料、基体材 料、配比关系
2、铺层设计 铺层方案 3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使
用环境
分析角度
复合材料具有非均匀性和各向异性 特点，这种差别属于物理方面
弹性模量、拉压强度、剪切强度、 热膨胀系数等
复合材料细观力学的核心任务
建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。
solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
复合材料有效性能
有效弹性模量的影响因素
组分材料的弹性常数
基体 -各向同性 纤维 -横观各向同性
微结构特征
夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） 几何尺寸、分布 体积含量 等等

' ij

C0 ijkl
(
0 kl


' kl


* kl
)
0 ij


' ij

C0 ijkl
(
0 kl


' kl
)
in out
已知
C1 ijkl
(
0 kl
' ij

S * ijmn mn


' kl
)

C0 ijkl
(
0 kl

' kl


* kl
联立求解 )
对于球形夹杂，具有下列形式：
a1 a2 a3
S1111
Biblioteka Baidu

S2222

S3333

7 5 15(1
)
S1122

S2233

S3311

(1 5 ) 15(1 )
(4 5 ) S1212 S2323 S3131 15(1 )
其余分量为0
2.2 等效夹杂原理
按材料作用分类
结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能
可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工
工序
一般优点：
比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
由于椭球夹杂存在，则
0 ij


' ij

C1 ijkl
(
0 kl


' kl
)
0 ij


' ij

C0 ijkl
(
0 kl


' kl
)
C 0
00
ij
ijkl kl
in out 无夹杂存在
假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均
匀，给定一均匀本征应变

* ij
0 ij

已知
' S1 * 2 S2 **
将（4）是代入（1，3）式中
* [(C f Cm )(S1 I ) C f ]1[(C f Cm )~ (C f Cm )(S1 I ) *]
** (S2 I )1~
由材料内部扰动应力自 平衡（背应力法）得：
复合材料等效弹性模量 C* C 0 (I f A)1
算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系 数预报
含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定 向分布的微裂纹垂直于纤维方向
在纤维夹杂中 C f (~ ' *) Cm (~ ' * *)
* ( f m )T是纤维与基体之间热失 配应变 在圆币型裂纹夹杂中 Cm (~ 2 **) 0
ij

C* ijkl

kl
ij Si*jkl kl
证明
V ij

V ij dV
1 2
s(ui n j u j ni )ds
1
2
(
s
0 i
x
n
j


0 j
x
ni
)ds

1 2
V
[(
0 i
x
),
j
(
0 j
x
),i
]dV

1 2
n
S* 0 ijkl kl

f
0
0 ij

f
r

r ij
r 1
n

S 0 0 ijkl kl

fr (Sirjkl

S 0 ijkl
)
r kl
r 1
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
U
1 2
V ij ij dV

1 2
Ci*jk
l
0
ij
L*S L(I S) S PL (L* L)1 L
对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变：
f1(1 ) f2 ( 2 ) 0
f1(1 ) f2 ( 2 ) 0


L L( f11 f2 2 )
第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Selfconsistent method .
思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。
在基体中（0） 0 ~ C0 ( 0 ~) 在夹杂中 (1) 0 ~ ' C1( 0 ~ ')
C0 ( 0 ~ ' *) 已知 ' S *
复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的 均匀应力
0 (1 f ) (0) f (1) C 0 ( 0 ~) fC 0 ( ' *) C 0 ( 0 ~) fC 0 (S I ) *
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代 80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects in
3D knitted composites for bicycle helmets
(a) cylinder and flange; (b) egg crate structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.;
and (d) various
k0ldV
U c
1 2
V ij ij dV

1 2
Si*jk
l
0
ij
0 kl
dV
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时， 椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分 形式）
ui


V
Cmjkl
* kl,
jGim
(
x,
x')dV
(
x'
)


V
C G * mjkl kl im, j
(x,
x' )dV
(x')
Gim (x, x') 格林函数，表示在x’处沿方向作用
单位集中力，点x处产生的位移i分量
上述位移对应的应变场（几何方程）
ij

1 2
(ui
,
j
u j,i )
按纤维种类分类
玻璃纤维复合材料 碳纤维复合材料 有机纤维复合材料 金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） 陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） 混杂纤维复合材料（两种以上纤维）
按基体材料分类
聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） 金属基复合材料（铝、钛、镁） 无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） 碳碳复合材料
* [C0 (S I ) C1S]1(C1 C0 ) 0
作业：求解复合材料内部弹性场
第二节 Mori-Tanaka方法
1973年Mori and Tanaka在研究弥散 硬化材料的加工硬化问题时，提出求解材 料内部平均盈利的背应力法，即MoriTanaka方法
设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应 力场作用
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
以纤维增强的层合板结构为例，复合材料 设计可分为三个阶段：
成熟的细观力学方法
Eshelby 等效夹杂理论 自洽理论（自相似理论） Mori-Tanaka方法（背应力法） 微分法 Hashin 变分原理求解上下限方法 其他方法
复合材料有效弹性模量定义
两类均匀边界条件
ui
(s)


0 ij
x
j
Ti
(s)


0 ij
n
j
在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， 统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值
~ f1( ' * *) f2 ( 2 **) 0 ~ f1(S1 I )( * *) f2 (S2 I ) **
复合材料体平均应变场
1 ~dV 1 (~ *)dV 1 (~ **)dV
2.1Eshelby相变问题
将应变分解为两部分
ij
eij

* ij
扰动应变 本征应变
根据虎克定律，弹性体应力场
ij
Cijkl (kl


* kl
)
将上式代入平衡方程 ij, j 0
C C ijkl kl, j
* ijkl kl, j
分布体力问题
利用格林函数方法和高斯定理：
补充方程
~ f (S I ) * ~ f ' fC 0 (S I ) *
复合材料内部体平均应变场
* A 0
A {C0 (C1 C0 )[ fI (1 f )S]}1(C0 C1)
(1 f ) (0) f (1) 0 f * (I f A)C 01 0
在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为：
1 L( pt *) L(S I ) *
为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的约束 作用，Hill引入一个约束张量使其满足：
1 L*(1 *) L* pt L*S *
夹杂中的应变 1 pt *
V
(
0 i
x ,
j


0 j
x
,i
)dV

V

0 i
dV

V
0 i
n
C* 0 ijkl kl

f0
0 ij

f
r
r ij
r 1
n

C 0 0 ijkl kl

fr (Cirjkl

C0 ijkl
)
r kl
r 1
n
f0 fr 1 r 1
式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
in
pq
C pqmn{

Cijkl
* ji
Gmk
,ln
(
x,
x'
)dV
(
x'
)


* mn
(
x)}
out

pq

C pqmn{

Cijkl
* ji
Gmk
,ln
(
x,
x'
)dV
}
得到各向同性介质椭球体中，存在
ij

Sijkl
* kl
S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
V V vv1v2
v1
V v2
f1 * f1[(C f Cm )(S1 I ) C f ]1[(C f Cm )~
(C f Cm )(S1 I ) *] f2 (S2 I )~
在温差T作用下，复合材料热膨胀系数com com m / T